Интегриране на степенни редове

Дадено е, че f(х) е равна на
безкраен ред

за n от 1 до безкрайност,

от (n + 1)/4^(n + 1) по х^n.

Искаме да намерим
определен интеграл

от 0 до 1 за тази функция f(х).

Ако усещаш прилив на
вдъхновение,

те насърчавам да спреш
видеото на пауза

и да опиташ самостоятелно,

както и във всеки друго
момент можеш да паузираш

и да опиташ самостоятелно.

Хайде да преработим
малко това.

Това е равно на
интеграл от 0 до 1...

f(х) е този ред, така че
мога да запиша

сумата за n = 1
до безкрайност

от (n + 1)/4^(n + 1) по х^n.

Сега ще направя нещо,
което може би

е ново за теб,

но е важно, когато
намираме определен интеграл

от сума от някакви членове.

Това е същото като да
намерим сумата

от отделни определени
интеграли.

Искам да поясня това.

Ако имам този
определен интеграл,

от нула до 1, и да кажем, че
той съдържа някакви членове.

Мога дори да ги нарека
функции.

Да кажем, че това
е g(x) + h(x)

и така нататък, dx.

Това е равно на сумата
от интегралите

от нула до 1 от g(x)dx,

плюс интеграл от нула до 1 h(x)dx,

плюс... и така до безкрай

или колкото члена
има тук.

Това следва от свойствата
на интегрирането.

Тук можем да направим
същото нещо,

макар че ще го направя
със знака сигма.

Това е равно на сумата

за n от 1 до безкрайност

от определен интеграл
от всеки от тези членове.

Ще го запиша ето така.

От интеграл
за 0 до 1

от (n + 1)/4^(n + 1) по х^n, dx.

Повтарям, сега намираме
сумата от всички тези членове.

Да сметнем това тук.

Това ще бъде равно...
ще продължа тука...

това е равно на сумата

за n от 1 до безкрайност

и после това, което
подчертах в оранжево,

това ще бъде, да видим,

намираме примитивната
функция.

Получаваме х^(n + 1).

и после делим на (n + 1).

Имаме това първоначално (n + 1)
върху 4^(n + 1), което е константа,

когато го разглеждаме
по отношение на х,

за всеки от тези членове, и после искаме
да увеличим с 1 степенния показател,

и после да разделим
на повишения степенен показател.

Това е просто прилагане наобратно

на правилото за намиране
на производна.

Значи става х^(n + 1)/(n + 1).

Току-що намерих
примитивната функция

и това е от нула до 1 за всеки
от тези членове.

Преди да го направим,
нека да опростим.

Имаме (n + 1), имаме (n + 1)

и сега можем да
преработим това.

Това ще бъде равно на...

това е сумата за n от
1 до безкрайност,

и това ще бъде това,
което имаме тук, когато

х е равно на 1, то е 1,

значи имаме 1 на степен (n + 1),

върху 4 на степен (n + 1).

Всъщност защо
да не го запиша ето така.

1 на степен (n + 1) върху
4 на степен (n + 1),

минус нула на степен (n + 1)
върху четири на степен (n + 1).

Даже не трябва да пишем това.

Мога да запиша нула
на степен (n + 1)

върху 4 на степен (n + 1),
но това очевидно е нула.

И сега това започва
да се опростява,

получаваме, че е равно

на сумата за n от
1 до безкрайност.

Почти заслужаваме овации,

от 1/4 на степен (n + 1).

Може би вече можеш
да разпознаеш това.

Това е безкраен геометричен ред.

Кой е първият член?

Първият член е...

за n = 1, първият член тук
е 1/4 на квадрат.

Вярно ли е това?

Да.

Когато n = 1,
това ще бъде 1/4 на квадрат,

което е равно на 1/16,
това е първият ни член.

Частното е равно на...

тук просто продължаваме
да умножаваме по 1/4,

значи частното е 1/4.

За безкрайния геометричен ред,

абсолютната стойност
на частното е по-малка от 1,

знаем, че това ще е сходящ ред,

и ще е сходящ към стойността...

първият член, 1/16, делен на

1 минус частното, (1 – 1/4),

което е 3/4, значи това
е равно на 1/16 по 4/3.

Това е равно на 1/12.

И сме готови.

В началото изглеждаше
много сложно,

но просто трябва да
осъзнаем, че

интеграл от сума, даже
от безкрайна сума,

е равен на сумата
от тези безкрайни интеграли.

Намираме примитивните функции
за тези интеграли,

което направихме,

и което е яко, една от
силите на математиката,

и после осъзнахме, че имаме просто
безкраен геометричен ред,

за който знаем как да
намерим сумата.

И сме готови.