Linear Algebra: Deriving a method for determining inverses

這裡我有一個矩陣A

我想把它變成行簡化階梯形

這個我們做過很多次了

就是用一連串的行變換

但是在這一集裏我要教你們的是

那些行變換與

矩陣A行向量的線性變換是等價的

我來舉個例子

如果我們要把矩陣A

變爲行簡化階梯形

我們要做的第一步

如果要把這些元素變爲0的話

就是 我在這裡寫

就是要保證第一個元素是一樣的

所以對於這裡每一個行向量

我們要保持第一個元素是一樣的

所以它們是 1,-1,-1

實際上 讓我同時

進行這些變換

我是說 我將要做的那些行變換

與行向量上的線性變換

是等價的

所以這是一個變換

用一些行向量 a1, a2, a3

要用到這裡的每一個（行向量）

然後對它們做一些變換

對它們做一些線性變換

這些就是線性變換

所以我們要保證

行向量的第一個元素是一樣的

所以這個是a1

這裡畫一條線

這個是a1

現在 我們要怎麽做

如果要把它變成行簡化階梯形？

我們要把這個變成0

所以我們要把第二行換成

第二行與第一行的和

因爲到時這些東西會變成0

我來寫一下這個變換

我們把第二行換成

第二行加上第一行的和

我在這裡寫下來

-1+1等於0

2+(-1)等於1

3+(-1)等於2

現在 這裡我們也要得到0

所以我們把第三行換成

第三行減去第一行的差

所以我們把第三行換成

第三行減第一行的差

那麽 1-1=0

1-(-1)等於2

4-(-1)=5 就像這樣

所以你看 這個就是一個線性變換

任意一個線性變換

你都可以用矩陣乘積來表示

比如說這個變換

我可以這樣表示

來求這個變換矩陣是什麽

如果說T(x)等於

我也不知道 就叫它矩陣S乘x吧

在矩陣A裏 我們已經用過了

所以用別的字母表示

那麽怎麽求矩陣S？

呃 我們只用把這個變換應用到

所有的行向量上

或者用到單位方陣的標準基向量上

我們試一試

那麽這個單位方陣

這裡我要畫的很小

單位方陣是這樣：

就是 [1,0,0；0,1,0；0,0,1]

這就是單位方陣

要求出所需的矩陣

我們只用把這個應用到

這個的每一個行向量

我們得到什麽？

這個畫大一點

我們把它用在每一個行向量上

我們看到 第一行總是一樣的

所以第一行總是一樣的東西

是 1, 0, 0

基本上我同時把它應用在

這裡每一個行向量上

就是說 看

當你變動這些行向量的時候

它們的第一個元素總是不變的

而第二個元素

就變成第二個元素加上第一個元素的和

所以 0+1=1

1+0等於1

0+0等於0

然後第三個元素就變成

第三個元素減去第一個元素的差

那麽 0-1=-1

0-0等於0

1-0等於1

現在注意了

當我把這個變換應用在

我們單位方陣的行向量上

本質上 我只是

用跟剛才的行變換一樣的東西

我用的完全是一樣的行變換

在這個單位方陣上

但是我們知道

這個正好是我們要的變換矩陣

如果我們用每一個行向量來乘它

或者用這裡每一個行向量

我們就會得到這些行向量

你可以這麽理解

這裡這個 這個是等於矩陣S的

這是我們要的變換矩陣

所以我們可以說

如果我們建立一個新的矩陣

它的列是S乘這個行向量

S乘[1,-1,1]

然後下一列是S乘...

我用另一種顏色寫

S乘這個: [-1, 2, 1]

然後第三列就是

S 乘這個第三個行向量 [-1, 3, 4]

現在知道 我們在應用這個變換

這個是S 乘上這裡每一個行向量

這就是表達這個變換的矩陣

這裡這個東西

這個會變成這邊這個

我在這下面寫吧

給你們看個東西

我這裡上面寫的

呃 我只是畫了一個箭頭

這可能是最簡單的了

這裡這個矩陣會變成 那裏那個矩陣

所以你可以把它寫成另一種形式

這個和哪個是一樣的？

它和哪個是等價的？

當你拿到一個矩陣

然後你把它乘上它的每一個行向量

當你把

每一個行向量都用這個矩陣乘了

這就是矩陣與矩陣乘積的定義

它就相當於我們的矩陣S――我用粉紅色寫

這個等於我們的矩陣S

就是 [1,0,0；1,1,0；-1,0,1]

乘上我們的矩陣A

乘 [1,-1,-1；-1,2,3；1,1,4]

要把這個弄得很清楚

這個是我們的變換矩陣S

這個是我們的矩陣A

當你用到這個乘積的時候

就會得到這個東西

我就複製粘貼一下

編輯 複製 然後粘貼

你會得到這個 就是這樣

我這麽做的原因是

只是爲了提醒你

當我們做這些行變換的時候

我們只是在做乘法

我們在做一個線性變換

對這裡每一個行向量\N【做同樣的線性變換】

然後這個跟 僅僅用某個矩陣

S乘這個東西是完全一樣的

這個情況下

有點麻煩的是

求矩陣S是什麽

但是我們在這裡 進行過的任何一個行變換

你總是可以用一個矩陣乘法來表示

這就産生了一個有趣的問題

當你把一個東西變成了行簡化階梯形

讓我在這裡寫

我們先把開始的這個東西寫完

先把這個變成行簡化階梯形

那麽這個 我們說過了

這個等於――

我先把它稱爲第一個S

叫它S1吧

所以這裡這個東西等於

第一個S1乘上A

我們已經證明過是對的了

現在我們來做另一個變換

我們來做另一個行變換

把它變成行簡化階梯形

所以先保持中間那行不變 0, 1, 2

然後換掉第一行

變成第一行加上第二行的和

因爲我要把這個變成0

那麽 1+0=1

我用另一種顏色寫

-1+1等於0

-1+2等於1

現在我要把第三行換掉 我們說

變成第三行減去2倍第一行

那就是 0-2<i>0=0</i>

2-2<i>1等於0</i>

5-2<i>2等於1</i>

就是 5-4=1

快了快了

我們只用把這些歸零就好了

我們看看

這個能不能變成行簡化階梯形

那麽這個是什麽？

我剛剛做了另一個線性變換

實際上 讓我寫下來

我們說 如果這是我們第一個線性變換

我剛剛做的是

我做了另一個線性變換 T2

我用另一個符號來表示

給我一些向量

一些行向量 x1, x2, x3

剛剛我做的是什麽？

我剛剛做的變換是什麽？

這些新的向量

我讓最上面一行

等於第一行加上中間那行

那麽這是 x1+x2

保持第二行不變

然後第三行 我把第三行變成

第三行減去2倍第二行

我剛剛做的是一個線性變換

然後我們可以

把這個線性變換表示成――

我們說 把T2應用到一些向量x上 等價於

一些用於變換的向量S2 乘上我們的向量x

現在我們呢可以說 這個等於

因爲如果把這個變換矩陣應用到

這裡每一列

就等於說是把這個東西

乘以這個變換矩陣

所以你可以說 這裡這個東西

我們還沒求出這個是什麽

不過我想你知道方法了

這裡這個矩陣會等於這個

它會等於S2乘以這個東西

那這裡這個是什麽?

呃 這個等於S1乘以A

這個是 S2×S1×A

很好

所以這個就是 S2×S1×A

其實本來可以直接到這一步

如果你用 S2×S1

這個可以是別的矩陣

如果你只是用A乘

本來就是直接從這裡到這裡

很好

我們還沒有把這個變成

行簡化階梯形

我們試試

這個下面沒有位置寫了

那就寫上面吧

我們往上移

往上 就像這樣

現在我要做的是

保持第三行不變 0, 0, 1

我們把第二行換成

第二行減去2倍第三行

然後我們得到0 我們得到 1-2<i>0</i>

然後得到 2-2<i>1</i>

所以那是0

然後我們把第一行

變成第一行減去第三行

那麽 1-0=1

0-0 等於 0

1-1=0 就像這樣

實際上只是把原本的變換寫下來了

我們用T3表示吧

我用紫色寫

T3是一些向量x的變換

我這麽寫吧――

對向量x1, x2, x3（的變換）

這個原來等於――我做了什麽

我們把第一行變成

第一行減第三行 x1-x3

我們把第二行換成

第二行減2倍第三行

那麽是 x2-2<i>x3</i>

然後第三行就一樣了

顯然 這個也可以被表示

T3(x) 可以等於

可以等於另外的變換矩陣 S3×x

那麽 這個變換

如果你把它乘到每一列上

就等於

把這個東西乘上這個變換矩陣

不過還沒求出這個矩陣是什麽

我們可以寫出來

所以這個等於

S3乘這裡這個矩陣 就是S2×S1×A

然後我們得到什麽

得到的是單位方陣

我們把它變成了行簡化階梯形

得到的是單位方陣

從前面的課我們已經知道

某個東西的行簡化階梯形

就是單位方陣

我們是用可逆變換來做的

或者說是可逆方陣

因爲顯然這個可以成爲

一些變換的變換

我們把它叫作變換

我不知道 就叫T吧

T我用過了麽？

我們就用To

來表示一些對向量x的變換

這個可能等於Ax

已知它是可逆的

那麽我們把它變爲行簡化階梯形

我們把它的變換矩陣

變成行簡化階梯形

然後我們得到單位方陣

這個證明它可逆

而更有趣的是

我們做到這一步用的是行變換

然後我們說

那些行變換完全等價於

把這個東西乘上

用我們最初的那個變換矩陣

是用一連串的變換矩陣得到的

用（那串變換矩陣）表示行變換

當把所有這些都乘起來的時候

它就變成單位方陣了

那麽 上一集我們說了 對於逆矩陣

如果這個是To

那麽To的逆矩陣可以表示爲

――它也是線性變換

它可以用一些逆矩陣來表示

比如剛才說的 A的逆矩陣乘上x

我們看見 逆變換乘上

我們的變換矩陣

等於單位方陣

上節課我們看過了

我們也證明過了

那麽 有趣的事來了

我們有一串矩陣乘積乘上這個東西

乘上這個東西 得到的也是單位方陣

那麽這個東西 這一串矩陣乘積

必須等於逆矩陣

等於逆變換矩陣

想的話還可以算出來

就像剛才做的 實際上我們已經求出S1了

我們在這裡做

我們可以用相似的方法做

來求出S2和S3 然後再把它們全都乘起來

然後我們就構造了A的逆矩陣

我想 更有趣的是

如果不這麽做的話 如果我們一開始

如果我們把相同的矩陣乘積

應用在單位方陣上的話會怎麽樣？

我們前面做的所有

開始做的行變換

然後這個 矩陣A

我們說右邊是一個單位方陣

叫它I 就是這個

那麽 我們做的第一個線性變換

在這裡看到――這個等於

S1乘A

這個是第一組行變換

然後得到這個

如果我們用相同的行變換

對單位方陣再做一次 那得到什麽？

我們會得到矩陣S1

S1乘單位方陣等於S1

所有的列

任何東西乘上單位方陣

乘上標準基向量

等於它本身

我們就得到這個S1

或者說是 S1×I

就是S1而已

好了

然後 如果我們做下一組行變換

然後得到 S2×S1×A

現在如果你做相同的行變換

在這個東西上（做相同的行變換） 得到什麽？

你會得到 S2×S1×I

現在 最後一組行變換

我們用S3的矩陣乘積來表示

我們用變換矩陣S3來乘它

這樣的話 你就得到 S3×S2×S1×A

如果你把完全相同的行變換應用在

這裡這個東西上的話

就得到 S3×S2×S1×I

做到這一步以後

當你在這做這些行變換時

這個得到了單位方陣

那麽這些得到的又是什麽？

當你完成

和用在A上的完全一樣的行變換

來把這個變成單位方陣時

如果你把完全相同的行變換

用在單位方陣上 你會得到什麽？

得到的是這個

所有東西乘單位方陣

就是它本身

那這個是什麽？

這個是A的逆矩陣

這就是A的逆矩陣

那麽我們有了一個通用方法

來求變換逆方陣矩陣

我可以做的是

我們說我有一個變換矩陣A

我可以構造一個增廣矩陣

把單位方陣放在裏面

就像這樣

然後我做了一係列的行變換

你可以用矩陣乘積來表示

不過你把一係列的行變換

用在所有這些上面

你對A做的行變換

和對單位方陣做的行變換是一樣的

當你把A變爲單位方陣的時候

你就把A變爲行簡化階梯形了

當A是行簡化階梯形後 你的單位方陣――

當做完完全一樣的行變換以後――

它就變成A的逆矩陣了

這是一個求逆矩陣很有用的方法

那麽我已經用理論解釋了 爲什麽可以這麽做

那麽在下節課 我們就來實際解決一下

或許我會舉個例子

就用這節課開始的這個矩陣