Visualizing Taylor Series Approximations

Mówiłem już wiele o używaniu wielomianów w celu przybliżania

funkcji, ale chce Ci pokazać, że to

przybliżenie faktycznie działa.

W tym celu używam Wolfram Alpha

Jest to bardzo fajna strona

Dzięki niej można robić zwariowane rzeczy z matematyką.

Zatem wolframalpha.com

i mam to dzięki kopiuj/wklej. Spotkałem Steven`a Wolfram`a

na konferencji jakiś czas temu

A on powiedział - powinieneś użyć wolfram alpha w swoich

filmach. Odpoiwedziałem - Świetnie! użyje. I teraz właśnie to

robię tutaj i jest to bardzo użyteczne ponieważ to co

on robi - moglibyśmy wyliczać samemu

czy nawet wyliczyć to na graficznym kalkulatorze albo moglibyśmy

obliczyć to za pomocą jednego kliknięcia na wolfram alpha

- czyli zobaczyć jak dobrze możemy przybliżyć

sin(x) używając rozwinięcia w szereg Maclaurin`a

albo nazywając to inaczej - rozwinięcie w szereg Taylora dla punktu x = 0

używając do tego coraz to większej ilości wyrazów

mając dobre przeczucie, że

czym więcej wyrazów

tym lepiej (wielomian) przytula się do krzywej sinusa.

Zatem to pomarańczowe tutaj jest sin(x).

Powinien wyglądać dość znajomo dla Ciebie

i w poprzednich filmach doszliśmy od tego

czym rozwinięci Maclaurin`a dla sin(x) jest

i wolfram alpha zrobił to dla nas także.

On właściwie wyliczył wszystkie wyrazy dla nas.

3! jest równe 6, 5! jest równe 120 itd.

Interesujące jest, że możesz wybrać

ilość przybliżeń dla wykresu

a co on zrobi to jeśli wybierzesz

jeden wyraz do przybliżenia

jeśli byśmy powiedzieli, że cały wielomian ma być równy x,

jakby to wyglądało?

To będzie ten wykres tutaj

powie nam ilu składników użyliśmy

poznamy to po ilości kropek tutaj -

co, jak myślę, jest całkiem sprytne.

Zatem to tutaj jest funkcją p(x)

p(x)=x, więc jest to bardzo kiepskie przybliżenie

jednak dla sin nie jest ono takie kiepskie

otula funkcje właśnie tutaj i zaczyna

zakręcać od funkcji przy tym punkcie

Więc jeśli masz x -x^3/6

Czyli teraz masz dwa składniki

w rozwinięciu, więc myślę, że powinniśmy powiedzieć

że dotarliśmy do trzeciego wyrazu z kolei , bo tak pokazuję nam numerowanie kropkami

nie mówią one o ilości wyrazów tylko o ich porządku

Mamy tutaj jedną kropkę, ponieważ odpowiada ona pierwszemu stopniowi

Tutaj mamy dwa składniki - w pewnym sensie

kiedy rozwijasz sin(x) to nie ma on wyrazu drugiego stopnia

teraz mamy przybliżenie wielomianem trzeciego stopnia

Popatrzmy na trzeci stopień.

to ta krzywa tutaj, zatem jeśli masz pierwszy składnik

otrzymujesz prostą linie. Odejmujesz x^3 /6

do tego x i otrzymujesz krzywą

wyglądająca tak.

Zauważ, że zaczyna ona otulać sin trochę wcześniej

I przestaje go otulać trochę później

Więc drugi wyraz spisał się całkiem nieźle, otula on krzywą sinusa całkiem nieźle

zwłaszcza jeśli patrzymy na małe liczby.

Mając kolejny wyraz tworzący wielomian 5 stopnia.

więc x - x^3/6 + x^5/120, popatrzmy na te 5 kropek

To jest tutaj - 1, 2, 3, 4, 5

Więc to jest tak krzywa tutaj.

Zauważ, że zaczyna otulać ona krzywą trochę wcześniej niż fioletowa wersja.

I otula ją trochę dłużej.

więc otula ją trochę, trochę..

dłużej, a później zakręca w ten sposób.

Możesz zauważyć, że jeśli będę robił tak dalej

te pierwsze cztery wyrazy dadzą nam wielomian siódmego stopnia

Poszukajmy siedmiu kropek tutaj.

Zachowują się one w ten sposób.

Raz jeszcze, przytulają krzywą wcześniej

niż ta wersja z trzema składnikami.

I nie przestają otulać krzywej aż dotąd.

Ostatni - z x^9.

Byłoby jeszcze więcej.

Zaczyna się tu, otula dłużej niż wcześniejsze, a później odchodzi.

Jeśli pomyślisz o tym to nabierze to sensu.

Każdy kolejny wyraz, który dodajemy do rozwinięcia

ma wyższy stopnień x przez coraz większą liczbę.

Zatem dla małych wartości x to mianownik zdominuję licznik.

Zwłaszcza jeśli jesteśmy poniżej jedynki, bo jeśli weźmiemy coś co ma

wartość bezwzględną mniejszą niż 1 to pomniejszymy to.

Więc jesteśmy coraz bliżej początku.

Te późniejsze składniki nie liczą się tak bardzo.

Więc jakby nie tracisz precyzji wyznaczonej przez wcześniejsze wyrazy.

Te podkręcone składniki dochodzą kiedy licznik zaczyna dominować mianownik

Ten ostatni wyraz zaczyna być istotny tutaj.

Zaczyna być istotny w momencie, w którym x^9 przeważa nad 362 880

Tak samo - jeśli chodzi o część ujemną

Więc mam nadzieję, że nabrało to dla Ciebie sensu.

Mamy tylko 1..2..3..4..5 wyrazów.

Wyobraź sobie co by się stało jeśli mielibyśmy nieskończoną liczbę wyrazów.

Myślę, że wyczuwasz, że przytuliłoby to

krzywą sinusa aż do nieskończoności.

Mam nadzieję, że czujesz się już z tym lepiej.

Dla zabawy możesz wpisać rozszerzenie Taylora w zerze

czy rozwinięcie Maclaurin`a w szereg

Dla sin(x), cos(x), exp(x)w wolframalpha.com

i spróbuj z różnymi funkcjami

dodając i odejmując wyrazy, aby zobaczyć

jak zmienia się otulenie krzywej.