Slope and Rate of Change

I den her videoen skal vi se på mange oppgaver med stigning.

Stigning er et mål for,

hvor bratt en linje er.

Vi kommer grundig rundt om det i den her videoen.

Definisjonen for en stigning

er endringen i y over endringen i x.

Det gir kanskje ikke mening nå,

men det kommer til det.

.

Det her er linje a.

.

Vi skal regne ut stigningen.

Det er 2 punkter,

vi kan bruke.

La oss se på

punktenes koordinater.

.

Hva er det her koordinatet?

x-koordinatet er 3.

y-koordinatet er 6.

Her er x minus 1

og y minus 6.

Vi kan se på stigningen på fler måter.

Vi kan bruke formelen.

Endringen i y over endringen i x.

.

.

.

Hva er endringen i y?

Hvor mye endryr y-koordinatet

seg fra det ene punktet til det andre?

Hvor mye endrer y-verdien seg?

y er minus 6 her

og går opp til 6.

HVor stor er den avstanden?

Den regner vi ut ved å si

at det siste y-koordinatet minus det første.

6 minus minus 6. Det er 12.

Vi kan også telle.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,

10, 11, 12.

Endringen i y er 12.

Hvor mye endrer x-verdien seg?

Hvor mye har x endret seg, når y har endret seg 12?

Vi går fra x minus 1

til x er 3.

Minus 1 til 3.

Sluttpunktet minus startpunktet.

3 minus minus 1. Det gir 4.

Endringen i y over endringen i x er altså 12 over 4.

Det er det

samme som 3.

Hva betyr det tallet? For hver gang vi flytter

oss 1 på x-aksen, flytter vi oss 3 på y-aksen.

Endringen i y over endringen i x er lik med 3.

Det er 3 over 1.

For hvert skritt på x tar vi 3 skritt på y.

Vi går 1 til høyre, og så skal vi gå 3 opp.

.

Det ser vi her.

Når vi går 1 i x-retning, går vi 3 i y-retningen.

1 til høyre gir 3 opp.

1 i x-retningen

betyr 6 i y-retningen.

6 over 2 er det samme som 3.

3-tallet forteller oss altså, hvor mye vi går opp eller ned,

når vi går fra høyre til venstre.

Videre til graf b.

Det er den samme ideen.

Vi bruker de her punktene.

Vi kan dog bruke hvilke som helst 2 punkter.

Her er punktet.

0 komma 1.

.

Startpunktet her

er

minus 6 komma minus 2.

Vi bruker samme metode.

Hva er endringen i y i forhold til endringen i x?

Hva er endringen

i x?

Det kaller vi for delta x.

Vi kan telle det.

1, 2, 3, 4, 5, 6.

Delta x er 6.

Vi kan også trekke x-verdien

i første punktet fra x-verdien i andre punktet.

Det gir 0 minus minus 6.

.

Det er 6.

Hva er endringen i y?

det heter også delta y.

Vi sier, at det her er sluttpunktet.

.

1 minus minus 2.

Hva er det?

.

Det er det samme som 1 pluss 2.

Det er 3.

3 over 6 er det samme som 1/2.

Når vi flytter oss 6 på x-aksen,

flytter vi oss 3 på y-aksen.

Endringen i y var 3,

når endringen i x er 6.

Hvordan vet vi,

hvilket punkt vi skal trekke fra hvilket?

Vi kan faktisk selv bestemme.

Vi må dog ikke ta det ene x-punktet sammen med det andre y-punktet.

.

Vu kunne altså også

gjøre det omvendt.

Endringen i y er minus 2 minus 1.

DEt gir minus 3.

Det står over minus 6 minus 0.

Begge resultatene er negative.

Det er det samme som før, bare negativt.

To negative tall dividert med

hverandre gjør et positivt resultat.

Det er minus 3 over minus 6.

Det gir

også 1/2.

Hvis vi starter med det ene

y-koordinatet,

skal vi også starte med det samme x-koordinatet.

Utover det bestemmer vi selv.

Hvis vi bruker det her først,

skal vi også bruke det her først.

Vi skal bruke

samme startpunkter.

.

Hvis vi beveger

oss 6 til venstre på x-aksen,

går vi 3 ned på y-aksen.

.

Stigningen er 3 over 6.

Det er 1/2.

Hver gang vi beveger oss 2 ned på x-aksen, beveger vi oss 1 på y-aksen.

Det fungerer i hver retning.

Det forteller stigningen på 1/2 oss.

En linje med en stigning på 1/2

er mindre bratt enn en linje med stigning på 3.

La oss lage noen fler oppgaver.

Linje c.

.

Det her er startpunktet.

Det velger vi selv.

Vi bruker de her punktene.

Startpunktet er minus 1 komma 6.

Sluttpunktet er 5 komma minus 6.

Stigningen er endringen i y

over endringen i x.

.

Delta y over delta x.

.

Delta x er endringen i x.

Delta y er endringen i y.

Delta y er det andre y-koordinatet

minus det første y-koordinatet.

Det skal stå over

det andre x-koordinatet minus det første x-koordinatet.

.

Det er kanskje litt forvirrende.

Delta y gir minus 6 minus 6.

Det står over delta x.

Det er 5 minus minus 1.

Det er altså minus 6 minus 6, som er minus 12.

5 minus minus 1.

Det er 6.

Minus 12 over 6.

Det er minus 2.

Stigningen er negativ.

Det betyr, at når x blir større,

blir y mindre.

Linjen går altså nedover.

Den starter øverst til venstre og går mot nederst til høyre.

.

Derfor er stigningen negativ.

Den her linjen er en positiv stigning.

La oss se på det.

Vi bruker de samme punktene

som her.

Linje d.

Stigningen er delta y over delta x.

Hvor mye går vi opp eller ned, når vi går 1 til høyre?

.

.

La oss telle.

1, 2, 3, 4, 5, 6.

Vi går opp 6.

Hvor mye går vi til høyre?

.

1, 2, 3, 4, 5, 6.

Vi går 6 til høyre.

Stigningen er 6 over 6, og det er 1.

Hver gang vi går 1 til høyre,

går vi 1 opp.

.

Hvis vi går 2 til venstre,

går vi 2 ned.

Det, som skjer med x,

skjer også med y.

Det er en jevn stigning.

Hvis du vil utregne det,

kan vi se på koordinatene.

Det her er startpunktet.

Minus 2 komma minus 4.

Sluttpunktet er 4 komma 2.

.

Stigningen er delta y over delta x.

2 minus minus 4

over 4 minus minus 2.

2 minus minus 4 er 6.

Det er den her avstanden.

4 minus minus 2 er også 6.

6 over 6 er 1.

Stigningen er 1.

La oss gjøre en til.

.

Det er interessant.

Linje e.

Delta y over delta x.

Hva er endringen i y,

når vi går herfra til hit?

La oss telle. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

8.

Vi kan også si 2 minus minus 6.

Det gir 8.

Hva er endringen i x?

.

x er her 4.

Her er x også 4.

x endrer seg ikke.

det er 8 over 0.

Det vet vi ikke, hva gir.

8 over 0 er ikke definert.

Vi kan altså ikke utregne stigningen.

Når en linje er loddrett,

er stigningen udefinert.

Vi dividerer nemlig med 0.

Så er linjen

loddrett.

La oss til slutt se på den her.

Den ser rett

vanlig ut.

Det her punktet

er 3 komma 1.

Den heter linje f.

Punkt 3 komma 1.

Her er punkt minus 6 komma minus 2.

Stigningen er delta y over delta x.

Det her er sluttpunktet.

.

Vi går nedover.

.

Minus 2 minus 1.

Det er minus 3.

Det er det her stykket.

Vi går 3 ned.

Hva er endringen i x?

Vi går det her stykket til venstre.

.

Minus 6 minus 3.

Det er minus 9.

.

Når vi går 9 tilbake, går vi 3 ned.

.

Hvis vi går 9 frem.

går vi 3 opp.

Det er det samme.

Minusene forsvinner, og stigningen er 1/3.

.

Linjen går oppover.

Når vi beveger oss 3 i x-retningen, beveger vi oss 1 i y-retningen.

.

Forhåpentligvis har vi nå kontroll på stigning.