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Intervals of function concave upwards and concave downwards

  • 0:01 - 0:03
    함수 g(x)가 있습니다
  • 0:03 - 0:05
    4차 함수입니다
  • 0:05 - 0:08
    함수 g(x)가 위로 볼록한 곡선인지
    아래로 볼록한 곡선인지
  • 0:08 - 0:11
    알고 싶습니다
  • 0:11 - 0:14
    위로 볼록, 그리고 아래로 볼록의
    개념에 대해 복습해봅시다
  • 0:14 - 0:15
    아래로 볼록한
  • 0:16 - 0:18
    아래로 볼록한
  • 0:20 - 0:21
    함수의 구간입니다
  • 0:21 - 0:23
    아래로 볼록한 구간은
  • 0:23 - 0:27
    기울기가 증가하고
  • 0:27 - 0:30
    위쪽이 뚫려있는 U자와
    같이 생겼습니다
  • 0:30 - 0:35
    그리고 여기서 기울기가 음수가 되고
  • 0:35 - 0:38
    x가 증가할수록 기울기는 양수에
    가까워집니다
  • 0:38 - 0:41
    거의 0에 가까워지다
    0의 값을 가지게 됩니다
  • 0:41 - 0:43
    0을 거쳐서는 점차 양의 값을 가지게 되고
  • 0:43 - 0:46
    더 큰 양의 값을 가지게 되므로
  • 0:46 - 0:48
    그래프의 기울기가 점차 증가하는
    것을 볼 수 있습니다
  • 0:48 - 0:51
    도함수를 계산하여 생각해보면
  • 0:51 - 0:54
    f'(x)는
  • 0:54 - 0:55
    곡선을 따라 증가합니다
  • 0:55 - 0:57
    곡선에서 f'(x)가 증가하는
  • 0:57 - 1:00
    이계 도함수 f''(x)는
  • 1:00 - 1:03
    g(x)로 표현해 보겠습니다
  • 1:03 - 1:05
    왜냐하면 여기서 g(x)를 예시로
    들고 있기 때문입니다
  • 1:05 - 1:08
    g'(x)가 증가하는 것을
  • 1:08 - 1:10
    적어봅시다
  • 1:10 - 1:10
    g에서
  • 1:12 - 1:14
    아래로 볼록한 것의 의미는
  • 1:14 - 1:17
    g'(x)가 증가한다는 것이고
  • 1:17 - 1:19
    g'(x)가 증가한다는 것의
  • 1:19 - 1:23
    의미는
  • 1:23 - 1:25
    g의 이계 도함수가 0보다 크다는 것입니다
  • 1:25 - 1:28
    위로 볼록한 그래프는 그와 반대입니다
  • 1:28 - 1:30
    위로 볼록한 그래프는
  • 1:33 - 1:34
    x가 증가할 때
  • 1:34 - 1:36
    기울기가 감소하기 때문에
  • 1:36 - 1:40
    위로 볼록해집니다
  • 1:41 - 1:44
    즉 g'(x)가 감소합니다
  • 1:46 - 1:49
    혹은, 이계 도함수가 0보다 작습니다
  • 1:49 - 1:53
    혹은, 이계 도함수가 0보다 작습니다
  • 1:53 - 1:55
    한번 그려보겠습니다
  • 1:55 - 1:59
    x의 값이 작을 때
  • 1:59 - 2:01
    기울기가 양의 값을 가집니다
  • 2:01 - 2:02
    기울기가 점점 작아져
  • 2:02 - 2:04
    기울기가 점점 작아져
  • 2:04 - 2:05
    0에 가까워지고 결국 0이 됩니다
  • 2:05 - 2:08
    그 후 음수의 값을 가지고
  • 2:08 - 2:09
    기울기는 더 작아지게 됩니다
  • 2:09 - 2:12
    보시다시피 기울기는 x가 증가할수록
  • 2:12 - 2:14
    줄어들고 있습니다
  • 2:14 - 2:16
    어디서 위로 볼록하고
    아래로 볼록한지
  • 2:16 - 2:20
    g의 곡선을 알기 위해서는
  • 2:20 - 2:23
    g의 이계 도함수를 찾아야 합니다
  • 2:23 - 2:24
    g의 이계 도함수가
  • 2:24 - 2:28
    양수에서 음수 혹은 음수에서
    양수가 되는 점,
  • 2:28 - 2:32
    혹은 0이거나 정의되지
    않는 점을 찾아봅시다
  • 2:32 - 2:34
    혹은 0이거나 정의되지
    않는 점을 찾아봅시다
  • 2:34 - 2:36
    0의 값을 가지는 점들의
  • 2:36 - 2:38
    구간사이에서 g의 변화를 알아봅시다
  • 2:38 - 2:40
    그래프가 어디서 위로 볼록한지
    아래로 볼록한지
  • 2:40 - 2:42
    알 수 있습니다
  • 2:42 - 2:44
    그럼 해봅시다
  • 2:44 - 2:48
    미분을 적용해
  • 2:48 - 2:50
    일계 도함수 g'(x)를 구해 봅시다
  • 2:50 - 2:51
    삼차항은
  • 2:51 - 2:56
    -4x³이 되고
  • 2:56 - 2:57
    2 x 6은 12이기 때문에
  • 2:57 - 3:02
    일차항은 12x가 됩니다
  • 3:02 - 3:04
    그리고 -2인데
  • 3:04 - 3:06
    -2x에서 x가 사라져서
  • 3:06 - 3:08
    -2가 됩니다
  • 3:08 - 3:10
    -3은 사라져서
  • 3:10 - 3:11
    0이 됩니다
  • 3:11 - 3:15
    이제 g''(x)를 계산해봅시다
  • 3:15 - 3:18
    3 x (-4)를 계산해보면 -12이고
  • 3:18 - 3:20
    여기에 12를 더해
    미분식을 도출하면
  • 3:22 - 3:24
    -12x²+ 12가 됩니다
  • 3:26 - 3:28
    이 함수가 정의되지 않는 곳이 있을까요?
  • 3:28 - 3:32
    이 이계 도함수는 어떤 x이든
    정의할 수 있는
  • 3:32 - 3:34
    이차 함수 입니다
  • 3:34 - 3:36
    아무데서나 정의가 됩니다
  • 3:36 - 3:39
    눈여겨 보아야 할 부분은
  • 3:39 - 3:43
    이 함수가 음수에서 양수로 바뀔 때
  • 3:43 - 3:45
    또는 양수에서 음수로 바뀔 때,
  • 3:45 - 3:48
    즉, g"(x) = 0인 지점입니다
  • 3:48 - 3:49
    찾아봅시다
  • 3:49 - 3:52
    -12x² + 12 = 0이 되는 x의 값을
  • 3:52 - 3:53
    알아내봅시다
  • 3:53 - 3:56
    12를 우항으로 넘기면
  • 3:56 - 4:01
    우항은 -12가 됩니다
  • 4:01 - 4:02
    양변을 -12로 나누면
  • 4:02 - 4:05
    x² = 1이 됩니다
  • 4:05 - 4:09
    x는 ±1의 값을 가질 수 있습니다
  • 4:09 - 4:11
    √1은 1이기 때문에
  • 4:11 - 4:13
    ±√1이 ±1과 같습니다
  • 4:13 - 4:16
    즉 x = 1또는 x = -1일 때
  • 4:16 - 4:20
    g의 이계도함수는 0입니다
  • 4:20 - 4:22
    이외의 값에서 함수 g는
  • 4:22 - 4:25
    위로 혹은 아래로 볼록합니다
  • 4:25 - 4:27
    이 부분에 대하여 생각해 봅시다
  • 4:27 - 4:30
    생각해 보기 위해 수직선을 그려봅시다
  • 4:30 - 4:34
    색을 바꾸어서
  • 4:34 - 4:37
    괜찮은 색으로 그려봅시다
  • 4:37 - 4:39
    수직선을 조금 크게 그렸습니다
  • 4:39 - 4:41
    수직선을 조금 크게 그렸습니다
  • 4:41 - 4:45
    여백을 활용해 다시 그려보겠습니다
  • 4:46 - 4:50
    이곳이 0이고 -1입니다
  • 4:51 - 4:55
    이곳은 -2이고 이곳이 1입니다
  • 4:55 - 4:57
    이곳은 2입니다
  • 4:57 - 5:01
    x = -1이거나
  • 5:01 - 5:05
    x = 1일 때 g"(x) = 0이 됩니다
  • 5:05 - 5:06
    무슨 일이 일어나는지 생각해 봅시다
  • 5:06 - 5:09
    g"(x)가 양수인지 음수인지 조사하여
  • 5:09 - 5:12
    함수 g의 그래프가
    위로 볼록한지 아래로 볼록한지
  • 5:12 - 5:15
    알 수 있습니다
  • 5:15 - 5:19
    이곳이 첫 번째 구간이고
  • 5:19 - 5:22
    이곳이 첫 번째 구간이고
  • 5:22 - 5:24
    (-∞ , -1)입니다
  • 5:24 - 5:28
    (-∞ , -1)입니다
  • 5:28 - 5:31
    이 구간에서
  • 5:31 - 5:32
    g"(x)가 음의 값을 가지는지
  • 5:32 - 5:33
    양의 값을 가지는지 알아봅시다
  • 5:33 - 5:36
    x = -2일 때 계산하기가
  • 5:36 - 5:37
    쉽습니다
  • 5:37 - 5:40
    g"(-2)를 계산해보면
  • 5:40 - 5:44
    (-2)² = 4이기 때문에
  • 5:44 - 5:46
    -12 x 4가 됩니다
  • 5:46 - 5:48
    결론적으로 (-48) + 12이네요
  • 5:50 - 5:53
    최종적으로는 -36입니다
  • 5:53 - 5:55
    알아야 할 핵심은,
  • 5:55 - 5:56
    g"(x)는 0을 지나지 않고
  • 5:56 - 5:57
    g(x)가 불연속 하지 않기 때문에
  • 5:57 - 5:59
    이 구간 전체에서의 g(x)가 음수입니다
  • 5:59 - 6:01
    이 구간 전체에서의 g(x)가 음수입니다
  • 6:01 - 6:03
    이 구간에서
  • 6:03 - 6:04
    이 구간에서
  • 6:04 - 6:08
    g"(x) < 0이므로
  • 6:09 - 6:10
    이 구간에서
  • 6:10 - 6:12
    함수는 위로 볼록합니다
  • 6:12 - 6:15
    위로 볼록한 함수입니다
  • 6:17 - 6:19
    위로 볼록한 함수입니다
  • 6:19 - 6:23
    이제 -1과 1사이의 구간을 봅시다
  • 6:25 - 6:29
    -1과 1사이의 열린구간이네요
  • 6:29 - 6:31
    한번 봅시다
  • 6:31 - 6:33
    계산하기 쉬운 0을 대입해 봅시다
  • 6:33 - 6:37
    g"(0)은 0입니다
  • 6:37 - 6:38
    g"(0)은 0입니다
  • 6:38 - 6:41
    핵심은 g"(x) > 0이고
  • 6:41 - 6:45
    따라서 g가 아래로 볼록하다는 겁니다
  • 6:47 - 6:49
    -1과 1에서의
  • 6:50 - 6:52
    구간에서 말입니다
  • 6:52 - 6:56
    마지막으로 x가 1보다
  • 6:56 - 7:00
    큰 구간을 봅시다
  • 7:00 - 7:03
    이 구간은 (1, ∞)이라고 합시다
  • 7:03 - 7:05
    이 구간은 (1, ∞)이라고 합시다
  • 7:05 - 7:06
    아무 숫자나 대입해 봅시다
  • 7:06 - 7:09
    g"(2)를 계산해 봅시다
  • 7:09 - 7:10
    g"(2)를 계산해 봅시다
  • 7:10 - 7:12
    g"(2)는 g"(-2)와 동일하네요
  • 7:12 - 7:14
    g"(2)는 g"(-2)와 동일하네요
  • 7:14 - 7:16
    -2를 제곱하면
  • 7:16 - 7:18
    2를 제곱한 것과 똑같이
    4가 되기 때문입니다
  • 7:18 - 7:19
    4 x (-12)를 하면
  • 7:19 - 7:23
    -48 + 12, 즉 -36이 됩니다
  • 7:23 - 7:26
    이 구간에서 -36이므로
  • 7:26 - 7:29
    마찬가지로 위로 볼록하겠습니다
  • 7:31 - 7:33
    제가 미리 그래프를 그려봤는데요,
  • 7:33 - 7:37
    미분으로 계산한 것이
  • 7:37 - 7:40
    그래프와 일치하는지 봅시다
  • 7:40 - 7:42
    미분을 통해 그래프를 그리지 않고서도
  • 7:42 - 7:45
    개형을 알 수 있었습니다
  • 7:45 - 7:49
    그래프와 계산 결과를 맞추어 볼까요?
  • 7:49 - 7:51
    그래프와 계산 결과를 맞추어 볼까요?
  • 7:51 - 7:53
    결과가 잘 맞는 것 같아요
  • 7:53 - 7:56
    결과가 잘 맞는 것 같아요
  • 7:56 - 7:57
    조금만 작게 해서 보겠습니다
  • 7:58 - 8:02
    조금만 작게 해서 보겠습니다
  • 8:02 - 8:05
    화면 안에 이렇게 배치하겠습니다
  • 8:05 - 8:09
    g가 음의 무한대에서
  • 8:09 - 8:12
    g가 음의 무한대에서
  • 8:15 - 8:19
    -1까지는 위로 볼록하다고 했었습니다
  • 8:19 - 8:22
    -1까지는 위로 볼록하다고 했었습니다
  • 8:22 - 8:23
    -1까지 말입니다
  • 8:23 - 8:24
    이 점까지 말이지요
  • 8:24 - 8:27
    기울기는 x = -1이 될 때 까지
  • 8:27 - 8:30
    계속 감소하는 것을 볼 수 있습니다
  • 8:30 - 8:33
    여기서 부터 기울기가 커지기 시작해
  • 8:33 - 8:36
    여기서 부터 기울기가 커지기 시작해
  • 8:36 - 8:38
    여기서 부터 기울기가 커지기 시작해
  • 8:38 - 8:40
    x = 1이 될 때까지 커집니다
  • 8:40 - 8:43
    여기는 색칠하지 않겠습니다
  • 8:43 - 8:45
    같은 색으로 해봅시다
  • 8:45 - 8:47
    같은 색으로 해봅시다
  • 8:47 - 8:50
    기울기는 x = 1이 될 때 까지
  • 8:50 - 8:53
    기울기는 x = 1이 될 때 까지
  • 8:53 - 8:54
    계속 증가합니다
  • 8:54 - 8:56
    이후 기울기는 다시 줄어들기 시작합니다
  • 8:56 - 8:59
    다시 위로 볼록해집니다
  • 8:59 - 9:03
    아까 주황색이었으니까 지금도
    주황색으로 해보겠습니다
  • 9:03 - 9:06
    다시 위로 볼록해집니다
  • 9:07 - 9:08
    미분과 약간의 계산을 통해
    알아낸 개형을
  • 9:08 - 9:11
    그래프를 통해 명확히
    확인할 수 있었습니다
  • 9:11 - 9:14
    그래프를 통해 명확히
    확인할 수 있었습니다
Title:
Intervals of function concave upwards and concave downwards
Description:
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Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
09:16

Korean subtitles

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