< Return to Video

Slope and Rate of Change

  • 0:00 - 0:07
    V tomto videu budu řešit
    několik příkladů na sklon přímky.
  • 0:07 - 0:09
    Malé opakování,
    sklon přímky je vlastně způsob
  • 0:09 - 0:12
    jak změřit její naklonění.
  • 0:12 - 0:16
    A definice, doufejme, že po tomto videu
    ji budete umět dobře použít v praxi,
  • 0:16 - 0:18
    definice sklonu je,
  • 0:18 - 0:22
    že je to změna hodnoty y děleno
    změnou hodnoty x.
  • 0:22 - 0:25
    Možná vám to teď nedává smysl,
    ale jak budeme dělat
  • 0:25 - 0:29
    více a více příkladů,
    myslím, že tomu přijdete na kloub.
  • 0:29 - 0:31
    Podívejme se teď na tu první přímku.
  • 0:31 - 0:32
    Přímka a.
  • 0:32 - 0:34
    Vypočítejme její sklon.
  • 0:34 - 0:39
    Máme tu dva body,
    od kterých se můžeme odrazit.
  • 0:39 - 0:40
    Nejprve se podívejme
  • 0:40 - 0:42
    na souřadnice těchto bodů.
  • 0:42 - 0:44
    Máme tento bod zde.
  • 0:44 - 0:45
    Jaké jsou jeho souřadnice?
  • 0:45 - 0:48
    Jeho souřadnice x je 3.
  • 0:48 - 0:51
    Jeho souřadnice y je 6.
  • 0:51 - 0:56
    A tady dole,
    souřadnice x tohoto bodu je −1
  • 0:56 - 1:01
    a jeho y souřadnice je −6.
  • 1:01 - 1:03
    O sklonu můžeme přemýšlet různými způsoby.
  • 1:03 - 1:05
    Jedním je prostě přímo použít vzoreček.
  • 1:05 - 1:11
    Můžeme říct, že změna y,
    sklon je změna y lomeno změna x.
  • 1:11 - 1:13
    Můžeme to prostě vypočítat.
  • 1:13 - 1:15
    Za chvíli to vyřeším graficky.
  • 1:15 - 1:17
    Takže jaká je naše změna y?
  • 1:17 - 1:21
    Změna y znamená doslova,
    o kolik se změní hodnota y
  • 1:21 - 1:24
    při přechodu z tohoto bodu to tohoto.
  • 1:24 - 1:26
    Takže o kolik se změnily naše hodnoty y?
  • 1:26 - 1:30
    Naše y se posunulo od −6 a dostalo se
  • 1:30 - 1:34
    až nahoru na plus 6.
  • 1:34 - 1:36
    Jaká je tato vzdálenost?
  • 1:36 - 1:39
    Bude to hodnota y v koncovém bodě.
  • 1:39 - 1:44
    Bude to 6 minus hodnota y
    v počátečním bodě.
  • 1:44 - 1:50
    Minus −6 nebo 6+6, což se rovná 12.
  • 1:50 - 1:51
    Můžete to prostě spočítat.
  • 1:51 - 1:56
    1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
  • 1:56 - 1:58
    10, 11, 12.
  • 1:58 - 2:05
    Takže hodnota y se změnila o 12,
    hodnota x se změnila o…
  • 2:05 - 2:08
    O kolik se změnila hodnota x,
    když y se změnila o 12?
  • 2:08 - 2:14
    Jdeme od x se rovná −1 do x rovná se 3.
  • 2:14 - 2:17
    Správně? Hodnota x stoupla od −1 do 3.
  • 2:17 - 2:22
    Takže od koncové hodnoty,
    což je 3, odečteme počáteční hodnotu,
  • 2:22 - 2:25
    což je −1, a to se rovná 4.
  • 2:25 - 2:30
    Změna y lomeno změna x se tedy rovná 12/4,
  • 2:30 - 2:33
    pokud to zjednodušíme,
  • 2:33 - 2:35
    tak je to 3.
  • 2:35 - 2:39
    Tohle vlastně znamená, že pro každou 1,
    kterou se posuneme…
  • 2:39 - 2:41
    Můžeme se na to dívat…
    Napíšu to takhle.
  • 2:41 - 2:44
    Změna y lomeno změna x
  • 2:44 - 2:47
    se rovná 3 nebo také 3/1.
  • 2:47 - 2:51
    Což nám říká, že pro každou 1,
    o kterou se posuneme kladným směrem x,
  • 2:51 - 2:53
    se zároveň posuneme nahoru o 3,
  • 2:53 - 2:55
    protože to je kladný směr osy y.
  • 2:55 - 2:55
    Tady to vidíte.
  • 2:55 - 2:59
    Když jsme se posunuli o 1 na ose x,
    posunuli jsme se o 3 na ose y.
  • 2:59 - 3:03
    Když jsme se posunuli o 1 na ose x,
    posunuli jsme se o 3 na ose y.
  • 3:03 - 3:06
    Když se posunete o 2 na ose x,
  • 3:06 - 3:08
    zároveň se posunete o 6 na ose y.
  • 3:08 - 3:11
    6/2 je to samé jako 3.
  • 3:11 - 3:17
    Takže tato 3 nám říká, jak rychle stoupáme
    nahoru se zvyšujícím se x.
  • 3:17 - 3:22
    Uděláme nyní to samé
    pro druhou přímku na tomto grafu.
  • 3:22 - 3:24
    Graf b. Stejná myšlenka.
  • 3:24 - 3:26
    Použiju ty body, které nám zadali.
  • 3:26 - 3:29
    Ale mohli byste použít
    jakékoli jiné na té přímce.
  • 3:29 - 3:31
    Tady máme jeden bod,
  • 3:31 - 3:35
    což je bod 0, 1.
  • 3:35 - 3:37
    Máme 0, 1.
  • 3:37 - 3:39
    A počáteční bod…
    Tohle můžeme nazvat koncový bod,
  • 3:39 - 3:41
    potom počáteční bod je tady.
  • 3:41 - 3:48
    Souřadnice x je −6 a y je −2.
  • 3:48 - 3:49
    Stejná myšlenka.
  • 3:49 - 3:53
    O kolik se změní y,
    když se o něco změní x?
  • 3:53 - 3:56
    Podíváme se nejprve na změnu v x.
  • 3:56 - 3:58
    O kolik se změní x?
  • 3:58 - 4:03
    Jaká je změna x v tomto případě? Delta x.
  • 4:03 - 4:04
    Můžeme to spočítat.
  • 4:04 - 4:07
    1, 2, 3, 4, 5, 6.
  • 4:07 - 4:08
    Bude to 6.
  • 4:08 - 4:11
    Ale pokud nemáte graf,
    ze kterého byste to odečetli,
  • 4:11 - 4:16
    můžete vzít vaši koncovou polohu x,
    to je 0,
  • 4:16 - 4:19
    a odečíst od ní počáteční polohu.
  • 4:19 - 4:22
    0 minus −6.
  • 4:22 - 4:26
    Takže pokud se změna x rovná…
    Tohle bude 6,
  • 4:26 - 4:29
    jaká je změna y?
  • 4:29 - 4:32
    Pamatujte si,
    tohle je naše koncová pozice.
  • 4:32 - 4:36
    Tohle je koncová pozice.
  • 4:36 - 4:39
    Tohle je počáteční pozice.
  • 4:39 - 4:41
    Měli jsme 0 minus −6.
  • 4:41 - 4:44
    Takže na ose y musíme mít 1 minus −2.
  • 4:44 - 4:47
    1 minus −2.
  • 4:48 - 4:49
    Kolik je 1 minus −2?
  • 4:49 - 4:51
    Je to stejné jako 1 plus 2.
  • 4:51 - 4:52
    To se rovná 3.
  • 4:52 - 4:56
    Takže je to 3/6 nebo 1/2.
  • 4:56 - 5:02
    Všimněte si,
    když jsme se posunuli na ose x o 6,
  • 5:02 - 5:05
    na ose y jsme se posunuli o 3.
  • 5:05 - 5:09
    Změna y byla 3, když x se změnilo o 6.
  • 5:09 - 5:11
    Jedna z věcí, která mate hodně lidí je,
  • 5:11 - 5:17
    jak vím, jaké pořadí …
    Jak jsem věděl, že mám vzít nejdřív 0
  • 5:17 - 5:20
    a −6 až potom
    a 1 první a −2 druhou.
  • 5:20 - 5:22
    Na pořadí bodů nezáleží,
    můžete si ho zvolit,
  • 5:22 - 5:24
    ale musíte ho pak vždy dodržet.
  • 5:24 - 5:26
    Takže jste mohli také vzít
  • 5:26 - 5:29
    změna y lomeno změna x
  • 5:29 - 5:35
    a říct, že se to rovná −2 minus 1.
  • 5:35 - 5:39
    Teď používáme tuhle souřadnici jako první.
    −2 minus 1 pro y
  • 5:39 - 5:43
    lomeno −6 minus 0.
  • 5:43 - 5:46
    Všimněte si, že jsou to opačná čísla.
  • 5:46 - 5:48
    Tohle je číslo opačné od tohoto.
  • 5:48 - 5:51
    A protože máme záporné číslo
    lomeno záporným, zápor se vyruší.
  • 5:51 - 5:55
    Tohle se bude rovnat −3 lomeno −6.
  • 5:55 - 5:56
    Záporná znaménka se vyruší.
  • 5:56 - 5:58
    Je to tedy také rovno 1/2.
  • 5:58 - 6:06
    Důležité je, že pokud použijete
    napřed tuto souřadnici y,
  • 6:06 - 6:09
    tato souřadnice y je první,
    musíte potom také
  • 6:09 - 6:11
    použít napřed tuto souřadnici x.
  • 6:11 - 6:14
    Pokud použijete
    tuto souřadnici y jako první,
  • 6:14 - 6:16
    jako jsme to udělali tady,
  • 6:16 - 6:18
    pak musíte vzít první tuto souřadnici x,
  • 6:18 - 6:18
    jako tady.
  • 6:18 - 6:20
    Musíte dbát na to, aby vaše změny x
  • 6:20 - 6:22
    a změny y byly…
  • 6:22 - 6:24
    Abyste použili vždy stejný
    počáteční a koncový bod
  • 6:24 - 6:30
    Jen na vysvětlenou, tohle znamená,
    že pro každých −6,
  • 6:30 - 6:32
    o které se posuneme na ose x…
  • 6:32 - 6:36
    Pokud na ose x půjdeme o −6, takže nazpět,
  • 6:36 - 6:40
    posuneme se o −3 na ose y.
  • 6:40 - 6:42
    Ale to znamená to samé, jako předtím.
  • 6:42 - 6:44
    Sklon této přímky je 1/2.
  • 6:44 - 6:49
    Což znamená, že na každé 2 jednotky,
    o které se posuneme na x,
  • 6:49 - 6:50
    se posuneme o 1 na y.
  • 6:50 - 6:54
    Nebo pokud půjdeme nazpět o 2 na ose x,
    půjdeme dolů o 1 na ose y.
  • 6:54 - 6:56
    Tohle znamená, když je sklon přímky 1/2.
  • 6:56 - 7:01
    Všimněte si, že přímka se sklonem 1/2
    je méně prudká,
  • 7:01 - 7:04
    než přímka se sklonem 3.
  • 7:04 - 7:06
    Uděláme ještě pár dalších příkladů.
  • 7:06 - 7:11
    Podívejme se na přímku c.
  • 7:11 - 7:13
    Budu psát růžovou.
  • 7:13 - 7:15
    Řekněme, že počáteční bod…
  • 7:15 - 7:16
    Vybírám jej náhodně.
  • 7:16 - 7:19
    Používám tyto body,
    které jsou tu nakreslené.
  • 7:19 - 7:23
    Počáteční bod má souřadnice −1, 6
  • 7:23 - 7:33
    a koncový bod má souřadnice 5, −6.
  • 7:33 - 7:36
    Sklon přímky bude…
    Napíšu to.
  • 7:36 - 7:40
    Sklon přímky bude roven změně x, promiňte,
    změně y.
  • 7:40 - 7:41
    Nikdy to nezapomenu.
  • 7:41 - 7:44
    Změna y lomeno změna x.
  • 7:44 - 7:46
    Někdy se říká stoupat lomeno běžet.
    (angl. rise over run)
  • 7:46 - 7:49
    Běžet značí, o kolik se posunete vodorovně.
  • 7:49 - 7:51
    Stoupat znamená,
    o kolik se posunete svisle.
  • 7:51 - 7:56
    Pak můžeme říct,
    že změna y je náš koncový bod y
  • 7:56 - 7:59
    minus počáteční bod y.
  • 7:59 - 8:02
    Tohle je náš koncový bod y.
  • 8:02 - 8:06
    To je náš počáteční bod y.
    Lomeno koncový bod x
  • 8:06 - 8:09
    minus počáteční bod x.
  • 8:09 - 8:13
    Pokud vás tohle mate, pouze říkám,
    že se to bude rovnat
  • 8:13 - 8:17
    koncový bod y, což je −6 minus
  • 8:17 - 8:22
    počáteční bod y, což je 6,
    lomeno koncový bod x,
  • 8:22 - 8:27
    což je 5, minus počáteční bod x, což je −1.
  • 8:27 - 8:32
    To se rovná −6 minus 6, což je −12.
  • 8:32 - 8:34
    5 minus −1.
  • 8:34 - 8:36
    To je 6.
  • 8:36 - 8:38
    Takže −12/6.
  • 8:38 - 8:41
    To je stejné jako −2.
  • 8:41 - 8:45
    Všimněte si, že máme záporný sklon.
  • 8:45 - 8:51
    To proto, že pokud se x zvýší o 1,
    jdeme dolů po ose y.
  • 8:51 - 8:53
    Tato přímka se sklání dolů.
  • 8:53 - 8:55
    Jde z horního levého rohu
    do pravého spodního.
  • 8:55 - 8:59
    Jak x stoupá, y klesá.
  • 8:59 - 9:00
    Proto je sklon přímky záporný.
  • 9:00 - 9:03
    Tato přímka by měla mít sklon kladný.
  • 9:03 - 9:05
    Ověřme si to.
  • 9:05 - 9:09
    Použiju ty body, které nám tu nakreslili.
  • 9:09 - 9:12
    Takže tohle je přímka d.
  • 9:12 - 9:18
    Sklon se rovná "stoupat lomeno běžet".
  • 9:18 - 9:21
    O kolik vystoupáme, pokud se posuneme
    z tohoto bodu do tamtoho?
  • 9:21 - 9:23
    Udělejme to takto a uvidíme.
  • 9:23 - 9:26
    Stoupáme, můžu to jen spočítat.
  • 9:26 - 9:30
    Stoupáme o 1, 2, 3, 4, 5, 6.
  • 9:30 - 9:32
    Stoupáme o 6.
  • 9:32 - 9:34
    O kolik běžíme?
  • 9:34 - 9:36
    Běžíme o…
    Napíšu to jinou barvou.
  • 9:36 - 9:42
    Běžíme o 1, 2, 3, 4, 5, 6.
  • 9:42 - 9:44
    Běžíme o 6.
  • 9:44 - 9:46
    Sklon přímky je 6/6, což je 1.
  • 9:46 - 9:50
    Což nám říká, že na každou 1,
    o kterou se posuneme po ose x,
  • 9:50 - 9:52
    kladná 1 po ose x,
  • 9:52 - 9:55
    posuneme se o plus 1 ve směru y.
  • 9:55 - 9:59
    Pokud se posuneme o −2 po ose x,
  • 9:59 - 10:02
    posuneme se o −2 po ose y.
  • 10:02 - 10:06
    Takže kamkoli jdeme po x, posuneme se
    s tímto sklonem stejně i po y.
  • 10:06 - 10:07
    To bylo opravdu jednoduché.
  • 10:07 - 10:09
    Pokud bychom to chtěli řešit matematicky,
  • 10:09 - 10:11
    určili bychom souřadnice tohoto bodu.
  • 10:11 - 10:14
    To by byla naše počáteční pozice.
  • 10:14 - 10:18
    Naše počáteční pozice je −2, −4.
  • 10:18 - 10:20
    −2, −4.
  • 10:20 - 10:27
    Naše koncová pozice je 4, 2.
  • 10:27 - 10:30
    4, 2.
  • 10:30 - 10:35
    Takže sklon přímky,
    změna y lomeno změna x.
  • 10:35 - 10:46
    Vezmu tento bod 2 minus −4
    lomeno 4 minus −2.
  • 10:46 - 10:49
    2 minus −4 je 6.
  • 10:49 - 10:52
    Pamatujte si, to je jen tato vzdálenost.
  • 10:52 - 10:55
    4 minus −2 je také 6.
  • 10:55 - 10:58
    To je tahle vzdálenost.
  • 10:58 - 11:01
    A dostaneme sklon 1.
  • 11:01 - 11:03
    Pojďme na další příklad. Další dvojice.
  • 11:03 - 11:04
    Tyhle jsou zajímavé.
  • 11:04 - 11:08
    Podívejme se na přímku e.
  • 11:08 - 11:12
    Změna y lomeno změna x.
  • 11:12 - 11:15
    Takže, změna y, když se posuneme
    z tohoto bodu sem…
  • 11:15 - 11:16
    Jen to spočítám.
  • 11:16 - 11:19
    1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
  • 11:19 - 11:21
    Je to 8.
  • 11:21 - 11:26
    Nebo můžete vzít tuhle souřadnici y
    a 2 minus −6
  • 11:26 - 11:28
    vám dá tu vzdálenost 8.
  • 11:28 - 11:30
    O kolik se tedy změní y?
  • 11:30 - 11:33
    Hodnota y zde je…
    Oh, promiňte, o kolik se změní x?
  • 11:33 - 11:34
    Hodnota x zde je 4.
  • 11:34 - 11:35
    Hodnota x tady je 4.
  • 11:35 - 11:37
    X se tedy nemění.
  • 11:37 - 11:39
    Takže je to 8/0.
  • 11:39 - 11:41
    No, to nevypočítáme.
  • 11:41 - 11:42
    Nulou nelze dělit.
  • 11:42 - 11:45
    Takže v tomto případě sklon nemá smysl.
  • 11:45 - 11:47
    Pokud máte vertikální přímku,
  • 11:47 - 11:52
    její sklon je nedefinovaný.
  • 11:52 - 11:54
    Protože dělíte nulou, což nelze.
  • 11:54 - 11:58
    Ale naznačí vám to,
    že ta přímka je pravděpodobně vertikální.
  • 11:58 - 12:00
    Nakonec vyřešme ještě tohle.
  • 12:00 - 12:03
    Tohle vypadá jako přímý, jasný
  • 12:03 - 12:04
    příklad na sklon přímky.
  • 12:04 - 12:08
    Máme jeden bod zde,
  • 12:08 - 12:10
    bod 3, 1.
  • 12:10 - 12:11
    Tohle je přímka f.
  • 12:11 - 12:14
    Máme bod 3, 1.
  • 12:14 - 12:20
    Potom tady máme bod −6, −2.
  • 12:20 - 12:24
    Tedy náš sklon bude roven změně y.
  • 12:24 - 12:28
    Tento bod určím jako koncový,
  • 12:28 - 12:30
    abychom si zkusili jít v jiném směru.
  • 12:30 - 12:34
    Změna y bude…
    Teď jdeme dolů tímto směrem.
  • 12:34 - 12:37
    Je to −2 minus 1.
  • 12:37 - 12:39
    To je tahle vzdálenost.
  • 12:39 - 12:42
    −2 minus 1, to se rovná −3.
  • 12:42 - 12:44
    Všimněte si, šli jsme dolů o 3.
  • 12:44 - 12:47
    A jaká bude naše změna v x?
  • 12:47 - 12:50
    Půjdeme o tu hodnotu zpět.
  • 12:50 - 12:52
    O jakou hodnotu?
  • 12:52 - 12:57
    Bude to −6, to je náš koncový bod,
  • 12:57 - 13:00
    minus 3. −6 minus 3.
  • 13:00 - 13:05
    To nám dá tu vzdálenost, bude to −9.
  • 13:05 - 13:09
    Pokud se posuneme vzad o 9,
    klesneme dolů o 3.
  • 13:09 - 13:13
    Pokud půjdeme o 9 vzad,
    posuneme se o 3 dolů.
  • 13:13 - 13:16
    Což je to samé, jako
    když půjdeme o 9 dopředu,
  • 13:16 - 13:18
    posuneme se o 3 nahoru.
  • 13:18 - 13:18
    Je to to samé.
  • 13:18 - 13:22
    A vidíme, že tohle se vykrátí
    a dostaneme sklon 1/3.
  • 13:22 - 13:23
    Kladná 1/3.
  • 13:23 - 13:26
    Je to přímka směřující nahoru.
  • 13:26 - 13:34
    Pokud uběhneme 3, vystoupáme o 1.
  • 13:34 - 13:38
    Poběžíme o 3, vystoupáme o 1.
  • 13:38 - 13:41
    Doufám, že to pro vás bylo
    dobré opakování na sklon přímky.
Title:
Slope and Rate of Change
Description:

more » « less
Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
13:42

Czech subtitles

Revisions