Slope and Rate of Change

I den her video skal vi se på en masse opgaver med hældning.

Hældning er et mål for,

hvor stejl en linje er.

Vi kommer grundigt rundt om det i den her video.

Definitionen for en hældning

er ændringen i y over ændringen i x.

Det giver måske ikke mening nu,

men det kommer det til.

.

Det her er linje a.

.

Vi skal udregne hældningen.

Der er 2 punkter,

vi kan bruge.

Lad os se på

punkternes koordinater.

.

Hvad er det her koordinat?

x-koordinatet er 3.

y-koordinatet er 6.

Her er x minus 1

og y minus 6.

Vi kan se på hældning på flere måder.

Vi kan bruge formelen.

Ændring i y over ændring i x.

.

.

.

Hvad er ændringen i y?

Hvor meget ændrer y-koordinatet

sig fra det ene punkt til det andet?

Hvor meget ændrer y-værdien sig?

y er minus 6 her

og går op til 6.

Hvor stor er den afstand?

Den udregner vi ved at sige

det sidste y-koordinat minus det første.

6 minus minus 6. Det er 12.

Vi kan også tælle.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,

10, 11, 12.

Ændringen i y er 12.

Hvor meget ændrer x-værdien sig?

Hvor meget har x ændret sig, når y har ændret sig 12?

Vi går fra x er minus 1

til x er 3.

Minus 1 til 3.

Slutpunktet minus startpunktet.

3 minus minus 1. Det giver 4.

Ændringen i y over ændringen i x er altså 12 over 4.

Det er det

samme som 3.

Hvad betyder det tal? For hver gang vi flytter

os med 1 på x-aksen, flytter vi os 3 på y-aksen.

Ændring i y over ændring i x er lig med 3.

Det er 3 over 1.

For hvert skridt på x tager vi 3 skridt på y.

Vi går 1 til højre, og så skal vi gå 3 op.

.

Det ser vi her.

Når vi går 1 i x-retningen, går vi 3 i y-retningen.

1 til højre giver 3 op.

2 i x-retningen

betyder 6 i y-retningen.

6 over 2 er det samme som 3.

3-tallet fortæller os altså, hvor meget vi går op eller ned,

når vi går til højre eller venstre.

Videre til graf b.

Det er den samme idé.

Vi bruger de her punkter.

Vi kan dog bruge hvilke som helst 2 punkter.

Her er punktet

0 komma 1.

.

Startpunktet her

er

minus 6 komma minus 2.

Vi bruger samme metode.

Hvad er ændringen i y i forhold til ændringen i x?

Hvad er ændringen

i x?

Det kalder vi delta x.

Vi kan tælle det.

1, 2, 3, 4, 5, 6.

Delta x er 6.

Vi kan også trække x-værdien

i første punkt fra x-værdien i anden punkt.

Det giver 0 minus minus 6.

.

Det er 6.

Hvad er ændringen i y?

Det hedder også delta y.

Vi siger, at det her er slutpunktet.

.

1 minus minus 2.

Hvad er det?

.

Det er det samme som 1 plus 2.

Det er 3.

3 over 6 er det samme som 1/2.

Når vi flytter os 6 på x-aksen,

flytter vi os 3 på y-aksen.

Ændringen i y var 3,

når ændringen i x er 6.

Hvordan ved vi,

hvilket punkt vi skal trække fra hvilket?

Vi kan faktisk selv bestemme.

Vi må dog ikke tage det ene x-punkt sammen med det andet y-punkt.

.

Vi kunne altså også

gøre det omvendt.

Ændringen i y er minus 2 minus 1.

Det giver minus 3.

Det står over minus 6 minus 0.

Begge resultater er negative.

Det er det samme som før, bare negativt.

To negative tal divideret med

hinanden giver et positivt resultat.

Det er minus 3 over minus 6.

Det giver

også 1/2.

Hvis vi starter med det ene

y-koordinat,

skal vi også starte med det samme x-koordinat.

Udover det bestemmer vi selv.

Hvis vi bruger det her først,

skal vi også bruge det her først.

Vi skal bruge

samme startpunkter.

.

Hvis vi bevæger

os 6 til venstre på x-aksen,

går vi 3 ned på y-aksen.

.

Hældningen er 3 over 6.

Det er 1/2.

Hver gang vi bevæger os 2 på x-aksen, bevæger vi os 1 på y-aksen.

Det fungerer i hver retning.

Det fortæller hældningen på 1/2 os.

En linje med en hældning på 1/2

er mindre stejl end en linje med en hældning på 3.

Lad os lave nogle flere opgaver.

Linje c.

.

Det her er startpunktet.

Det vælger vi selv.

Vi bruger de her punktet.

Startpunktet er minus 1 komma 6.

Slutpunktet er 5 komma minus 6.

Hældningen er ændringen i y

over ændringen i x.

.

Delta y over delta x.

.

Delta x er ændringen i x.

Delta y er ændringen i y.

Delta y er det andet y-koordinat

minus det første y-koordinat.

Det skal stå over

det andet x-koordinat minus det første x-koordinat.

.

Det er måske lidt forvirrende.

Delta y giver minus 6 minus 6.

Det står over delta x.

Det er 5 minus minus 1.

Det er altså minus 6 minus 6, som er minus 12.

5 minus minus 1.

Det er 6.

Minus 12 over 6.

Det er minus 2.

Hældningen er negativ.

Det betyder, at når x bliver større,

bliver y mindre.

Linjen går altså nedad.

Den starter øverst til venstre og går mod nederst til højre.

.

Derfor er hældningen negativ.

Den her linje har en positiv hældning.

Lad os se på det.

Vi bruger de samme punkter

som her.

Linje d.

Hældningen er delta y over delta x.

Hvor meget går vi op eller ned, når vi går 1 til højre?

.

.

Lad os tælle.

1, 2, 3, 4, 5, 6.

Vi går 6 op.

Hvor meget går vi til højre.

.

1, 2, 3, 4, 5, 6.

Vi går 6 til højre.

Hældningen er 6 over 6, og det er 1.

Hver gang vi går 1 til højre,

går vi 1 op.

.

Hvis vi går 2 til venstre,

går vi 2 ned.

Det, der sker med x,

sker også med y.

Det var en nem hældning.

Hvis vi vil udregne det,

kan vi se på koordinaterne.

Det her er startpunktet.

Minus 2 komma minus 4.

Slutpunktet er 4 komma 2.

.

Hældningen er delta y over delta x.

2 minus minus 4

over 4 minus minus 2.

2 minus minus 4 er 6.

Det er den her afstand.

4 minus minus 2 er også 6.

6 over 6 er 1.

Hældningen er 1.

Lad os lave en mere.

.

Det er interessant.

Linje e.

Delta y over delta x.

Hvad er ændringen i y,

når vi går herfra og hertil?

Lad os tælle. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

8.

Vi kan også sige 2 minus minus 6.

Det giver 8.

Hvad er ændringen i x?

.

x er her 4.

Her er x også 4.

x ændrer sig ikke.

Det er 8 over 0.

Det ved vi ikke, hvad giver.

8 over 0 er ikke defineret.

Vi kan altså ikke udregne hældningen.

Når en linje er lodret,

er hældningen udefineret.

Vi dividerer nemlig med 0.

Så er linjen

lodret.

Lad os til sidst se på den her.

Den ser ret

almindelig ud.

Det her punkt

er 3 komma 1.

Den hedder linje f.

Punkt 3 komma 1.

Her er punkt minus 6 komma minus 2.

Hældningen er delta y over delta x.

Det her er slutpunktet.

.

Vi går nedad.

.

Minus 2 minus 1.

Det er minus 3.

Det er det her stykke.

Vi går 3 ned.

Hvad er ændringen i x?

Vi går det her stykke til venstre.

.

Minus 6 minus 3.

Det er minus 9.

.

Når vi går 9 tilbage, går vi 3 ned.

.

Hvis vi går 9 frem,

går vi 3 op.

Det er det samme.

Minusserne forsvinder, og hældningen er 1/3.

.

Linjen går opad.

Når vi bevæger os 3 i x-retningen, bevæger vi os 1 i y-retningen.

.

Forhåbentlig har vi nu godt styr på hældning.