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Gegeben ist der Punkt (3/-4).
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Das ist 1,2,3 auf der x-Achse und 4 runter auf der y-Achse.
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1,2,3,4.
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Hier liegt der Punkt (3/-4).
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Zusätzlich ist der Punkt (6/1) gegeben.
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Also 1,2,3,4,5,6 und 1 auf der y-Achse.
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So in etwa.
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(6/1).
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Im letzten Video haben wir bereits gesehen,
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dass man mit Hilfe des Satzes des Pythagoras
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den Abstand zwischen diesen Punkten bestimmen kann.
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Wir haben ein Dreieck eingezeichnet und festgestellt, dass
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der Abstand die Hypotenuse ist.
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In diesem Video wollen wir
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die Koordinate des Punktes bestimmen, der exakt
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zwischen diesen beiden Punkten liegt.
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Diese Gerade stellt den Abstand der beiden Punkte dar und
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verbindet sie miteinander.
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Nun, wie lauten die Koordinaten des Punktes,
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der exakt zwischen den beiden Punkten liegt?
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Wie lautet diese Koordinate?
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Momentan kennen wir die Koordinaten nicht.
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Ich zeichne das Ganze nochmal etwas größer auf der linken Seite.
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Du wirst schnell erkennen, dass das Problem
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nicht so schwierig ist,
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wie es zunächst aussieht.
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Ich werde zunächst die Distanzformel mit Variablen verwenden.
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Du wirst bald sehen, dass es eines der einfachsten Konzepte
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in der Algebra und Geometrie ist.
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Das hier ist mein Dreieck.
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Das hier ist mein Dreieck.
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Das ist der Punkt (6/1)
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und das hier ist der Punkt (3/-4).
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Wir suchen nun den Punkt der zwischen
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diesen Punkten liegt.
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Wie lauten seine Koordinaten?
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Sieht schwierig aus, ist aber einfach, wenn
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du in einem Koordinatensystem betrachtest.
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Wie lautet die x-Koordinate dieses Punktes?
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Diese Gerade repräsentiert x entspricht 6.
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Das hier -- ich verwende eine dunklere Farbe --
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stellt x gleich 6 dar.
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Das hier stellt x gleich 3 dar.
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Wie lautet die x-Koordinate?
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Die x-Koordinate liegt zwischen
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diesen beiden x-Koordinaten.
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Das hier entspricht x gleich 3 und das hier entspricht x gleich 6.
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Die Koordinaten liegt genau in der Mitte.
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Der Abstand entspricht dieser Distanz.
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Die x-Koordinate liegt genau zwischen der
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3 und der 6.
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Wie nennen wir die Zahl, die
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genau zwischen 3 und 6 liegt?
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Wir können sie als Mittelpunkt,
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Durchschnitt oder Mittelwert bezeichnen, wie auch immer
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du willst.
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Wir wollen den Durchschnitt aus 3 und 6 wissen.
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Um den diesen Punkt zu bestimmen, der genau
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zwischen 3 und 6 liegt, müssen wir einfach 3 plus 6 geteilt durch 2 rechnen.
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Das entspricht 4,5.
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Die x-Koordinate ist also 4,5.
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Ich zeichne das mal ein.
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1,2,3, 4,5.
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Wie du siehst liegt sie genau in der Mitte.
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Das ist seine x-Koordinate.
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Mit der gleichen Herangehensweise werden
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wir nun die y-Koordinate bestimmen, die genau zwischen -4 und
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und y gleich 1 liegt.
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Also genau zwischen diesen beiden.
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Das ist der richtige x-Wert.
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Die y-Koordinate liegt genau zwischen
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y ist gleich -4 und y ist gleich 1.
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Du musst wieder den Durchschnitt berechnen.
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1 plus -4 geteilt durch 2.
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Das entspricht -3 geteilt durch 2 oder
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- 1,5.
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Du musst also 1,5 nach unten.
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Das ist ungefähr hier.
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So in etwa.
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Du nimmst einfach den Durchschnitt der x-Werte und
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den Durchschnitt der y-Werte. Eigentlich sollte ich Mittelwert sagen, weil
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es der präzisere Begriff ist.
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Der Mittelwert aus diesen zwei Punkten
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ist der Mittelpunkt, den wir gesucht haben.
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Der Punkt ist von beiden Punkten gleich weit entfernt.
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Es ist der Mittelpunkt der Gerade, die die beiden Punkte verbindet.
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Die Koordinaten sind (4,5/-1,5).
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Lass uns eine weitere Aufgabe lösen.
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Diese Aufgaben sind
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recht einfach.
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Ich zeichne die Aufgabe, damit du sie sehen kannst.
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Gegeben ist der Punk (4/-5).
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Also 1,2,3,4.
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Und dann 5 runter.
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1,2,3,4,5.
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Das entspricht (4/-5).
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Und der Punkt (8/2) ist gegeben.
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Also 1,2,3,4,5,6,7,8 und 2 auf der y-Achse.
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(8/2).
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Wie lautet die Koordinate des Mittelpunktes
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dieser zwei Punkte?
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Es geht wieder um den Punkt, der genau zwischen beiden liegt.
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Wir bestimmen nun die Mittelwerte der x- und y-Koordinaten.
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Der Mittelpunkt liegt also -- die x-Werte sind 8 und 4.
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Wir rechnen also 8+4 geteilt durch 2.
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Der y-Wert ist also -- wir haben eine 2 und
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eine -5.
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Wir rechnen 2 plus -5 geteilt durch 2.
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Was ergibt das?
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Wir haben einmal 12 geteilt durch 2, was 6 ergibt und 2 minus 5 ergibt 3.
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-3 geteilt durch 2 ergibt -1,5.
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Das hier also der Mittelpunkt.
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Wir also einfach die Mittelwerte der
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Koordinatenwerte berechnet.
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Ich zeichne den Punkt ein damit wir sehen,
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dass er der Mittelpunkt ist.
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(6/-5).
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1,2,3,4,5,6.
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-1,5.
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-1, -1,5
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Ja, das sieht gut aus.
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Der Punkt hat die gleiche Entfernung
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zu den beiden Punkten.
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Das ist alles was du wissen musst.
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Berechne den Mittelwert der x-Werte
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und dann landest genau in der Mitte.
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Dann noch die Mittelwerte der y-Werte.
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Zusammen erhälst du den Mittelpunkt.
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Jetzt zeige ich dir etwas, das in vielen Bücher abgebildet ist.
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Wir einen Punkt mit den Koordinaten (x1/y1)
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und dann haben wir einen weiteren Punkt -- ich bleibe mal bei gelb.
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Es ist anstrengend immer die Farben zu wechseln-- wir haben also
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einen Weiteren Punkt (x2/y2). Viele Bücher
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stellen zur Lösung die Mittelpunktformel vor,
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welche meiner Meinung nach schwierig im Gedächtnis zu behalten ist.
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Merk dir einfach, dass du den Mittelwert berechnest,
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um den x-Wert und den y-Wert zwischen den gewünschten Punkten zu finden.
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Die Mittelpunktformel.
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Die Mittelpunktformel.
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Wir suchen den Mittelpunkt, also bezeichnen
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wir das Ergebnis auch so.
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Dadurch haben wir eine verständliche Kennzeichnung.
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Der x-Mittelpunkt und y-Mittelpunkt entspricht
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-- ich notiere einfach die Formel. x1 plus x2 geteilt durch 2,
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und y1 plus y2 geteilt durch 2.
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Sieht so aus als müsstest du das auswendig können,
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aber im Grunde wird hier einfach nur
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der Mittelwert berechnet
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dieser zwei Zahlen berechnet.
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dieser zwei Zahlen berechnet.
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Ich addiere zwei Zahlen und teile durch 2 und ich
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addiere diese zwei Zahlen und teile wieder durch 2.
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Damit erhalte ich den Mittelpunkt.
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Das ist alles was die Mittelpunktformel aussagt.
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Das ist alles was die Mittelpunktformel aussagt.
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