最优化：平方和 | 导数应用 | AP 微积分 AB | 可汗学院

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0:01 - 0:04

啊，这里有个手误
0:04 - 0:08

问：如果两数积为-16，求两数最小平方和的值是多少？
0:08 - 0:10

问：如果两数积为-16，求两数最小平方和的值是多少？
0:10 - 0:14

问：如果两数积为-16，求两数最小平方和的值是多少？
0:14 - 0:20

让我们假设两数为x和y
0:20 - 0:23

那我们要怎么才能找到
0:23 - 0:24

两数的平方和呢？
0:24 - 0:26

先将s设为平方和
0:26 - 0:29

先将s设为平方和
0:29 - 0:33

也相等于x平方加上y平方
0:33 - 0:35

也就是我们需要最小化的式子
0:35 - 0:41

我们需要最小化s
0:41 - 0:44

s目前是由x和y的函数组成的
0:44 - 0:46

而我们并不知道如何同时最小化两个未知数
0:46 - 0:49

所以我们需要把它变成只有一个未知数
0:49 - 0:52

正巧，我们还有另外一份信息可以用
0:52 - 0:55

他们的积为-16
0:55 - 1:01

所以x乘以y等于-16
1:01 - 1:03

那假如现在我们想让这个式子
1:03 - 1:05

只包含x一个未知数
1:05 - 1:08

那现在我们就可以尝试
1:08 - 1:10

用x来表示y然后代入
1:10 - 1:11

让我们在这里解决一下
1:11 - 1:17

如果我们等式两边同除x，那么y = (-16)/x
1:17 - 1:18

y = (-16)/x
1:18 - 1:21

现在来用(-16)/x替换掉表达式中的y
1:21 - 1:23

现在来用(-16)/x替换掉表达式中的y
1:23 - 1:27

那么平方和关于x的函数就会是
1:27 - 1:29

那么平方和关于x的函数就会是
1:29 - 1:32

x^2 + y^2
1:32 - 1:38

但y同样也是(-16)/x
1:38 - 1:41

这个才是我们需要的式子
1:41 - 1:46

等于x^2加上这个
1:46 - 1:49

x平方分之256
1:49 - 1:55

或者也可以写成256x^(-2)
1:55 - 2:00

那这个就是我们需要最小化的平方和表达式
2:00 - 2:02

找到临界点可以帮助我们最小化
2:02 - 2:04

在这个式子中
2:04 - 2:07

导数要么为0，要么不可定义
2:07 - 2:10

然后看这些临界点
2:10 - 2:11

有没有可能是最小或最大值
2:11 - 2:13

他们没准儿不是
2:13 - 2:15

但如果有最大值或最小值的话
2:15 - 2:17

他们一定是其中之一
2:17 - 2:19

让我们现在来试着求导
2:19 - 2:21

我换个颜色哈
2:21 - 2:25

s'(x)
2:25 - 2:26

我要不在这儿写吧
2:26 - 2:29

导数s'(x)相关于
2:29 - 2:33

2x [说错了]
2:33 - 2:38

2x + 256 × (-2)
2:38 - 2:46

也就是减去(512x)^(-3)
2:46 - 2:53

如果x = 0的话，这个式子就不可定义
2:53 - 2:56

同样，y就不可定义
2:56 - 2:57

那么这些就全都不成立
2:57 - 3:01

所以x = 0不是一个很有用的临界值
3:01 - 3:03

那让我们再试试其他方法
3:03 - 3:05

让我们试试当导数等于0
3:05 - 3:07

让我们试试当导数等于0
3:07 - 3:10

x的值为多少时，导数等于0呢
3:10 - 3:16

2x - 512x^(-3) = 0
3:16 - 3:20

我们可以两边同加512x^(-3)
3:20 - 3:26

得到2x = 512x^(-3)
3:26 - 3:32

然后两边同乘x^(-3)
3:32 - 3:35

等式右边的x就消失了
3:35 - 3:40

得到2x^4 = 512
3:40 - 3:43

然后等式两边同除2
3:43 - 3:50

得到x^4 = 256
3:50 - 3:53

256的四次方根等于多少呢
3:53 - 3:55

我们可以先找到等式两边平方根
3:55 - 3:56

我们可以先找到等式两边平方根
3:56 - 3:58

那么
3:58 - 4:01

x^2等于256的平方根
4:01 - 4:03

那就是16
4:03 - 4:05

所以这里等于16
4:05 - 4:12

那现在x^2 = 16，也就是x = 4
4:12 - 4:15

这个就是我们唯一的临界值
4:15 - 4:17

所以这个x值大概率就是平方和的最小值了
4:17 - 4:20

所以这个x值大概率就是平方和的最小值了
4:20 - 4:22

但我们还是要确认一下它是不是真的最小值
4:22 - 4:25

我们可以用二阶导数实验法
4:25 - 4:26

去进行验证
4:26 - 4:28

二次导数 s''(x)
4:28 - 4:31

来看看当x = 4时
4:31 - 4:34

函数是向上凹还是向下凹
4:34 - 4:38

s''(x) = 2
4:38 - 4:41

然后 (-3) × (-512)
4:41 - 4:45

那我就直接写成加上3 × 512
4:45 - 4:48

也就是1536
4:48 - 4:49

对吧？
4:49 - 4:51

对的，3 × 500 = 1500，3 × 12 = 36
4:51 - 4:54

然后x^(-4)
4:54 - 4:59

这里无论x取值多少，结果都将是正数
4:59 - 5:05

这里无论x取值多少，结果都将是正数
5:05 - 5:08

哪怕x是负数，x^(-4)的值依旧为正
5:08 - 5:09

哪怕x是负数，x^(-4)的值依旧为正
5:09 - 5:11

然后表达式中其他值也都为正
5:11 - 5:13

所以这个式子永远都是正的
5:13 - 5:19

那么这个函数将一直是上凹的
5:19 - 5:23

上凹的意思是说，函数图像呈这种趋势
5:23 - 5:25

啊我这块儿画的不太行
5:25 - 5:27

最终看起来大概这样
5:27 - 5:29

为什么二次导数暗示了上凹趋势
5:29 - 5:32

是因为二次导数永远为正
5:32 - 5:35

也就是导数在逐渐增大
5:35 - 5:37

也就是导数在逐渐增大
5:37 - 5:40

这里是负数，更小的负数，再小点的负数
5:40 - 5:41

让我换个颜色
5:41 - 5:45

看到了吗？负数，更小的负数，再小点的负数
5:45 - 5:48

0，正数，更大的正数
5:48 - 5:50

所以它一直在逐渐增加
5:50 - 5:53

如果我们要一个当导数为0的临界值时
5:53 - 5:58

我们的斜率就会为0
5:58 - 6:00

因为函数上凹所以这里
6:00 - 6:04

也就是函数的最小值
6:04 - 6:07

那现在y的值会是什么呢？
6:07 - 6:09

我们其实根本就不用求y的值
6:09 - 6:10

来确认平方和最小值了
6:10 - 6:12

来确认平方和最小值了
6:12 - 6:13

我们完全可以直接代入这个
6:13 - 6:17

但就是玩儿我们求一下y吧，y = (-16)/x
6:17 - 6:21

所以y = -4
6:21 - 6:24

那现在我们就可以求平方和的值了
6:24 - 6:27

平方和最小值为
6:27 - 6:32

4^2 + (-4)^2
6:32 - 6:36

也就是16 + 16等于32
6:36 - 6:37

现在可能有人会质疑
6:37 - 6:39

我不用微积分也可以解题啊
6:39 - 6:42

我可以直接试几个-16的因数
6:42 - 6:46

试到4和-4也并不需要太多时间
6:46 - 6:47

然后再通过和其他因数进行对比
6:47 - 6:50

就可以确认平方和的最小值了
6:50 - 6:54

比如说2和-8，-2和8，1和-16
6:54 - 6:55

其实是这样的
6:55 - 6:56

我们确认可以这样解题
6:56 - 6:58

但这样求出来的最小值
6:58 - 7:00

你会觉得不那么对劲
7:00 - 7:03

因为你还没有试4.01或4.0011
7:03 - 7:06

事实上，你不可能试遍所有的值
7:06 - 7:08

因为题目并没有告诉你答案仅限整数
7:08 - 7:13

试出来了正确结果只是因为这道题的答案
7:13 - 7:15

正好为整数而已
7:15 - 7:17

你可以想一下
7:17 - 7:20

如果这里的积不是-16
7:20 - 7:23

而是-17
7:23 - 7:26

或者是-16.5
7:26 - 7:28

甚至是π^2
7:28 - 7:30

那我们就不可能试出结果了对吧
7:30 - 7:32

所以就需要这个视频中
7:32 - 7:35

我们用到的方法

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Video Language:: English
Team:: Khan Academy
Duration:: 07:35

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