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方程的无限解

  • 0:01 - 0:04
    因为你和这只鸟让他在国王面前出了丑
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    阿贝格拉大人变得既愤怒又尴尬
  • 0:08 - 0:10
    他便夺门而出
  • 0:10 - 0:12
    可一转眼他就又冲进了屋子
  • 0:12 - 0:14
    他说：“是我错了”
  • 0:14 - 0:15
    “对不起”
  • 0:15 - 0:18
    “我现在知道错在哪里了”
  • 0:18 - 0:23
    “我觉得题目里面有个小小的笔误”
  • 0:23 - 0:26
    “他们第一周去菜市场”
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    “买了2磅苹果和1磅香蕉”
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    “总共花掉的不是3美元”
  • 0:30 - 0:35
    “而是5美元”
  • 0:36 - 0:41
    “既然你和这只鸟都这么聪明”
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    “你们一定能算出来每磅苹果”
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    “和每磅香蕉的单价是多少”
  • 0:48 - 0:51
    于是你思考了片刻
  • 0:51 - 0:55
    这道题目有解吗？
  • 0:55 - 0:57
    让我们用同样的变量来分析这道题
  • 0:57 - 1:01
    你会想，如果设a为每磅苹果的单价
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    设b为每磅香蕉的单价
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    那么首先，2磅苹果的总价应为2a美元
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    因为它的单价是a美元/磅
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    那么1磅香蕉的总价
  • 1:14 - 1:19
    就是b美元，因为这个表达式是1磅×b美元/磅
  • 1:19 - 1:24
    两个加起来就等于5美元
  • 1:24 - 1:28
    这是更改过了的数字
  • 1:28 - 1:30
    从刚才那个小片段我们知道
  • 1:30 - 1:32
    这个条件没有改变
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    6磅苹果的总价是6a
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    6磅×a美元/磅
  • 1:38 - 1:43
    而3磅香蕉的总价是3b
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    3磅×b美元/磅
  • 1:45 - 1:47
    这次购物买的苹果和香蕉的总价
  • 1:47 - 1:52
    我们已经知道是15美元
  • 1:53 - 1:56
    所以这一次，你又可以用消元法
  • 1:56 - 1:58
    来试着解决这道题
  • 1:58 - 2:00
    你也可以再把a消去
  • 2:00 - 2:01
    这里有2a
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    这里有6a
  • 2:03 - 2:05
    如果我用2a×(-3)
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    这就变成了-6a
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    就能把所有含有a的项都消去了
  • 2:10 - 2:11
    于是你就照这个来算
  • 2:11 - 2:12
    你把方程两边同乘以一个数
  • 2:12 - 2:14
    你不能只乘其中一项
  • 2:14 - 2:17
    必须把方程两边各项同时乘以-3
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    这样才能得到等价方程
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    所以我们把方程两边同乘以-3
  • 2:21 - 2:26
    2a×(-3)=-6a
  • 2:26 - 2:30
    b×(-3)=-3b
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    5×(-3)=-15
  • 2:35 - 2:37
    那现在看起来
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    有点儿不对头了
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    因为你把这个
  • 2:40 - 2:44
    蓝色（紫色）方程式的左边
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    和绿色方程式的左边加起来以后，得到了0
  • 2:47 - 2:50
    两个方程式的左边各项互相抵消了
  • 2:50 - 2:54
    而在右边，15-15
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    也得到了0
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    所以结果就是0=0
  • 3:01 - 3:03
    这比上次的解是好了一点
  • 3:03 - 3:05
    上一回我们算出来的解是0=6
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    但是0=0这个解
  • 3:07 - 3:08
    没有告诉你任何关于变量的信息
  • 3:08 - 3:09
    这是个真命题
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    0=0绝对是没错的
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    但是它没有告诉你任何关于变量的信息
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    所以，小鸟就对着国王的耳朵说了几句悄悄话
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    接着国王说道：
  • 3:20 - 3:21
    “鸟儿认为你应该用作图的方法”
  • 3:21 - 3:23
    “来解这道题”
  • 3:23 - 3:26
    有过上次的经历，你已经知道
  • 3:26 - 3:29
    听这只鸟儿的话是没错的
  • 3:29 - 3:33
    于是你就试着通过作图来表达这两个约束
  • 3:33 - 3:34
    我们就用同样的方法来做
  • 3:34 - 3:35
    我们有b轴
  • 3:37 - 3:39
    这是我们的b轴
  • 3:39 - 3:43
    我们还有a轴
  • 3:43 - 3:46
    让我们在数轴上把这些点标出来：1，2，3，4，5
  • 3:46 - 3:50
    这里也是1，2，3，4，5
  • 3:50 - 3:52
    那么，这边第一个方程
  • 3:52 - 3:55
    如果我们在两边同时减去2a
  • 3:55 - 3:57
    我要用斜截式来给它作图
  • 3:57 - 4:04
    得到了b=-2a×5
  • 4:04 - 4:06
    我刚才只是把方程两边同时减去2a
  • 4:06 - 4:09
    如果我们要把它作成图
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    截距就是当a=0时，b=5
  • 4:11 - 4:12
    就在这个位置
  • 4:12 - 4:14
    斜率是-2
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    也就是说a的值每增加1，比方说a从0变成1
  • 4:18 - 4:20
    b的值就要减少2
  • 4:20 - 4:24
    所以这里是减少了2
  • 4:24 - 4:27
    所以第一个白色的方程式
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    用作图方式求解就是这个样子
  • 4:29 - 4:35
    这是所有符合约束条件的
  • 4:35 - 4:37
    香蕉和苹果的单价的解
  • 4:37 - 4:40
    现在我们来作第二个方程的图
  • 4:40 - 4:44
    如果我们把方程两边同时减去6a
  • 4:44 - 4:51
    就得到了3b=-6a+15
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    现在我们可以两边同时除以3
  • 4:55 - 4:57
    每一项都要除以3
  • 4:57 - 5:03
    最后得到的是b=-2a+5
  • 5:03 - 5:05
    这就有意思了
  • 5:05 - 5:08
    这个看着很眼熟，其实跟刚才那个就是完全一样的
  • 5:08 - 5:11
    它在b轴上的截距是5，斜率是-2a
  • 5:11 - 5:16
    所以用这两个方程式作出来的其实是同一条直线
  • 5:16 - 5:19
    因此这两个是完全相同的约束
  • 5:19 - 5:21
    于是你就糊涂了
  • 5:21 - 5:26
    你说：“嗯，我明白为什么会得到0=0这个解了”
  • 5:26 - 5:28
    “这个方程组实际上有无穷多解”
  • 5:28 - 5:31
    “在这条线上取任意x的值和相应的y值”
  • 5:31 - 5:34
    “都是原方程组的解”
  • 5:35 - 5:37
    “因此，这个方程组有无穷多解”
  • 5:37 - 5:39
    但你也很好奇，为什么会出现这种情况呢？
  • 5:39 - 5:41
    于是，鸟儿又在国王耳边悄声说了几句
  • 5:41 - 5:43
    国王就说：“鸟儿告诉我”
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    “这是因为前后两次去菜市场”
  • 5:46 - 5:49
    “买的苹果和香蕉的比率是一样的”
  • 5:49 - 5:54
    和用白色字表示的这次购买相比，绿色的这一次里
  • 5:54 - 5:57
    你买的苹果和香蕉的量
  • 5:57 - 6:00
    都是上次的3倍，总价也是上次的3倍
  • 6:00 - 6:05
    所以，无论苹果和香蕉的单价是什么
  • 6:05 - 6:08
    你第二次买苹果和香蕉的数量
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    都是上一次的3倍
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    花的钱也是上次的3倍
  • 6:13 - 6:15
    因此，两种水果的单价可以是任意值
  • 6:15 - 6:18
    这其实是有解的
  • 6:18 - 6:23
    我们不能说阿贝格拉大人骗了我们
  • 6:23 - 6:25
    但是他没有给我们任何有用的信息
  • 6:25 - 6:28
    我们说，这个方程组是有解的
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    这里的信息是一致的
  • 6:29 - 6:31
    让我们把这个写下来
  • 6:31 - 6:34
    这是有解的
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    这个解就是0=0
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    这没什么值得怀疑的
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    但是这些信息是不够的
  • 6:41 - 6:46
    这个方程组是相关的
  • 6:46 - 6:52
    它有无穷多组解
  • 6:52 - 6:56
    这条直线上的任意一点都代表了一组解
  • 6:56 - 6:58
    因此，你就可以告诉阿贝格拉大人：
  • 6:58 - 7:00
    “如果你真想让我们解开这道题”
  • 7:00 - 7:01
    “你就得给我们更多信息”
  • 7:01 - 7:06
    “最好是买不同倍率关系的苹果和香蕉”
Title:
方程的无限解
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一致且相依的方程组

观看下一节课：https://www.khanacademy.org/math/algebra2/systems_eq_ineq/systems_tutorial_precalc/v/consistent-and-inconsistent-systems?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=AlgebraII

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可汗学院的代数II：代数I部分的学习为你打下了坚实的基础，让你可以前往线性方程、不等式和函数的领域进行探索。在代数II这一部分，我们在之前的基础上继续深入，不仅要延伸我们在代数I部分学到的知识，还要慢慢开始研究怎样攻克宇宙的终极难题。我们将再次接触方程组、不等式、函数等方面的知识，还将解决指数及对数函数、对数、虚数及复数、圆锥曲线、矩阵等新问题。不要被这些听上去高深的词汇吓倒。数学之旅上，将始终有我们与你作伴！

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Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
07:08

Chinese, Simplified subtitles

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