Introduction to complex numbers | Imaginary and complex numbers | Precalculus | Khan Academy

Przez większą część twojego matematycznego
życia uczyłeś się o liczbach rzeczywistych

Liczby rzeczywiste zawierają chociażby
0, 1, 0.(3), pi oraz liczbę e.

Mogę dalej wypisywać liczby rzeczywiste.
Znasz je bardzo dobrze.

W pewnym momencie odkrywamy coś
interesującego.

Zastanówmy się, czy istnieje liczba,
która podniesiona do kwadratu da -1.

Zdefiniujemy ją tak, że podniesiona do
kwadratu da -1.

Taką liczbę definiujemy jako i.

W ten sposób określamy całą klasę nowych
liczb,

które możemy przedstawić jako
wielokrotności jednostki urojonej.

Zatem liczby urojony to np i, -i,
i pomnożone pi razy lub i pomnożone e razy

co może prowadzić do kolejnego
interesującego pytania:

Co jeśli połączymy ze sobą liczby urojone
i rzeczywiste?

Co jeśli wezmę sumę lub różnicę liczby
rzeczywistej i zespolonej?

Na przykład, powiedzmy, że mam liczbę,
którą nazwę z

z będziemy najczęściej używać, mówiąc o
tym, o czym właśnie zamierzam powiedzieć:

o liczbach zespolonych.

Weźmy z równe liczbie rzeczywistej 5 dodać
liczbie urojonej 3i.

Czyli ta liczba, mamy tutaj liczbę
rzeczywistą z dodaną liczbą urojoną.

Być może kusi cię, aby dodać te dwie
liczby, ale nie możesz tego zrobić.

To nie miałoby sensu, bo są to liczby
różnego typu, za chwilę to zobrazuję,

ale nie możesz tego już bardziej uprościć,
nie możesz dodać do siebie liczby

rzeczywistej i liczby urojonej.

Liczbę taką jak tę, żeby była jasność: to
jest liczba rzeczywista,

a to liczba urojona.

Liczbę taką jak tę nazywamy liczbą
zespoloną.

Ma ona część rzeczywistą i część urojoną.

I czasami będziesz widywał taką notację
jak tę.

Ktoś może zapytać: "Jaka jest część
rzeczywista naszej liczby z?"

To jest 5, dokładnie tutaj.

Wtedy mógłby zapytać: "Jaka jest część
urojona?"

Jaka jest część urojona naszej liczby z?

I wtedy, zgodnie z definicją funkcji
Im(z) na ogół trzeba powiedzieć

jaką wielokrotnością liczby i jest część
zespolona, ta tutaj.

W tym przypadku to będzie 3.

Możemy zobrazować to w dwóch wymiarach.

Zacznijmy od narysowania standardowej
płaszczyzny dwuwymiarowej

z liczbami rzeczywistymi na osi poziomej
i osią poziomą.

Aby nanieść liczby zespolone oznaczymy

oś pionową jako część urojoną,

to jest część urojona,

i oś poziomą jako część rzeczywistą.

Rysujemy część rzeczywistą w ten sposób.

Dla przykładu, dla z równego 5 dodać 3i

częścią rzeczywistą jest 5. Czyli idziemy
po osi: 1, 2, 3, 4, 5.

Mamy 5, dokładnie tutaj.

Część rzeczywista wynosi 3.

1, 2, 3.

Zatem przy pomocy płaszczyzny zespolonej
możemy zobrazować liczbę taką jak tę.

W ten sposób możemy zobrazować z na
płaszczyźnie zespolonej.

Mamy dodatnie 5 w kierunku rzeczywistym

oraz dodatnie 3 w kierunku urojonym.

Możemy rysować inne liczby zespolone.

Załóżmy, że mamy liczbę zespoloną a,

która jest równa, załóżmy, -2 dodać i.
Jak to narysować?

Dobrze, część rzeczywista wynosi -2, a

część urojona, możesz to sobie wyobrazić,
wynosi i.

Zatem idziemy o 1 w górę i to będzie
dokładnie tutaj.

Zatem tutaj mamy naszą liczbę zespoloną a.

Nasza liczba a znajduje się w tym punkcie,
w tym punkcie płaszczyzny zespolonej.

Zrobię jeszcze jeden przykład.

Weźmy liczbę zespoloną b,

która wynosi 4 minus 3i.

Gdzie to narysujemy? 1, 2, 3, 4.

I teraz, spójrz, -1, -2, -3

prowadzi nas dokładnie tutaj,

czyli dokładnie tu rysujemy liczbę
zespoloną b.