A matemática e a magia do "origami"

Robert Lang é um pioneiro do género mais recente de "origami" — usando matemática e princípios de engenharia para dobrar modelos intrincados e impressionantes que são belos e, por vezes, úteis.

A minha palestra é "Pássaros que
batem asas e telescópios espaciais".

Poderão pensar que os dois temas
nada têm em comum,

mas espero que, no final
destes 18 minutos,

vejam alguma relação.

Tem a ver com "origami".
Deixem-me começar.

O que é "origami"?

A maioria das pessoas pensa saber
o que é "origami".

É isto: pássaros que batem as asas,
brinquedos, abre-e-fecha,

esse tipo de coisas.

Isso é o que o "origami" costumava ser.

Mas está a tornar-se outra coisa.

Está a tornar-se uma forma de arte,
uma forma de escultura.

O tema comum – que o torna "origami" –

é a dobragem, como criamos a forma.

É muito antigo.
Isto é uma gravura de 1797.

Mostra mulheres a brincar.

Se olharem melhor, é uma forma
conhecida por garça.

Todas as crianças japonesas

aprendem a dobrar esta garça.

Esta arte existe há centenas de anos.

Poderão pensar que em relação a isto,

que existe há tanto tempo
– tão restritivo, apenas dobragens –

tudo o que podia ser feito
já foi feito há muito tempo.

Poderia ter sido assim.

Mas, no século XX,

apareceu um artista japonês
chamado Yoshizawa.

Ele criou dezenas de milhares
de novos desenhos.

Mas, mais importante,
ele criou uma linguagem,

uma forma de comunicar,

um código de pontos, traços e setas.

Voltando à palestra de Susan Blackmore,

temos agora uma forma
de transmitir informação

com hereditariedade e seleção.

Sabemos onde isso nos leva.

No "origami", isso levou-nos

a coisas destas.

Isto é uma figura em "origami",

– uma folha sem cortes, apenas
dobragens, centenas de dobragens.

Isto também é "origami".

Mostra onde chegámos no mundo moderno.

Naturalismo. Detalhe.

Podem fazer chifres, armações de hastes,

– até cascos fendidos, se repararem.

Isto levanta uma questão: o que mudou?

O que mudou

foi algo que talvez não
esperassem numa arte,

que é a matemática.

Isto é, as pessoas aplicaram
princípios matemáticos à arte

para descobrirem as leis subjacentes.

Isso conduz a uma ferramenta
muito poderosa.

O segredo da produtividade em tantas áreas

– e no "origami" –

é deixar as pessoas falecidas
fazer o nosso trabalho.

(Risos)

O que podemos fazer

é pegar no nosso problema,

torná-lo num problema
que alguém já resolveu

e usar as suas soluções.

Quero dizer-vos como
fizemos isso no "origami".

O "origami" gira em torno
de padrões de vincos.

O padrão de vincos aqui mostrado
é o diagrama subjacente

a uma figura em "origami".

Não as podemos desenhar arbitrariamente.

Têm que obedecer a quatro simples leis.

São muito simples e fáceis de entender.

A primeira lei é a das duas cores.

Qualquer padrão de vincos pode ser
colorido com apenas duas cores,

sem se ter a mesma cor
em zonas adjacentes.

As indicações de dobragens em cada vértice

– o número de montes, o número de vales –

diferem sempre de dois.
Mais dois ou menos dois.

Nada mais.

Se observarmos os ângulos
em torno da dobra,

vemos que se numerarmos
os ângulos num círculo,

todos os ângulos com número
par formam uma linha reta

assim como todos os ângulos
com número ímpar.

Se observarmos como
as camadas se juntam,

vemos que, independentemente de como
juntamos as dobras e as folhas,

uma folha nunca pode penetrar uma dobra.

São quatro leis simples.
Tudo o que precisamos no "origami".

Todo o "origami" vem daí.

Poderão pensar:
"Conseguem quatro simples leis

"dar origem a esta complexidade?"

De facto, as leis da mecânica quântica

podem ser escritas num guardanapo

e, no entanto, governam toda a química,

toda a Vida e toda a História.

Se obedecermos a estas leis

podemos fazer coisas fantásticas.

No "origami", para obedecermos
a estas leis,

podemos pegar em padrões simples,

– como este padrão repetitivo de dobras,
chamado textura –

que, por si só, não são nada.

Mas se seguirmos as leis do "origami",

podemos pôr estes padrões
noutra dobragem,

que pode ser algo muito, muito simples,

mas quando colocados juntos,

temos algo um pouco diferente.

Este peixe com 400 escamas

– um simples quadrado sem cortes,
só com dobragens.

Se não quisermos dobrar 400 escamas,

podemos recuar e fazer
apenas algumas coisas

e adicionar placas à carapaça
de uma tartaruga, ou dedos.

Ou podemos ir mais longe

e fazer 50 estrelas numa bandeira,
com 13 faixas.

Se quisermos fazer uma loucura

podemos fazer 1000 escamas numa cascavel.

Este está em exposição lá em baixo.

Deem uma vista de olhos se puderem.

As ferramentas mais poderosas no "origami"

têm a ver com o modo como fazemos
partes de criaturas.

Posso pôr isto numa equação simples.

Pegamos numa ideia,

combinamo-la com um quadrado
e temos uma figura em origami.

(Risos)

O que importa é o que estes
símbolos significam.

Poderão dizer: "Podemos ser
tão específicos?

"Quer dizer, uma carocha
tem duas maxilas, tem antenas,

"Podemos especificar um detalhe destes?"

Sim, podemos mesmo.

Como fazemos isso?

Bem, decompomos o problema
em alguns passos mais simples.

Deixem-me explanar esta equação.

Começo com a minha ideia.
Torno-a abstrata.

Qual é a forma mais abstrata?
É uma figura linear.

A partir dessa figura linear, tenho
que obter uma forma dobrada

que tenha uma parte para cada
ponto do desenho,

uma aba para cada perna.

Uma vez conseguida essa forma,
a que chamamos a base,

podemos estreitar as pernas,
podemos curvá-las,

podemos transformá-la na forma final.

O primeiro passo é muito simples.

Peguem numa ideia, desenhem
uma figura linear.

O último passo não é muito difícil,
mas o passo intermédio,

– passar da descrição abstrata
à forma dobrada –

esse é difícil.

Mas esse é o ponto
em que as ideias matemáticas

nos podem ajudar.

Vou mostrar-vos como fazer isso,

para poderem dobrar algo
quando saírem daqui.

Começamos com algo fácil.

Esta base tem uma série de abas.

Vamos aprender a fazer uma aba.

Como fazemos uma única aba?

Peguem num quadrado. Dobrem ao meio,
uma e outra vez.

até que fique longo e estreito.

No final, dizemos que temos uma aba.

Posso usá-la para uma perna, braço,
qualquer coisa do género.

Que parte do papel fez esta aba?

Se desdobrar e regressar
ao padrão de vincos,

podemos ver que foi o canto superior
esquerdo dessa forma que fez a aba.

Isto é uma aba e o resto
do papel fica de lado.

Posso usá-lo para outra coisa.

Há outras formas de fazer uma aba.

Há outras dimensões para abas.

Se fizer abas mais estreitas,
posso poupar algum papel.

Se fizer a aba o mais estreita possível,

chego ao limite do mínimo
de papel necessário.

Podemos ver que é necessário um quarto
de círculo de papel para fazer uma aba.

Há outras formas de fazer abas.

Se fizer a aba numa aresta,
uso um quarto de círculo de papel.

Se fizer a aba no meio,
uso um círculo completo.

Como quer que faça a aba,

preciso de uma parte

de uma região circular de papel.

Agora estamos prontos a extrapolar.

E se eu quiser fazer algo com muitas abas?

De que preciso? De muitos círculos.

Em 1990, os artistas de "origami"
descobriram estes princípios

e perceberam que podíamos fazer figuras
arbitrariamente complicadas

apenas empacotando círculos.

Foi aqui que as pessoas falecidas
começaram a ajudar-nos.

(Risos)

Muitas pessoas estudaram

o problema do empacotamento de círculos.

Posso basear-me nessa vasta história
de matemáticos e artistas

a estudar empacotamentos
e arranjos de círculos.

Posso usar esses padrões agora
para criar formas em "origami".

Descobrimos as regras
para empacotar círculos,

decoramos os padrões de círculos
com linhas, de acordo com mais regras.

Obtemos as dobragens
que vão formar uma base.

Damos forma à base.

Obtemos uma forma dobrada
– neste caso, uma barata.

É tão simples.

(Risos)

É tão simples que podia ser feito
por um computador.

Dirão: "Bem, quão simples é isso?"

Com os computadores, temos
que descrever as coisas

em termos muitos básicos
e, neste caso, conseguimos.

Escrevi um programa há alguns
anos chamado TreeMaker.

Podem transferi-lo do meu
"website". É gratuito.

Corre na maior parte das
plataformas – até no "Windows".

(Risos)

Só têm que desenhar uma figura linear,

e ele calcula o padrão de dobragens.

Faz empacotamento de círculos
e calcula o padrão de dobragens.

Se usarem a figura linear
que acabei de mostrar

— que como podem ver
é um veado, tem galhos —

obtêm este padrão de dobragens.

Se dobrarmos este padrão
pelas linhas ponteadas,

obtemos uma base a que podemos depois

dar a forma de um veado,

que tem exatamente o padrão
de dobragens que queríamos.

Se quisermos um veado diferente,

não um de cauda branca,
mas um veado-mula ou um cervo,

mudamos o empacotamento

e podemos fazer um cervo.

Ou podemos fazer um alce.

Ou, na realidade, qualquer
outro tipo de veado.

Estas técnicas revolucionaram esta arte.

Descobrimos que podemos fazer insetos,

aranhas, que são parecidas,

coisas com pernas, coisas
com pernas e asas,

coisas com pernas e antenas.

Se dobrar um louva-a-deus a partir
de um único quadrado sem cortes

não for suficientemente interessante,

podemos fazer dois louva-a-deus

de um único quadrado sem cortes.

Ela está a devorá-lo.

Dei-lhe o nome de "Hora do lanche".

Podemos fazer mais do que apenas insetos.

Podemos por detalhes, dedos, garras.

Um urso pardo tem garras.

Esta rã arbórea tem dedos.

De facto, muita gente põe dedos
nos seus modelos de "origami".

Os dedos tornaram-se uma moda
no "origami",

porque toda a gente os faz.

Podemos fazer múltiplos temas.

Isto é um conjunto de instrumentalistas.

O guitarrista é feito
de um único quadrado,

assim como o baixo.

Se disserem: "Bem, a guitarra
e o baixo não são muito fixes."

"Faça instrumentos um pouco
mais complicados".

Bem, podemos fazer um órgão.

(Risos)

O que isto permitiu foi a criação

de "origami" a pedido.

Agora as pessoas podem dizer:
"Quero exatamente isto e isto",

e podemos dobrar o que querem.

Por vezes, criamos arte complexa.

Por vezes, pagamos as contas
fazendo trabalhos comerciais.

Quero mostrar-vos alguns exemplos.

Tudo o que vão ver aqui,

exceto o carro, é "origami".

(Vídeo)

(Aplausos)

Só para vos mostrar que isto
era mesmo papel dobrado.

Os computadores aceleraram as coisas,

mas isto era real, eram
dobragens feitas por nós.

Podemos usar isto para além de enfeites.

Mostra-se útil até no mundo real.

O "origami", surpreendentemente,

e as estruturas que desenvolvemos
em "origami"

têm aplicações em medicina, em ciência,

no espaço, no corpo, eletrónica
de consumo e outras coisas.

Quero mostrar-vos alguns destes exemplos.

Um dos mais antigos é este padrão,

este padrão de dobragens,

estudado pelo engenheiro
japonês Koryo Miura.

Ele estudou um padrão
de dobragens e percebeu

que isto poderia ser dobrado numa
embalagem extremamente compacta,

com uma estrutura de abertura
e fecho muito simples.

Ele usou isso para desenhar
este painel solar.

É a visão de um artista,

mas voou num telescópio japonês em 1995.

Existe um pouco de "origami"

no telescópio espacial James Webb,
mas é muito simples.

O telescópio, ao subir ao espaço,

desdobra-se em dois pontos.

Dobra-se em terços.

É um padrão muito simples.
Nem pode ser considerado "origami".

Decerto não tiveram que falar
com artistas de "origami".

Mas se quisermos ir mais além
e algo maior do que isto,

talvez precisemos de algum "origami".

Os engenheiros do Laboratório
Nacional Lawrence Livermore

tiveram uma ideia para um
telescópio muito maior.

Chamaram-lhe "Olho de Vidro".

O desenho implicava uma
órbita geossíncrona,

a uma altitude de 40 000 km,

e uma lente de 100 metros de diâmetro.

Imaginem uma lente do tamanho
de um campo de futebol.

Havia dois grupos de pessoas
interessadas nisto:

cientistas planetários,
que querem olhar para cima,

e outras pessoas, que queriam
olhar para baixo.

Quer se olhe para cima ou para baixo,
como se coloca no espaço?

Tem que ser com um foguetão
e os foguetões são pequenos,

por isso, tem que se fazer
mais pequeno.

Como se reduz uma grande folha de vidro?

A solução, quase única, é dobrá-la
de algum modo.

Temos que fazer algo deste género.

Isto é um modelo pequeno.

Uma lente dobrada, dividida
em painéis, com fletores.

Mas este padrão não vai permitir

reduzir algo com 100 metros
até alguns metros.

Os engenheiros de Livermore,

querendo usar o trabalho
de pessoas falecidas,

ou talvez de origamistas vivos, disseram:

"Vamos ver se alguém está
a fazer algo do género."

Observaram a comunidade de "origami",

contactámo-los e comecei
a trabalhar com eles.

Desenvolvemos um padrão, em conjunto,

que se amplia até um tamanho arbitrário,

mas que permite um anel plano ou um disco

dobrar-se num cilindro muito compacto.

Adotaram isto para a sua primeira geração,

que não tinha 100 metros, mas cinco.

Mas é um telescópio de cinco metros,
com uma distância focal de 400 metros.

Funciona perfeitamente
dentro do seu alcance,

e, na realidade, dobra-se num
conjunto muito arrumado.

Existe outro "origami" no espaço.

A Agência de Exploração Aeroespacial
Japonesa lançou uma vela solar.

Podemos ver aqui que a vela se expande

e podemos até ver as linhas de dobragem.

O problema que está aqui a ser resolvido

é algo que precisa de ser grande
e ter a forma de uma folha no seu destino,

mas tem que ser pequeno durante a viagem.

Isto coloca-se quer vamos ao espaço,

quer vamos ao interior de um corpo.

Isto é um exemplo disso.

Isto é um "stent" cardíaco
desenvolvido por Zhong You,

na Universidade de Oxford.

Mantém aberta uma artéria bloqueada,
quando chega ao seu destino,

mas deve ser muito menor,
para viajar até lá,

através dos nossos vasos sanguíneos.

Este "stent" dobra-se segundo
um padrão "origami",

baseado num modelo chamado
"base de bomba de água."

Os "designers" de "airbags"
também têm o problema

de colocar folhas planas

em espaços reduzidos.

Querem fazer a sua conceção
usando simulações.

Têm que descobrir como
achatar um airbag,

usando um computador.

Os algoritmos que desenvolvemos

para fazer os insetos

revelaram-se a solução para os "airbags",

nas suas simulações.

Podem, então, fazer uma
simulação como esta.

Vemos os vincos de "origami" a formar-se.

Agora podemos ver o "airbag" a insuflar

e verificar se funciona.

Isto conduz a uma ideia

realmente interessante.

De onde é que isto veio?

O "stent" cardíaco

veio de uma pequena caixa de soprar

que talvez tenhamos aprendido na primária.

É o mesmo padrão, chamado
"base de bomba de água".

O algoritmo de achatamento dos "airbags"

veio de todos os desenvolvimentos

de empacotamento de círculos
e da teoria matemática

que, na realidade, foi desenvolvida

apenas para criar insetos
– coisas com pernas.

A verdade é que isto é frequente

na matemática e na ciência.

Quando se envolve a matemática,
os problemas resolvidos

apenas pelo seu valor estético,

ou para criar algo belo,

dão a volta e revelam ter aplicação

no mundo real.

Por muito estranho e surpreendente
que possa parecer,

o "origami" poderá até um dia
salvar uma vida.

Obrigado.

(Aplausos)