Infinite solutions to systems

Arbegla se začíná cítit
rozzuřeně a trapně,

že se před vámi a králem
ztrapnil, a tak se vyřítí z místnosti.

O několik sekund později
se zase přiřítí zpět.

Řekne: „Moje chybu, omlouvám se.

Teď vím, co to bylo za chybu.

Objevila se chybička, nějaký
překlep nebo chyba při zápisu.

V prvním týdnu, když šli na trh
a koupili 2 kila jablek a 1 kila banánů,

nestálo to 3 dolary.

Stálo to 5 dolarů.

A teď, jelikož vy a pták
vypadáte velmi chytře,

tak byste určitě dokázali přijít na to,
kolik stojí 1 kilo jablek

a kolik stojí 1 kilo banánů.“

A tak se na chvíli zamyslíte,
bude to mít nějaké řešení?

Tak se na to pojďme podívat
s použitím stejných proměnných.

Řeknete si, když ‚a‘ je
cena za 1 kilo jablek

a ‚b‘ je cena za 1 kilo banánů,
první podmínka nám říká,

že 2 kilo jablek budou stát 2a,
protože je to ‚a‘ dolarů za kilo.

1 kilo banánů bude stát ‚b‘ dolarů,

protože je to 1 kilo
krát ‚b‘ dolarů za kilo.

To obojí dohromady bude stát 5 dolarů.

Bude to stát 5 dolarů.

To je správné číslo.

A jak jsme viděli posledně,
tahle informace se nezměnila.

6 kilo jablek bude stát 6a,
6 kil krát ‚a‘ dolarů za kilo.

3 kila banánů budou stát 3b,
3 kila krát ‚b‘ dolarů za kilo.

Celková cena jablek a banánů
v tomto nákupu je 15 dolarů.

15 dolarů.

Možná si řeknete, že to zkusíte
vyřešit pomocí eliminace.

Ještě jednou, řeknete si,
zbavím se těch ‚a‘.

Mám 2a tady. A mám 6a tady.

Když tady -3 vynásobím 2a,
tak se z tohohle stane -6a.

A možná se mi tím vyruší ten zbytek.

A tak to uděláte.

Vynásobíte celou tuhle rovnici.

Nemůžete vynásobit jen jeden člen.
Musíte vynásobit celou tuhle rovnici -3,

pokud chcete rovnici opravdu zachovat.

A tak násobíme -3,
takže 2a krát -3 je -6a,

b krát -3 je -3b,
5 krát -3 je -15.

A teď to začne vypadat, že
se stane něco podezřelého.

Protože když přičtete levou stranu téhle
modré či fialové rovnice k té zelené,

tak dostanete 0.

Všechny tyto věci se zde vyruší.

Na pravé straně je 15 minus 15,
což se také rovná 0.

Dostanete, že 0 se rovná 0,
což vypadá o něco lépe, než před chvílí.

Posledně nám vyšlo, že 0 se rovná 6.

Ale 0 rovná 0 vám příliš
nepomůže s ‚x‘ a ‚y‘.

Je to tak.

Je stoprocentně pravda.
že 0 se rovná 0,

ale nepomůže vám to s řešením ‚x‘ a ‚y‘.

Potom pták zašeptá králi do ucha,

a tak král řekne:

„Pták vám radí
si nakreslit graf,

díky kterému zjistíte, o co vlastně jde.“

Zjistili jste, že
poslouchat ptáka se vyplatí.

Takže si zkusíte nakreslit graf
těchto dvou proměnných.

Uděláme to stejně.

Nakreslíme si osu ‚b‘.

Tady je osa ‚b‘.

A tady máme osu ‚a‘.

Uděláme si několik značek,
1, 2, 3, 4, 5 a zase 1, 2, 3, 4, 5.

V první rovnici odečteme
2a na obou stranách,

zapíšu si to následovně,

a vyjde vám, že
b se rovná -2a plus 5.

Pouze jsem odečetl 2a na obou stranách.

Když si to zakreslíme,
tady je průsečík b,

a se rovná 0,
b se rovná 5.

Tak je to zde.

Směrnice přímky je -2.

Vždy, když přičtete 1 k ‚a‘,
‚b‘ se dvakrát zmenší.

Dvakrát se zmenší.

Když si nakreslíme řešení,

první rovnice vypadá takto.

V této neznámé jsou všechny
ceny jablek a banánů.

Teď si nakreslíme druhou rovnici.

Když odečteme 6a na obou stranách,
vyjde nám, že 3b se rovná -6a plus 15.

Teď můžeme vydělit obě strany 3.

Všechno vydělíme 3.

Zůstane nám, že b se rovná -2a plus 5.

To je zajímavé.

Vypadá to úplně stejně.

Průsečík b je 5 a směrnice je-2.

V podstatě se jedná o totéž.

Vlastně se jedná o stejné neznámé.

Možná se budete cítit trochu zmateně

a řeknete si "Už chápu
proč se 0 rovná 0.".

Ve skutečnosti existuje
nekonečné množství řešení.

Vyberete si jakékoliv
‚x‘ a příslušné ‚y‘,

a budou být správným řešením.

Takže existuje nekonečné množství řešení.

Říkáte si, proč to tak je?

Pták opět zašeptá králi
do ucha, a král říká:

„Podle ptáka byl vždy při nákupu stejný
poměr mezi koupenými jablky a banány.“

Oproti bílému nákupu jste v zeleném
koupili třikrát víc jablek,

třikrát víc banánů, a tak
byla cena třikrát vyšší.

V každé situaci při jakékoliv ceně
za kilo jablek a banánů,

jestliže koupíte přesně třikrát
tolik jablek, třikrát tolik banánů,

a máte třikrát takovou cenu,
tak je to pravda pro jakoukoliv cenu.

Ve skutečnosti se to tedy nemění.

Nemůžeme říct, že by nám Arbegla lhal,

ale nedává nám dost informací.

Jsou to stejné rovnice.

Tady to napíšu.

Jsou stejné.

A je to pravda,
0 je stejná jako 0.

Nic špatného se tady neděje,

ale stále to není dost informací.

Tento systém rovnic je závislý.

Závislý.

A vy máte nekonečné množství řešení.

Každá tečka na této přímce
znázorňuje řešení.

Takže řeknete Arbeglovi,
že jestli chce,

abyste na to přišli,
musí vám dát více informací.

A pokud možno koupit jiný
poměr jablek a banánů.