Slope and Rate of Change

V tomto videu budu řešit
několik příkladů na sklon přímky.

Malé opakování,
sklon přímky je vlastně způsob

jak změřit její naklonění.

A definice, doufejme, že po tomto videu
ji budete umět dobře použít v praxi,

definice sklonu je,

že je to změna hodnoty y děleno
změnou hodnoty x.

Možná vám to teď nedává smysl,
ale jak budeme dělat

více a více příkladů,
myslím, že tomu přijdete na kloub.

Podívejme se teď na tu první přímku.

Přímka a.

Vypočítejme její sklon.

Máme tu dva body,
od kterých se můžeme odrazit.

Nejprve se podívejme

na souřadnice těchto bodů.

Máme tento bod zde.

Jaké jsou jeho souřadnice?

Jeho souřadnice x je 3.

Jeho souřadnice y je 6.

A tady dole,
souřadnice x tohoto bodu je −1

a jeho y souřadnice je −6.

O sklonu můžeme přemýšlet různými způsoby.

Jedním je prostě přímo použít vzoreček.

Můžeme říct, že změna y,
sklon je změna y lomeno změna x.

Můžeme to prostě vypočítat.

Za chvíli to vyřeším graficky.

Takže jaká je naše změna y?

Změna y znamená doslova,
o kolik se změní hodnota y

při přechodu z tohoto bodu to tohoto.

Takže o kolik se změnily naše hodnoty y?

Naše y se posunulo od −6 a dostalo se

až nahoru na plus 6.

Jaká je tato vzdálenost?

Bude to hodnota y v koncovém bodě.

Bude to 6 minus hodnota y
v počátečním bodě.

Minus −6 nebo 6+6, což se rovná 12.

Můžete to prostě spočítat.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,

10, 11, 12.

Takže hodnota y se změnila o 12,
hodnota x se změnila o…

O kolik se změnila hodnota x,
když y se změnila o 12?

Jdeme od x se rovná −1 do x rovná se 3.

Správně? Hodnota x stoupla od −1 do 3.

Takže od koncové hodnoty,
což je 3, odečteme počáteční hodnotu,

což je −1, a to se rovná 4.

Změna y lomeno změna x se tedy rovná 12/4,

pokud to zjednodušíme,

tak je to 3.

Tohle vlastně znamená, že pro každou 1,
kterou se posuneme…

Můžeme se na to dívat…
Napíšu to takhle.

Změna y lomeno změna x

se rovná 3 nebo také 3/1.

Což nám říká, že pro každou 1,
o kterou se posuneme kladným směrem x,

se zároveň posuneme nahoru o 3,

protože to je kladný směr osy y.

Tady to vidíte.

Když jsme se posunuli o 1 na ose x,
posunuli jsme se o 3 na ose y.

Když jsme se posunuli o 1 na ose x,
posunuli jsme se o 3 na ose y.

Když se posunete o 2 na ose x,

zároveň se posunete o 6 na ose y.

6/2 je to samé jako 3.

Takže tato 3 nám říká, jak rychle stoupáme
nahoru se zvyšujícím se x.

Uděláme nyní to samé
pro druhou přímku na tomto grafu.

Graf b. Stejná myšlenka.

Použiju ty body, které nám zadali.

Ale mohli byste použít
jakékoli jiné na té přímce.

Tady máme jeden bod,

což je bod 0, 1.

Máme 0, 1.

A počáteční bod…
Tohle můžeme nazvat koncový bod,

potom počáteční bod je tady.

Souřadnice x je −6 a y je −2.

Stejná myšlenka.

O kolik se změní y,
když se o něco změní x?

Podíváme se nejprve na změnu v x.

O kolik se změní x?

Jaká je změna x v tomto případě? Delta x.

Můžeme to spočítat.

1, 2, 3, 4, 5, 6.

Bude to 6.

Ale pokud nemáte graf,
ze kterého byste to odečetli,

můžete vzít vaši koncovou polohu x,
to je 0,

a odečíst od ní počáteční polohu.

0 minus −6.

Takže pokud se změna x rovná…
Tohle bude 6,

jaká je změna y?

Pamatujte si,
tohle je naše koncová pozice.

Tohle je koncová pozice.

Tohle je počáteční pozice.

Měli jsme 0 minus −6.

Takže na ose y musíme mít 1 minus −2.

1 minus −2.

Kolik je 1 minus −2?

Je to stejné jako 1 plus 2.

To se rovná 3.

Takže je to 3/6 nebo 1/2.

Všimněte si,
když jsme se posunuli na ose x o 6,

na ose y jsme se posunuli o 3.

Změna y byla 3, když x se změnilo o 6.

Jedna z věcí, která mate hodně lidí je,

jak vím, jaké pořadí …
Jak jsem věděl, že mám vzít nejdřív 0

a −6 až potom
a 1 první a −2 druhou.

Na pořadí bodů nezáleží,
můžete si ho zvolit,

ale musíte ho pak vždy dodržet.

Takže jste mohli také vzít

změna y lomeno změna x

a říct, že se to rovná −2 minus 1.

Teď používáme tuhle souřadnici jako první.
−2 minus 1 pro y

lomeno −6 minus 0.

Všimněte si, že jsou to opačná čísla.

Tohle je číslo opačné od tohoto.

A protože máme záporné číslo
lomeno záporným, zápor se vyruší.

Tohle se bude rovnat −3 lomeno −6.

Záporná znaménka se vyruší.

Je to tedy také rovno 1/2.

Důležité je, že pokud použijete
napřed tuto souřadnici y,

tato souřadnice y je první,
musíte potom také

použít napřed tuto souřadnici x.

Pokud použijete
tuto souřadnici y jako první,

jako jsme to udělali tady,

pak musíte vzít první tuto souřadnici x,

jako tady.

Musíte dbát na to, aby vaše změny x

a změny y byly…

Abyste použili vždy stejný
počáteční a koncový bod

Jen na vysvětlenou, tohle znamená,
že pro každých −6,

o které se posuneme na ose x…

Pokud na ose x půjdeme o −6, takže nazpět,

posuneme se o −3 na ose y.

Ale to znamená to samé, jako předtím.

Sklon této přímky je 1/2.

Což znamená, že na každé 2 jednotky,
o které se posuneme na x,

se posuneme o 1 na y.

Nebo pokud půjdeme nazpět o 2 na ose x,
půjdeme dolů o 1 na ose y.

Tohle znamená, když je sklon přímky 1/2.

Všimněte si, že přímka se sklonem 1/2
je méně prudká,

než přímka se sklonem 3.

Uděláme ještě pár dalších příkladů.

Podívejme se na přímku c.

Budu psát růžovou.

Řekněme, že počáteční bod…

Vybírám jej náhodně.

Používám tyto body,
které jsou tu nakreslené.

Počáteční bod má souřadnice −1, 6

a koncový bod má souřadnice 5, −6.

Sklon přímky bude…
Napíšu to.

Sklon přímky bude roven změně x, promiňte,
změně y.

Nikdy to nezapomenu.

Změna y lomeno změna x.

Někdy se říká stoupat lomeno běžet.
(angl. rise over run)

Běžet značí, o kolik se posunete vodorovně.

Stoupat znamená,
o kolik se posunete svisle.

Pak můžeme říct,
že změna y je náš koncový bod y

minus počáteční bod y.

Tohle je náš koncový bod y.

To je náš počáteční bod y.
Lomeno koncový bod x

minus počáteční bod x.

Pokud vás tohle mate, pouze říkám,
že se to bude rovnat

koncový bod y, což je −6 minus

počáteční bod y, což je 6,
lomeno koncový bod x,

což je 5, minus počáteční bod x, což je −1.

To se rovná −6 minus 6, což je −12.

5 minus −1.

To je 6.

Takže −12/6.

To je stejné jako −2.

Všimněte si, že máme záporný sklon.

To proto, že pokud se x zvýší o 1,
jdeme dolů po ose y.

Tato přímka se sklání dolů.

Jde z horního levého rohu
do pravého spodního.

Jak x stoupá, y klesá.

Proto je sklon přímky záporný.

Tato přímka by měla mít sklon kladný.

Ověřme si to.

Použiju ty body, které nám tu nakreslili.

Takže tohle je přímka d.

Sklon se rovná "stoupat lomeno běžet".

O kolik vystoupáme, pokud se posuneme
z tohoto bodu do tamtoho?

Udělejme to takto a uvidíme.

Stoupáme, můžu to jen spočítat.

Stoupáme o 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Stoupáme o 6.

O kolik běžíme?

Běžíme o…
Napíšu to jinou barvou.

Běžíme o 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Běžíme o 6.

Sklon přímky je 6/6, což je 1.

Což nám říká, že na každou 1,
o kterou se posuneme po ose x,

kladná 1 po ose x,

posuneme se o plus 1 ve směru y.

Pokud se posuneme o −2 po ose x,

posuneme se o −2 po ose y.

Takže kamkoli jdeme po x, posuneme se
s tímto sklonem stejně i po y.

To bylo opravdu jednoduché.

Pokud bychom to chtěli řešit matematicky,

určili bychom souřadnice tohoto bodu.

To by byla naše počáteční pozice.

Naše počáteční pozice je −2, −4.

−2, −4.

Naše koncová pozice je 4, 2.

4, 2.

Takže sklon přímky,
změna y lomeno změna x.

Vezmu tento bod 2 minus −4
lomeno 4 minus −2.

2 minus −4 je 6.

Pamatujte si, to je jen tato vzdálenost.

4 minus −2 je také 6.

To je tahle vzdálenost.

A dostaneme sklon 1.

Pojďme na další příklad. Další dvojice.

Tyhle jsou zajímavé.

Podívejme se na přímku e.

Změna y lomeno změna x.

Takže, změna y, když se posuneme
z tohoto bodu sem…

Jen to spočítám.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Je to 8.

Nebo můžete vzít tuhle souřadnici y
a 2 minus −6

vám dá tu vzdálenost 8.

O kolik se tedy změní y?

Hodnota y zde je…
Oh, promiňte, o kolik se změní x?

Hodnota x zde je 4.

Hodnota x tady je 4.

X se tedy nemění.

Takže je to 8/0.

No, to nevypočítáme.

Nulou nelze dělit.

Takže v tomto případě sklon nemá smysl.

Pokud máte vertikální přímku,

její sklon je nedefinovaný.

Protože dělíte nulou, což nelze.

Ale naznačí vám to,
že ta přímka je pravděpodobně vertikální.

Nakonec vyřešme ještě tohle.

Tohle vypadá jako přímý, jasný

příklad na sklon přímky.

Máme jeden bod zde,

bod 3, 1.

Tohle je přímka f.

Máme bod 3, 1.

Potom tady máme bod −6, −2.

Tedy náš sklon bude roven změně y.

Tento bod určím jako koncový,

abychom si zkusili jít v jiném směru.

Změna y bude…
Teď jdeme dolů tímto směrem.

Je to −2 minus 1.

To je tahle vzdálenost.

−2 minus 1, to se rovná −3.

Všimněte si, šli jsme dolů o 3.

A jaká bude naše změna v x?

Půjdeme o tu hodnotu zpět.

O jakou hodnotu?

Bude to −6, to je náš koncový bod,

minus 3. −6 minus 3.

To nám dá tu vzdálenost, bude to −9.

Pokud se posuneme vzad o 9,
klesneme dolů o 3.

Pokud půjdeme o 9 vzad,
posuneme se o 3 dolů.

Což je to samé, jako
když půjdeme o 9 dopředu,

posuneme se o 3 nahoru.

Je to to samé.

A vidíme, že tohle se vykrátí
a dostaneme sklon 1/3.

Kladná 1/3.

Je to přímka směřující nahoru.

Pokud uběhneme 3, vystoupáme o 1.

Poběžíme o 3, vystoupáme o 1.

Doufám, že to pro vás bylo
dobré opakování na sklon přímky.