Ron Eglash om afrikanske fraktaler

"Jeg er matematiker og jeg vil stå på dit tag." Sådan hilste Ron Eglash på mange afrikanske familier han mødte, da han forskede i fraktale mønstre han havde set i landsbyer over hele kontinentet.

Jeg vil begynde min historie i Tyskland i 1877 -

- med en matematiker der hed Georg Cantor.

Cantor fandt på at han ville tage en linje og fjerne den midterste tredjedel, -

- og så ville han tage de to resulterende linier og gøre det samme med dem, en rekursiv proces.

Han har først en linje, så to, -

- så fire, så 16, og så videre.

Og hvis han gøre dette uendelig mange gange, hvilket man kan gøre i matematik,-

- så ender han med et uendeligt antal linier,-

- som hver har uendelig mange punkter i sig.

Det gik op for ham at han havde en mængde med antal elementer større end uendelig.

Det var mere end hovedet kunne rumme. Bogstaveligt talt. Han blev indlagt på et sanatorium. (Latter)

Da han kom ud af sanatoriet, -

- var han overbevist om at han var sat på Jorden for at grundlægge den transfinitte mængdelære, -

- fordi den største uendelige mængde måtte være Gud selv.

Han var en meget religiøs mand.

Han var en matematiker med en mission.

Og andre matematikere lavede lignende ting.

En svensk matematiker, Helge von Koch, -

- fandt på at i stedet for at fjerne linier, så ville han tilføje dem.

Han kom så frem til en smuk kurve.

Og vi behøver ikke at starte med den grundfigur, -

- vi kan starte med en hvilken som helst grundfigur.

Jeg flytter rundt og sætter den et eller andet sted, dernede, okay -

- og ved iterering udvikler denne grundfigur sig til en struktur som ser helt anderledes ud.

Alle disse er selv-similære: -

- Delen ligner helheden.

Det er det samme mønster på mange skalaer.

Matematikere syntes dette var meget mærkeligt, -

- for jo mere man formindsker målestokken, jo længere bliver afstanden man måler.

Og da de gjorde iterationerne uendelig mange gange, -

- så blev målestokken uendelig lille, og afstanden uendelig stor.

Det gav ingen mening, -

- så de henviste disse kurver til bagerst i matematikbøgerne.

De sagde at dette er patologiske kurver og vi behøver ikke diskutere dem.

(Latter)

Og det virkede i hundrede år.

I 1977 opdagede Benoit Mandelbrot, en fransk matematiker, -

- at hvis man laver computergrafik og bruger de mønstre han kaldte fraktaler, -

- så får man naturens former.

Man får menneskets lunger, man får akacietræer, man får bregner, -

- man får disse smukke naturlige former.

Hvis du tager tommel og pegefinger og ser lige der hvor de mødes -

- bare prøv det nu -

- og slapper af i hånden, så ser du en rynke, -

- og en rille indeni rynken og en rynke indeni rillen, ikke?

Din krop er dækket af fraktaler.

De matematikere som sagde det var patologiske, ubrugelige former, -

- de luftede ordene med fraktale lunger.

Det er ironisk. Og jeg skal vise jer en lille naturlig rekursion her.

Igen tager vi disse linier og erstatter dem rekursivt med hele figuren.

Her er så anden iteration, og den tredje, den fjerde og så videre.

Naturen har altså denne selvsimilære struktur.

Naturen bruger selvorganiserende systemer.

I firserne lagde jeg mærke til -

- at hvis du ser på et luftfoto af en afrikansk landsby, så ser du fraktaler.

Jeg tænkte: "Det er fabelagtig! Hvorfor mon det?"

Så jeg måtte selvfølgelig rejse til Afrika og spørge folk hvorfor.

Jeg fik et Fulbright stipendium til at rejse rundt i Afrika i et år -

- og spørge folk hvorfor de bygger fraktaler, -

- og det er et fedt job hvis du kan få det.

(Latter)

Så jeg kom endelig til denne by, og jeg havde lavet en fraktal model af byen, -

- bare for at se hvordan den ville udvikle sig -

- men da jeg kom derhen, gik jeg til høvdingens palads, -

- og mit fransk er ikke så godt, så jeg sagde noget i retning af: -

- "Jeg er matematiker og jeg vil gerne stå på dit tag".

Men han tog det afslappet og vi gik derop, -

- og snakkede om fraktaler.

Han sagde "Nåh ja! Det kender vi godt, en rektangel indeni en rektangel, -

- det ved vi alt om".

Og så viser det sig at det kongelige symbol har en rektangel indeni en rektangel indeni en rektangel, -

- og vejen gennem paladset er faktisk denne spiral.

Og efterhånden som man går turen rundt, må man være mere og mere høflig.

Så den sociale skala afspejler sig på den geometriske skala.

Det er et bevidst mønster. Det er ikke ubevidst som fraktalen i et termitbo.

Dette er en landsby i det sydlige Zambia.

Ba-lla folket byggede denne landsby, 400 m i diameter.

Der er en stor ring.

Ringene som repræsenterer familiegårde bliver større jo længere man kommer bagenden.

Og her er høvdingens ring -

- og hans nærmeste familie i den ring.

Her er en lille fraktalmodel for det.

Her er et hus med det hellige alter, -

- her er huset med husene, familiegården, -

- med menneskerne her hvor det hellige alter ville være, -

- og her er landsbyen i sin helhed -

- en ring af ringe af ringe, med høvdingens storfamilie her, hans nærmeste familie her, -

- og her er en lille landsby, ikke større end sådan.

Du spørger måske hvordan folk kan få plads i en så lille landsby?

Det er fordi det er ånder. Det er forfædrene.

Og ånderne har selvfølgelig også en miniaturelandsby i deres landsby, ikke?

Så det er ligesom Georg Cantor sagde, rekursionen fortsætter for evigt.

Dette er i Mandarabjergene, nær den nigerianske grænse i Kamerun, Mokoulek.

Jeg så dette diagram tegnet af en fransk arkitekt, -

- og jeg tænkte "wow, hvilken smuk fraktal!"

Jeg prøvede derfor at finde en grundfigur, som kunne udvikle sig sådan.

Jeg fandt denne struktur.

Lad os se, første iteration, anden, tredje, fjerde.

Efter jeg gjorde simuleringen, -

- så jeg at hele landsbyen går rundt i en spiral, -

- og her er den replikerende linje - en selvreplikerende linje som udvikler sig til fraktalen.

Så bemærkede jeg at den linje er der hvor landsbyens eneste firkantede bygning ligger.

Så da jeg kom til landsbyen, -

- sagde jeg "kan du tage mig med til den firkantede bygning, -

- jeg tror der foregår noget der."

De sagde "Vi kan godt følge dig derhen, men du kan ikke gå ind -

- for det er det hellige alter, hvor vi ofrer hvert år -

- for at holde gang i markernes frugtbarhedscyklus."

Jeg tænkte på at frugtbarhedscykluserne -

- var ligesom rekursionen i denne geometriske algoritme.

Rekursionen i nogle af disse landsbyer fortsætter ned til meget små skalaer.

Her er en Nankani landsby i Mali.

Her kan du se, når du går ind på familiegården -

- man går ind og her er gryder på ildstedet, stablet op rekursivt.

Her er kalabasfrugter som Issa lige viste os, -

- og de er rekursivt stablet.

Den mindste kalabas indeholder kvindens sjæl.

Og når hun dør, har de en ceremoni -

- hvor de åbner stakken som kaldes zalanga og hendes sjæl tager afsted til evigheden.

Igen, uendelighed er vigtigt.

Her kunne man spørge sig selv tre spørgsmål.

Er disse skaleringsmønstre fælles for alle urfolk?

Og det var faktisk min første hypotese.

Da jeg først så disse afrikanske fraktaler, -

- tænkte jeg: "Wow, hvert urfolk som ikke har et statssamfund, -

- den slags hierarki, må have en bottom-up arkitektur."

Men det viser sig ikke at passe.

Jeg begyndte at samle luftfotos af indiansk og Sydstillehavets arkitektur; -

- men kun de afrikanske var fraktale.

Alle disse forskellige samfund har forskellige geometriske design som de bruger.

Indianere bruger en kombination af cirkulær symmetri og firfoldig symmetri, -

- som du kan se på keramik og kurve.

Her er et luftfoto af en af Anasazi ruinerne: -

- man ser den er cirkulær på størst skala, men den er rektangulær på mindre skala, ikke?

Det er ikke samme mønster på to forskellige skalaer.

For det andet, kan man spørge, -

- "Men Dr. Eglash, ser du ikke bort fra diversiteten af afrikanske kulturer?"

Og svaret er nej, på tre måder.

For det første er jeg enig i Mudimbes vidunderlige bog "The invention of Africa", -

- at Afrika er en kunstig opfindelse som den første kolonialisme gjorde,-

- og senere de oppositionelle bevægelser.

Nej, fordi en udbredt fælles designpraksis giver ikke nødvendigvis en fælles kultur -

- og det er bestemt ikke "i generne".

Og sidst: fraktalerne har selvsimilaritet -

- så de ligner sig selv, men ikke nødvendigvis hinanden -

- man ser meget forskellig brug af fraktaler.

Det er en fælles teknologi i Afrika.

Og tilsidst, men er det ikke bare intuition?

Det er egentlig ikke matematisk viden.

Afrikanere bruger da ikke den fraktale geometri, vel?

Den blev ikke opfundet før 70erne.

Det er rigtigt at nogle afrikanske fraktaler, efter min mening, er ren intuition.

Så nogle af disse ting - jeg kunne gå rundt i Dakars gader -

- og spørge folk: "Hvad er algoritmen? Hvad er reglerne for at lave dette?"

- og de ville sige, -

- "Vi laver det da sådan fordi det er pænt, idiot."

Men nogle gange er det ikke tilfældet.

Nogle gange ville der faktisk være algoritmer, og ganske sofistikerede algoritmer.

I Manghetu skulptur kan man se denne rekursive geometri.

I etiopiske kors ser man denne vidunderlige figur udvikle sig.

Chokwe-folket i Angola trækker streger i sandet, -

- og det er hvad den tyske matematiker Euler kaldte en graf, -

- og som vi nu kalder en Euler-tur -

- man må aldrig løfte griflen fra overfalden -

- og man kan aldrig passere den samme streg to gange.

Men de gør det rekursivt og de gør det ifølge et alderstrinsystem, -

- så de små børn lærer denne her, og de ældre børn lærer denne, -

- og ved overgangen til næste alderstrin lærer man denne.

Ved hver iteration af algoritmen, -

- lærer man skridtene i myten.

Man lærer det næste vidensniveau.

Og til slut, man finder dette brætspil overalt i Afrika.

Det kaldes Owari i Ghana, hvor jeg studerede det, -

- det kaldes Mancala på østkysten, Bao i Kenya, og Sogo andre steder.

Man ser selvorganiserende mønstre som opstår spontant i dette brætspil.

Og folkene i Ghana kendte disse selvorganiserende mønstre -

- og brugte dem strategisk.

Så dette er bevidst kendskab.

Her er en vidunderlig fraktal.

Hvor end du går i Sahel ser du denne læskærm.

Hegn rundt om i verden er selvfølgelig cartesiske, alle er strengt lineære.

Men her i Afrika har man disse ikke-lineære hegn.

Jeg opsporede derfor en af de folk der laver disse ting, -

- denne fyr i Mali, lige udenfor Bamako, og jeg spurgte ham, -

- "Hvordan kan det være du laver fraktale hegn, for det gør ingen andre?"

Og hans svar var meget interessant.

Han sagde "vel, hvis jeg boede i junglen ville jeg kun bruge de lange rækker af strå -

- fordi de er hurtige og billige.

Det kræver ikke så mange strå, ikke så meget tid."

Han sagde "Men vind og støv går let igennem. -

- De tætte rækker oppe ved toppen, de holder virkelig vind og støv ude. -

- Men det kræver masser af tid og strå, fordi de er virkelig tætte."

"Nu," sagde han, "ved vi af erfaring -

- at jo højere over jorden, jo mere blæser det."

Ikke også? Det er lige som en cost-benefit analyse.

Jeg målte længden på stråene, -

- lavede et log-log plot og fandt skaleringseksponenterne, -

- og det passer næsten præcist med eksponenten for sammenhængen mellem vind og højde -

- i vind-ingeniørens håndbog.

Så disse mennesker rammer rigtigt i praktisk brug af skalerings-teknologi.

Det mest komplekse eksempel på fraktaler via algoritmer jeg fandt -

- var faktisk ikke geometrisk, det var i symbolsk kode, -

- nemlig spådom i sand, som man gør i Bamana-området.

Og den samme spådomskunst findes over hele Afrika.

Det findes både på østkysten og på vestkysten, -

- og symbolerne er ofte de samme, -

- så hvert af disse symboler har fire bits - det er et fire-bit ord -

- man tegner disse streger tilfældigt i sandet, og så tæller man, -

- og hvis der er et ulige antal, slår man en streg, -

- og hvis det er lige, slår man to streger.

De gjorde det meget hurtigt, -

- så jeg forstod ikke hvad det gik ud på, -

- de tegnede kun fire tilfældige streger, -

- jeg forstod ikke hvor de andre 12 symboler kom fra.

Og de ville ikke fortælle mig det.

De sagde "Nej, det kan jeg ikke fortælle dig om."

Så jeg sagde "Hør, jeg vil betale for det, du kan være min lærer, -

- og jeg vil komme hver dag og betale dig."

De sagde "Det handler ikke om penge. Det er noget religiøst."

Og tilsidst sagde jeg i desperation, -

- "Okay, lad mig fortælle om Georg Cantor i 1877."

Jeg begyndte at forklare hvorfor jeg var der i Afrika, -

- og de blev meget ivrige da de så Cantor-mængden.

En af dem sagde "Kom her, jeg tror jeg kan hjælpe dig med det."

Og så tog han mig igennem indvielsesritualet for en Bamana præst.

Jeg var selvfølgelig kun interesseret i matematikken, -

- så han gik hele tiden hovedrystende og sagde, -

- "Jeg lærte det altså ikke på den måde."

Men jeg måtte sove med en kolanød ved siden af sengen, begravet i sand, -

- og give 7 mønter til 7 spedalske og så videre.

Og tilsidst afslørede han hvad det handlede om.

Og det viser sig at det er en pseudo-tilfældig talgenerator som bruger deterministisk kaos.

Du tager et firebit-tal og sætter det ved siden af et andet.

Lige plus ulige giver ulige.

Ulige plus lige giver ulige.

Lige plus lige giver lige. Ulige plus ulige giver lige.

Det er addition modulo 2, ligesom paritetskontrollen på din computer.

Og så tager du dette symbol og sætter det tilbage igen, -

- så det er en selvgenererende mangfoldighed af symboler.

De bruger virkelig deterministisk kaos når de gør dette.

Fordi det er binær kode, -

- kan man faktisk implementere det i hardware, -

- hvilket fantastisk læringsværktøj, som burde findes på afrikanske ingeniørskoler.

Den mest interessante ting jeg fandt ud af var historisk.

I det 12. århundrede importerede Hugo af Santalla det i Spanien fra islamske mystikere.

Og der kom det ind i alkymistmiljøet som geomanti: -

- spådomskunst med jorden.

Dette er et geomanti-kort tegnet for kong Richard II i 1390.

Den tyske matematiker Leibniz -

- snakkede om geomanti i sin afhandling "De Combinatoria".

Og han skrev "I stedet for at bruge en streg og to streger, -

- så lad os bruge en og nul, så kan vi tælle med potenser af to."

Ikke også? Et-taller og nuller, den binære kode.

George Boole tog Leibniz' binære kode og skabte boolsk algebra, -

- og John von Neumann tog boolsk algebra og skabte den digitale computer.

Så alle disse små PDAer og laptops -

- hvert digitalt kredsløb i verden - startede i Afrika.

Og jeg ved at Brian Eno siger at der ikke er nok Afrika i computere, -

- men jeg synes ikke der er nok afrikansk historie i Brian Eno.

(Latter) (applaus)

Så lad mig slutte med at sige noget om anvendelser for dette som vi har fundet.

Og du kan gå til vores websted, -

- appleterne er alle gratis, de kører bare i din browser.

Alle i verden kan bruge dem.

The National Science Foundations program for en bredere deltagelse i brug af computere -

- har fornylig givet os støtte til at lave en programmerbar version af disse designværktøjer, -

- så om tre år, forhåbentlig, vil alle kunne gå på internettet -

- og lave deres egne simuleringer og deres egne ting.

Vi har fokuseret på afrikansk-amerikanske studenter i USA og også indiansk-amerikanske og latinoer.

Vi har fundet statistisk signifikante fremskridt hos børn som bruger denne software i matematikundervisningen -

- sammenlignet med en kontrolgruppe som ikke havde softwaren.

Så det er virkelig nyttigt at lære børn at de har en baggrund der handler om matematik, -

- at det ikke bare handler om sang og dans.

Vi har startet et pilotprojekt i Ghana.

Vi fik et lille starttilskud for at se om folk ville arbejde sammen med os om dette.

Vi er spændt på de fremtidige muligheder for dette.

Vi har også arbejdet indenfor design.

Jeg har ikke fået hans navn med her - min kollega Kerry i Kenya fik den gode ide -

- at bruge fraktale strukturer for postadresser i landsbyer som har en fraktal stuktur, -

- for hvis du prøver at indføre et postsystem med en gitterstruktur i en fraktal landsby, -

så passer det ikke helt sammen.

Bernard Tschumi ved Columbia University holdt op med at bruge det i et design for et museum for afrikansk kunst.

David Hughes ved Ohio State University har skrevet en indføring i afrocentrisk arkitektur -

- i hvilken han har brugt nogle af disse fraktale strukturer.

Og tilsidst vil jeg bare understrege at denne ide om selvorganisering, -

- som vi hørte om tidligere, det findes i hjernen.

Det findes i...Googles søgemaskine.

Faktisk var grunden til Googles succes -

- at de var de første som udnyttede internettets selvorganiserende egenskaber.

Det findes i økologisk bæredygtighed.

Det findes i den udviklende kraft i entrepenørskab, -

- den etiske kraft i demokrati.

Det findes også i nogle dårlige ting.

Selvorganisering er grunden til at aidsvirusset spreder sig så hurtigt.

Og hvis du tror kapitalismen, som er selvorganiserende, ikke har destruktive effekter, -

- har du ikke åbnet øjnene.

Så vi må tænke på, som det blev sagt før, -

- de traditionelle afrikanske metoder for at lave selvorganisering.

Det er robuste algoritmer.

Det er måder at lave selvorganisering, at lave entrepenørskab, -

- som er bløde og som er egalitære.

Så hvis vi vil finde en bedre måde at gøre den slags arbejde, -

- behøver vi ikke lede længere væk end Afrika, for at finde disse robuste selvorganiseringsalgortimer.

Tak.