< Return to Video

Visualizing Taylor Series Approximations

  • 0:00 - 0:01
  • 0:01 - 0:03
    ผมได้พูดถึงการใช้พหุนาม
  • 0:03 - 0:06
    เพื่อประมาณฟังก์ชัน
    แต่สิ่งที่ผมอยากทำในวิดีโอนี้
  • 0:06 - 0:08
    คือแสดงให้คุณเห็นว่าการประมาณนั้น
  • 0:08 - 0:09
    เกิดขึ้นจริง
  • 0:09 - 0:12
    ตรงนี้ -- ผมใช้ WolframAlpha วาดกราฟนี้
  • 0:12 - 0:13
    มันเป็นเว็บไซต์ที่เจ๋งมาก
  • 0:13 - 0:15
    คุณสามารถทำอะไรเพี้ยนๆ
    ทางคณิตศาสตร์ได้มากมาย
  • 0:15 - 0:21
    WolframAlpha.com -- ผมได้รูปนี้
    ลอกมาจากเว็บนั้น
  • 0:21 - 0:24
    ผมเคยพบสตีเฟน วูลแฟรมที่งานประชุมไม่นานมานี้
  • 0:24 - 0:24
    เขาบอกว่า ได้ คุณควรใช้
  • 0:24 - 0:26
    WolframAlpha ในวิดีโอของคุณ
  • 0:26 - 0:26
    ผมก็ตอบว่า เยี่ยมเลย
  • 0:26 - 0:27
    ผมจะใช้นะ
  • 0:27 - 0:29
    และนั่นคือสิ่งที่ผมทำอยู่ตรงนี้
  • 0:29 - 0:30
    และมันมีประโยชน์มากๆ เพราะสิ่งที่มันทำ
  • 0:30 - 0:32
    -- และเราได้คำนวณไป
  • 0:32 - 0:33
    เองหลายครั้งแล้ว
  • 0:33 - 0:34
    หรือทำด้วยเครื่องคิดเลขแบบวาดกราฟได้
  • 0:34 - 0:37
    แต่คุณทำได้เพียงขั้นเดียวใน WolframAlpha --
  • 0:37 - 0:44
    ดูว่าเราประมาณไซน์ของ x โดยใช้ --
  • 0:44 - 0:46
    คุณเรียกว่าการกระจายอนุกรมแมคคลอรินก็ได้
  • 0:46 - 0:49
    หรือคุณเรียกว่าการกระจายอนุกรมเทย์เลอร์ก็ได้ --
  • 0:49 - 0:52
    ที่ x เท่ากับ 0 โดยใช้เทอมมากขึ้นเรื่อยๆ
  • 0:52 - 0:54
    เราจะได้รู้สึกพอใจว่า
  • 0:54 - 0:59
    ยิ่งเราเพิ่มเทอมมากเท่าไหร่ มันยิ่งติดแน่น
    กับฟังก์ชันไซน์มากขึ้น
  • 0:59 - 1:03
    ค่าตรงนี้สีส้มคือไซน์ของ x
  • 1:03 - 1:07
    หวังว่าคุณคงคุ้นเคยนะ
  • 1:07 - 1:08
    ในวิดีโอก่อนๆ เราหาว่า
  • 1:08 - 1:12
    การกระจายแมคคลอริน
    สำหรับไซน์ของ x คืออะไร
  • 1:12 - 1:15
    และ WolframAlpha ทำมาให้เราเช่นกัน
  • 1:15 - 1:17
    เขาคำนวณแฟคทอเรียลมาให้ด้วย
  • 1:17 - 1:22
    3 แฟคทอเรียลคือ 6, 5 แฟคทอเรียลคือ 120
    ไปเรื่อยๆ
  • 1:22 - 1:23
    แต่สิ่งที่น่าสนใจตรงนี้คือว่าคุณ
  • 1:23 - 1:26
    เลือกจำนวนเทอมที่ประมาณ
  • 1:26 - 1:27
    ที่คุณอยากวาดกราฟได้
  • 1:27 - 1:30
    และสิ่งที่เขาทำคือว่า ถ้าคุณอยากได้
  • 1:30 - 1:32
    เทอมที่ประมาณ -- ถ้าเรา
  • 1:32 - 1:33
    ไม่ได้มีทั้งหมดนี้
  • 1:33 - 1:37
    ถ้าเราบอกแค่ว่า พหุนามของเราเท่ากับ x
  • 1:37 - 1:38
    มันจะเป็นอย่างไร?
  • 1:38 - 1:40
    มันจะเป็นกราฟนี่ตรงนี้
  • 1:40 - 1:42
    เขาบอกเราว่า -- เราใช้ไปกี่เทอม
  • 1:42 - 1:45
    โดยดูว่ามีกี่จุดตรงนี้ ซึ่งผมว่า
  • 1:45 - 1:47
    มันฉลาดมาก
  • 1:47 - 1:53
    เส้นนี่ตรงนี้ คือฟังก์ชัน p ของ x เท่ากับ x
  • 1:53 - 1:54
    และมันเป็นการประมาณที่หยาบมาก
  • 1:54 - 1:56
    ถึงแม้ว่าสำหรับไซน์ของ x มันไม่ได้แย่นัก
  • 1:56 - 2:00
    มันติดฟังก์ชันไซน์ตรงนี้
  • 2:00 - 2:04
    แล้วมันเริ่มห่างออกจากเส้นโค้งไซน์อีก
  • 2:04 - 2:05
    คุณบวกอีกเทอม
  • 2:05 - 2:09
    ถ้าคุณมี x ลบ x กำลังสามส่วน 6
  • 2:09 - 2:13
    ทีนี้ คุณมีสองเทอมในการกระจาย
  • 2:13 - 2:17
    หรือผมว่า เราควรเรียกตรงนี้ว่าเทอมอันดับสาม
  • 2:17 - 2:19
    เพราะนั่นคือเลขที่จุดหมายถึง
  • 2:19 - 2:21
    เพราะเขาไม่ได้พูดถึงจำนวนเทอม
  • 2:21 - 2:23
    เขาพูดถึงอันดับของเทอม
  • 2:23 - 2:25
    เรามี 1 จุดตรงนี้ เพราะเรา
  • 2:25 - 2:28
    มีเพียงเทอมดีกรีหนึ่งตัวเดียว
  • 2:28 - 2:30
    เมื่อเรามีสองเทอมตรงนี้ เนื่องจากเรา --
  • 2:30 - 2:32
    เวลาคุณกระจายสำหรับไซน์ของ x
  • 2:32 - 2:34
    มันไม่มีเทอมดีกรีสอง
  • 2:34 - 2:40
    ตอนนี้เรามีการประมาณพหุนามดีกรีสาม
  • 2:40 - 2:41
    แล้วลองดูเทอมดีกรีสามกัน
  • 2:41 - 2:43
    เราควรหาสามจุด
  • 2:43 - 2:44
    นั่นคือเส้นโค้งนี่ตรงนี้
  • 2:44 - 2:47
    ถ้าคุณมีแค่เทอมแรกนั่น
  • 2:47 - 2:48
    คุณจะได้แค่เส้นตรง
  • 2:48 - 2:52
    คุณบวกลบ x กำลังสามส่วน 6 เข้ากับ x นั้น
  • 2:52 - 2:57
    คุณจะได้เส้นโค้งที่เป็นแบบนี้
  • 2:57 - 3:01
    และสังเกตว่ามันเริ่มแน่นเข้าเร็วขึ้น
  • 3:01 - 3:03
    และมันติดแน่นต่อไปอีกนิด
  • 3:03 - 3:05
    ย้ำอีกครั้ง เมื่อเราเพิ่มเทอมที่สอง
  • 3:05 - 3:07
    มันก็ทำได้ดีขึ้น
  • 3:07 - 3:09
    มันติดกับฟังก์ชันไซน์ได้ดี
  • 3:09 - 3:11
    โดยเฉพาะแถวจำนวนน้อยๆ
  • 3:11 - 3:13
    คุณเพิ่มอีกเทอม
  • 3:13 - 3:18
    และตอนนี้ เราอยู่ที่พหุนามอันดับห้า ตรงนี้
  • 3:18 - 3:23
    x ลบ x กำลังสามส่วน 6 บวก x กำลัง 5 ส่วน 120
  • 3:23 - 3:25
    ลองดูจุด 5 จุดกัน
  • 3:25 - 3:27
    นั่นคือค่านี่ตรงนี้ -- 1, 2, 3, 4,
  • 3:27 - 3:28
    5
  • 3:28 - 3:30
    นั่นคือเส้นโค้งนี่ตรงนี้
  • 3:30 - 3:34
    และสังเกตว่ามันเริ่มเกาะเส้นเร็วขึ้นอีกหน่อย
  • 3:34 - 3:36
    กว่าเส้นสีม่วง และมัน
  • 3:36 - 3:38
    ติดไปนานกว่าหน่อย
  • 3:38 - 3:44
  • 3:44 - 3:46
    แล้วมันพลิกกลับขึ้นไปแบบนี้
  • 3:46 - 3:47
    มันกอดติดนานกว่าหน่อย
  • 3:47 - 3:50
    และคุณเห็นว่าผมจะทำต่อไป
  • 3:50 - 3:52
    ถ้าคุณมีทั้งสี่เทอมนี้
  • 3:52 - 3:56
    มันจะให้พหุนามดีกรีเจ็ด
  • 3:56 - 3:58
    ลองหาเส้น 7 จุดตรงนี้
  • 3:58 - 3:59
    มันจะเป็นแบบนี้
  • 3:59 - 4:02
  • 4:02 - 4:06
    แล้วเหมือนเดิม มันติดเส้นโค้งเร็วกว่าตอนที่เรา
  • 4:06 - 4:07
    มีแค่สามเทอมแรก
  • 4:07 - 4:13
    และมันติดเส้นโค้งไปจนถึงตรงนี้
  • 4:13 - 4:14
    แล้วสุดท้าย
  • 4:14 - 4:16
    ถ้าคุณมีเทอมทั้งหมดนี้ถึง x กำลัง 9
  • 4:16 - 4:17
    มันยิ่งติดกว่าเดิม
  • 4:17 - 4:18
    คุณเริ่มตรงนี้
  • 4:18 - 4:20
    มันติดเส้นโค้งยาวกว่าตัวอื่นๆ
  • 4:20 - 4:21
    และมันออกมา
  • 4:21 - 4:22
    และถ้าคุณคิดดู มันก็สมเหตุสมผล
  • 4:22 - 4:26
    เพราะสิ่งที่เกิดขึ้นตรงนี้คือว่า แต่ละเทอมที่ต่อกัน
  • 4:26 - 4:29
    ที่เราเพิ่มการกระจาย พวกมันจะมีดีกรี x สูงขึ้น
  • 4:29 - 4:35
    ส่วนจำนวนที่มากขึ้นมากๆๆๆๆ
  • 4:35 - 4:38
    สำหรับค่า x น้อย -- เมื่อคุณ
  • 4:38 - 4:41
    ใกล้กับจุดกำเนิดสำหรับ x น้อยๆ
  • 4:41 - 4:44
    ตัวส่วนนี้จะใหญ่กว่า
  • 4:44 - 4:46
    ตัวเศษมาก โดยเฉพาะตอนคุณมีค่าน้อยกว่า 1
  • 4:46 - 4:48
    เพราะเมื่อคุณยกกำลังอะไรก็ตาม
  • 4:48 - 4:50
    ที่มีค่าสัมบูรณ์น้อยกว่า 1
  • 4:50 - 4:52
    คุณจะได้ค่าเล็กลง
  • 4:52 - 4:54
    เมื่อคุณใกล้กับจุดกำเนิด
  • 4:54 - 4:56
    เทอมหลังๆ จะไม่สำคัญนัก
  • 4:56 - 4:59
    คุณจึงไม่ได้เสีย
  • 4:59 - 5:01
    ความแม่นยำจากเทอมก่อนๆ
  • 5:01 - 5:03
    เมื่อปรับเปลี่ยนเทอมพวกนี้เข้ามา
  • 5:03 - 5:06
    มันเข้ามาเมื่อตัวส่วน
  • 5:06 - 5:09
    เริ่มมีค่ามากกว่าตัวเศษ
  • 5:09 - 5:15
    เทอมสุดท้ายนี้ มันเริ่มเกี่ยวข้องตรงนี้
  • 5:15 - 5:20
    ตรงที่ x กำลัง 9 สามารถนำ 362,880 ได้
  • 5:20 - 5:22
    เช่นเดียวกับด้านลบ
  • 5:22 - 5:24
    หวังว่าคุณคงพอเข้าใจนะ
  • 5:24 - 5:27
    เรามีแค่ 1, 2, 3, 4, 5 เทอมตรงนี้
  • 5:27 - 5:28
    นึกดูว่าเกิดอะไรขึ้นถ้าเรามี
  • 5:28 - 5:31
    จำนวนเทอมเป็นอนันต์
  • 5:31 - 5:32
    ผมว่าคุณคงพอเข้าใจ
  • 5:32 - 5:37
    ว่ามันติดกับไซน์ยาวไปถึงอนันต์
  • 5:37 - 5:39
    หวังว่ามันคงทำให้คุณรู้สึกดีขึ้นนะ
  • 5:39 - 5:42
    เพื่อความสนุก คุณอาจลอง
  • 5:42 - 5:44
    -- ลองพิมพ์การกระจายเทย์เลอร์ที่ 0
  • 5:44 - 5:47
    กับไซน์ของ x, หรือการกระจายแมคคลอรินหรือ
    อนุกรมแมคคลอริน
  • 5:47 - 5:50
    ของไซน์ของ x, โคไซน์ของ x, e กำลัง x,
  • 5:50 - 5:52
    ใน WolframAlpha.com
  • 5:52 - 5:55
    แล้วลองฟังก์ชันหลายๆ ตัว
  • 5:55 - 5:58
    และคุณเพิ่มหรือลดเทอมได้
  • 5:58 - 6:01
    ดูว่ามันเกาะเส้นโค้งดีแค่ไหน
Title:
Visualizing Taylor Series Approximations
Description:
more » « less
Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
06:01

Thai subtitles

Revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.