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Visualizing Taylor Series Approximations

  • 0:01 - 0:03
    함수를 근사하기 위해
  • 0:03 - 0:05
    다항식을 이용하는 것에 대해
    수 없이 이야기하였습니다
  • 0:05 - 0:06
    그런데 이번 시간에는
  • 0:06 - 0:09
    근사식이 실제로 일어나는 것을
    보여드릴 것입니다
  • 0:09 - 0:12
    울프럼 알파를
    이용하였습니다
  • 0:12 - 0:13
    아주 좋은 사이트에요
  • 0:13 - 0:15
    수학적으로 복잡한 모든 것들을
    여기서 다룰 수 있습니다
  • 0:15 - 0:21
    울프럼 알파에서
    복사, 붙여넣기 하였습니다
  • 0:21 - 0:24
    얼마 전에 컨퍼런스에서
    스티븐 울프럼을 만났는데요
  • 0:24 - 0:24
    강의하면서
    울프럼 알파를
  • 0:24 - 0:26
    당연히 사용해도
    된다고 하였습니다
  • 0:26 - 0:26
    전 좋다고 했죠
  • 0:26 - 0:27
    전 좋다고 했죠
  • 0:27 - 0:29
    여기 보세요
  • 0:29 - 0:30
    이는 엄청나게 유용합니다
  • 0:30 - 0:32
    직접 계산해야 했거나
  • 0:32 - 0:33
    직접 계산해야 했거나
  • 0:33 - 0:34
    그래프 계산기로
    했어야 하는데
  • 0:34 - 0:37
    울프럼 알파에서
    한 단계만 거치면
  • 0:37 - 0:44
    sinx가 어떻게 근사되는지
    확인할 수 있습니다
  • 0:44 - 0:46
    매클로린 급수 전개
  • 0:46 - 0:49
    혹은 x=0에 대한
    테일러 급수 전개에서
  • 0:49 - 0:52
    항을 더욱 더 많이
    이용하면 말이죠
  • 0:52 - 0:54
    항을 많이 더할수록
    사인 곡선이
  • 0:54 - 0:59
    더 잘 그려진다는 것은
    사실입니다
  • 0:59 - 1:03
    주황색 그래프가
    sinx 입니다
  • 1:03 - 1:07
    익숙하죠
  • 1:07 - 1:08
    이전 강의에서
  • 1:08 - 1:12
    sinx의 매클로린 전개가
    무엇인지 풀었습니다
  • 1:12 - 1:15
    울프럼 알파에서
    이를 잘 나타내 주었습니다
  • 1:15 - 1:17
    팩토리얼도 계산했네요
  • 1:17 - 1:22
    3! = 6, 5! = 120
    이런 식으로 말이죠
  • 1:22 - 1:23
    여기서 재밌는 점은
  • 1:23 - 1:26
    여러분이 그리고 싶은
    그래프의 근사 중에서
  • 1:26 - 1:27
    몇 개를 선택할 수
    있느냐 입니다
  • 1:27 - 1:30
    항 1개에 대하여만
    근사한다면
  • 1:30 - 1:32
    항 1개에 대하여만
    근사한다면
  • 1:32 - 1:33
    전체 항이 아니라
  • 1:33 - 1:37
    다항식이 그냥
    x라고 한다면
  • 1:37 - 1:38
    그래프는 어떻게 될까요?
  • 1:38 - 1:40
    바로 이 그래프입니다
  • 1:40 - 1:42
    사용한 항의 개수를
  • 1:42 - 1:45
    그래프의 점의 개수로
    나타내 주었습니다
  • 1:45 - 1:47
    스마트한 방법이죠
  • 1:47 - 1:53
    따라서 이 함수
    p(x) = x 입니다
  • 1:53 - 1:54
    대략적으로 근사하였습니다
  • 1:54 - 1:56
    sinx와 비교하면
    그렇게 나쁘진 않습니다
  • 1:56 - 2:00
    sin 곡선과 여기서 만나고
  • 2:00 - 2:04
    sin 곡선에서
    멀어지기 시작합니다
  • 2:04 - 2:05
    다른 항을 더해보죠
  • 2:05 - 2:09
    x - x³/6 입니다
  • 2:09 - 2:13
    전개식에 항이 2개 있습니다
  • 2:13 - 2:17
    혹은 3차항이라고 합시다
  • 2:17 - 2:19
    그래프의 점의 개수를
    나타내기도 하니까요
  • 2:19 - 2:21
    항의 개수에 대한
    언급은 없습니다
  • 2:21 - 2:23
    항의 차수가 중요하죠
  • 2:23 - 2:25
    여기에는 점이 하나입니다
  • 2:25 - 2:28
    1차항이기 때문이죠
  • 2:28 - 2:30
    항이 2개일 때
  • 2:30 - 2:32
    sinx를 전개할 때
  • 2:32 - 2:34
    이차항이 없으므로
  • 2:34 - 2:40
    삼차다항식의 근사가
    되는 것입니다
  • 2:40 - 2:41
    삼차그래프를 살펴봅시다
  • 2:41 - 2:43
    점이 3개인 그래프를
    보아야 합니다
  • 2:43 - 2:44
    바로 여기 있네요
  • 2:44 - 2:47
    항이 1개라면
  • 2:47 - 2:48
    직선이 되고
  • 2:48 - 2:52
    그 식에 -x³/6을 더하면
  • 2:52 - 2:57
    이런 곡선이 됩니다
  • 2:57 - 3:01
    sin 곡선과
    더 일찍 만나네요
  • 3:01 - 3:03
    그리고 조금 더 오래
    맞닿아 있습니다
  • 3:03 - 3:05
    2번째 항을 더한 결과는
  • 3:05 - 3:07
    아주 만족스럽습니다
  • 3:07 - 3:09
    sin 곡선과
    잘 맞닿았는데
  • 3:09 - 3:11
    이는 수가 더 작아질수록
    그렇습니다
  • 3:11 - 3:13
    다른 항을 더합니다
  • 3:13 - 3:18
    5차식이 됩니다
  • 3:18 - 3:23
    x - x³/6 + x^5/120
  • 3:23 - 3:25
    점이 5개인
    그래프를 살펴봅시다
  • 3:25 - 3:26
    이 그래프입니다
  • 3:26 - 3:28
    하나, 둘, 셋, 넷, 다섯
  • 3:28 - 3:30
    바로 이 곡선입니다
  • 3:30 - 3:34
    분홍색 곡선과 비교하면
  • 3:34 - 3:36
    sin 곡선과
    더 일찍 만납니다
  • 3:36 - 3:43
    그리고 더 오래
    맞닿아 있습니다
  • 3:43 - 3:46
    그러곤 획 올라갑니다
  • 3:46 - 3:47
    따라서 더 오래
    맞닿아 있습니다
  • 3:47 - 3:50
    계속해서
    4번째 항까지 있다면
  • 3:50 - 3:52
    계속해서
    4번째 항까지 있다면
  • 3:52 - 3:56
    7차식이 되므로
  • 3:56 - 3:58
    점이 7개인 그래프를 보면
  • 3:58 - 4:02
    이런 식으로 들어와서
  • 4:02 - 4:04
    항이 3개인 경우보다
  • 4:04 - 4:07
    더 빨리 곡선과 만납니다
  • 4:07 - 4:13
    여기까지 곡선과
    계속 맞닿아 있습니다
  • 4:13 - 4:14
    마지막 항입니다
  • 4:14 - 4:16
    모든 항을 포함한
    9차식이라면
  • 4:16 - 4:17
    sin 곡선과
    더 가까워겠죠
  • 4:17 - 4:18
    여기서 시작하여
  • 4:18 - 4:20
    다른 곡선보다
    오래 맞닿아 있고
  • 4:20 - 4:21
    여기서 빠져나갑니다
  • 4:21 - 4:22
    생각해보면
    일리 있습니다
  • 4:22 - 4:26
    연속적인 항을
    전개식에 추가하여
  • 4:26 - 4:29
    x의 차수가 점점
    커지기 때문이죠
  • 4:29 - 4:35
    x의 차수가 점점
    커지기 때문이죠
  • 4:35 - 4:38
    따라서 x가 작을 때
  • 4:38 - 4:41
    즉, x값이 원점에 가까울 때
  • 4:41 - 4:44
    분모는 엄청나게 커집니다
  • 4:44 - 4:46
    분자는 1보다 작은데 말이죠
  • 4:46 - 4:48
    1보다 작은 값의
    절댓값에
  • 4:48 - 4:50
    거듭제곱을 하면
  • 4:50 - 4:52
    아주 작아집니다
  • 4:52 - 4:54
    따라서 원점에 가까울수록
  • 4:54 - 4:56
    뒤에 오는 항은
    별로 중요하지 않습니다
  • 4:56 - 4:59
    따라서 먼저 온 항들의
  • 4:59 - 5:01
    정확성을 잃지 않는 것이죠
  • 5:01 - 5:03
    복잡한 항이 들어오면
  • 5:03 - 5:06
    분자는 분모를
  • 5:06 - 5:09
    압도할 수 있게 됩니다
  • 5:09 - 5:15
    따라서 마지막 항은
    이 부분과 관련이 있습니다
  • 5:15 - 5:20
    x^9이
    362,880을 넘어서는 부분이죠
  • 5:20 - 5:22
    음수인 부분도 마찬가지구요
  • 5:22 - 5:24
    느낌이 왔기를 바랍니다
  • 5:24 - 5:27
    여기에는 5개항 뿐입니다
  • 5:27 - 5:28
    항이 무한대라고
  • 5:28 - 5:31
    상상해 보세요
  • 5:31 - 5:32
    무한대로 간다면
  • 5:32 - 5:37
    sin 곡선에 가까워진다는
    느낌이 오죠?
  • 5:37 - 5:39
    이해가 되었길 바랍니다
  • 5:39 - 5:42
    재미로
  • 5:42 - 5:45
    sinx의 0에 대한
    테일러 전개식이나
  • 5:45 - 5:47
    또는 sinx, cosx, e^x의
  • 5:47 - 5:50
    매클로린 전개식 또는 급수를
    타이핑해 보세요
  • 5:50 - 5:52
    울프럼 알파에서 말이죠
  • 5:52 - 5:55
    여러 다른 함수들을 이용하여
  • 5:55 - 5:58
    항을 더하고 빼면서
  • 5:58 - 6:01
    곡선에 가까워지는지
    확인합니다
Title:
Visualizing Taylor Series Approximations
Description:
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Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
06:01

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