-
Myślę
-
Myślę, że większość ludzi wie jak obliczyć pole trójkąta
-
jeśli znamy długość jego podstawy
-
oraz wysokości.
-
Na przykład, jeśli to jest mój trójkąt to ten odcinek
-
jest jego podstawą b, a jego wysokość (tutaj) ma długość h
-
to pole tego trójkąta, jak łatwo zgadnąć
-
wynosi połowę iloczynu długości podstawy (b)
-
oraz wysokości (h).
-
Na przykład, jeżeli długość podstawy wynosi 5
-
a długość wysokości 6, to pole wyniesie 1/2 razy 5 razy 6,
-
co nam da 1/2 razy 30. Ostatecznie pole wyniesie 15.
-
Istnieje inny, mniej znany wzór na pole trójkąta,
-
który pozwala policzyć pole, jeżeli znamy tylko długości jego krawędzi.
-
Czyli różnica polega na braku znajomości długości wysokości.
-
Na przykład: jak obliczycie pole trójkąta,
-
jeśli podam wam tylko długości jego krawędzi?
-
Niech naszymi danymi będą a, b oraz c --
-
długości boków trójkąta.
-
Jak to policzyć?
-
Do rozwiązania tego problemu użyjemy
-
wzoru Herona
-
wzoru Herona
-
Ten film nie służy udowodnieniu tego wzoru,
-
tym zajmiemy się następnym razem.
-
Aby przeprowadzić dowód nie jest potrzebna żadna zaawansowana wiedza,
-
właściwie wszystkie potrzebne narzędzia już posiadacie.
-
W zasadzie potrzebne jest tylko twierdzenie Pitagorasa
-
oraz dużo przekształceń algebraicznych.
-
Ale teraz tylko pokaże wam jak ten wzór wygląda,
-
oraz jak go używać. Wtedy może dostrzeżecie,
-
że jest on prosty i łatwy do zapamiętania.
-
A nie wszyscy o tym wiedzą, więc można tym zabłysnąć w towarzystwie.
-
Aby użyć wzoru Herona musimy najpierw wprowadzić kolejną zmienną S,
-
która będzie oznaczać połowę
-
długości obwodu trójkąta:
-
suma a, b i c podzielona przez 2
-
Kiedy już policzymy wartość S,
-
to pole trójkąta wyniesie pierwiastek kwadratowy z
-
iloczynu S (to ta policzona właśnie wartość),
-
S minus a, S minus b, oraz S minus c.
-
To jest właśnie wzór Herona.
-
To wyrażenie.
-
Pozwólcie, że to wyróżnię.
-
Czyli to nazywamy wzorem Herona.
-
Wygląda to trochę skomplikowanie, na pewno jest
-
bardziej skomplikowane nić połowa iloczynu
-
długości podstawy i wysokości.
-
Teraz zrobimy jeden, albo dwa przykłady, aby pokazać,
-
że nie jest to wcale takie złe.
-
Przyjmijmy, że mamy dany trójkąt.
-
Zostawię wzór na górze.
-
Narysujemy nasz trójkąt przyjmując, że jego boki
-
mają długości kolejno 9, 11 i 16.
-
Możemy zastosować wzór Herona.
-
W tej sytuacji S będzie połową obwodu.
-
Więc suma 9, 11 i 16 dzielona przez 2
-
równa się 20 plus 16 równa się 36
-
dzielona na dwa to 18.
-
Wtedy pole ze wzoru Herona wyniesie
-
pierwiastek z S (18) razy S - a (S - 9), ...
-
równe 18 - 9 razy 18 - 11 razy 18 - 16.
-
Co się staje ...
-
Co jest równe pierwiastkowi z
-
18 razy 9 razy 7 razy 2
-
Co jest równe ... -- 2 razy 18 to 36.
-
Zamienimy kolejność.
-
Otrzymujemy pierwiastek z 36 razy 9 razy 7,
-
co jest równe pierwiastkowi z 36 razy
-
pierwiastek z 9 razy pierwiastek z 7.
-
Pierwiastek z 36 to 6.
-
To jest 3.
-
Nie bierzemy pod uwagę ujemnych wyników,
-
ponieważ nie ma boków o ujemnej długości.
-
Na końcu otrzymujemy
-
18 pierwiastków z 7
-
Jak zauważyliście użycie wzoru Herona
-
do obliczenia pola trójkąta
-
zajęło tylko kilka minut,
-
a nawet mniej.
-
Mam nadzieję, że wszystko zostało jasno pokazane.
-
Mam nadzieję, że wszystko zostało jasno pokazane.
