Les maths et nous | Takehiko Nakama | TEDxDoshishaU

Takehiko Nakama est docteur en mathématiques et en neurologie de l'Université John Hopkins. Il observe le monde à travers ces deux lentilles scientifiques mais aujourd'hui, il nous parle de la nature des mathématiques.

Cette présentation a été donnée lors d'un événement TEDx local utilisant le format des conférences TED mais organisé indépendamment. En savoir plus : http://ted.com/tedx

J'aimerais vous inviter à réfléchir

à ce que sont les maths.

En primaire, au collège ou au lycée,
on apprend tous des maths à l'école.

Vous aussi, vous êtes passés par là.

Mais avez-vous déjà songé
à la nature même des maths ?

De nombreuses personnes trouvent ça dur,

ou ont l'impression qu'il faut
connaître plein de formules

pour pouvoir résoudre des problèmes.

Et vous ?

Quand on pose la question
de ce que sont les maths,

les avis des mathématiciens sont partagés.

Sauf sur un point :

il est nécessaire de connaître
plein de formules pour calculer.

Je pense que les maths doivent
être particulièrement douloureuses

pour ceux qui pensent cela.

C'est un grand obstacle
à l'apprentissage des maths

de penser que les maths sont quelque
chose d'autre que leur véritable nature.

Rien que pour cela,

ça fait sens de réfléchir
et de comprendre quelle est leur nature.

Je vous invite à réfléchir
à ce que sont les maths

avec des citations d'Einstein et de Hardy

et en réfléchissant à ce que
nous cherchons à faire avec les maths.

Einstein a dit :

« Les mathématiques
sont la poésie des sciences. »

J'aime beaucoup cette expression.

Qu'est-ce que cela veut dire ?

D'abord, il y a l'expression :
concepts logiques.

Les maths sont rigoureusement logiques.

Il y a un autre élément important
dans les maths.

Les maths sont de la poésie, dit Einstein.

C'est parce qu'elles requièrent
beaucoup de créativité,

et qu'elles sont artistiques.

J'imagine que l'expression
« rigoureusement logiques »

doit évoquer chez vous

tout le contraire
de profondément créatives.

Pourtant, ces deux éléments se retrouvent
ensemble dans les maths.

Ils se soutiennent et se nourrissent
mutuellement.

Je me suis donné la mission

de vous faire apprécier toute la beauté
qu'Einstein voyait dans les maths.

Que recherchons-nous
avec les mathématiques ?

Les maths, ça sert à calculer,
penseront certaines personnes.

Pourtant les maths sont aussi utilisées
dans d'autres domaines.

C'est en fait un langage universel
utile pour comprendre le monde.

Le mathématicien Hardy a dit ceci :

« Le mathématicien, comme le peintre
ou le poète, est un créateur de forme. »

« Les mathématiques
sont à la recherche de forme. »

Textuellement,

les mathématiques permettent
fondamentalement de créer des formes,

de les visualiser et de les utiliser.

Vous devez vous demander

quel genre de formes
les maths recherchent.

Si on prend le triangle de Pascal

pour réfléchir aux formes
que l'on analyse mathématiquement,

on peut distinguer les caractéristiques
centrales des mathématiques.

Ce triangle apparaît
à de nombreux endroits.

Je suis convaincu
que vous avez tous appris à l'école :

（x＋y) ² ＝x² + 2xy + y²

Ce coefficient apparaît
à la troisième ligne du triangle.

Mais aujourd'hui,

je vais m'en tenir à ça.

Le grand nombre de formes incluses
dans ce triangle est étonnant.

Il nous permet d'apprendre
de nombreux concepts mathématiques.

Pouvez-vous trouver

une forme relativement aisée
à comprendre ?

La plus facile à comprendre est
sans aucun doute la symétrie axiale.

Les chiffre sur la moitié gauche
sont reflétés sur la moitié droite.

J'y reviendrai mais la symétrie axiale
est une forme importante.

Voyez-vous comment la position
de chaque chiffre a été déterminée ?

D'abord, les côtés gauche et droite
du triangle sont faites du chiffre 1.

Les autres chiffres sont la somme
des deux chiffres au-dessus.

Par exemple : 2 = 1+1

3 = 1 + 2

6 = 3 + 3

On peut étirer ce triangle à l'infini.

Quand on comprend sa structure, on peut
le dessiner avec un simple calcul mental

sans devoir mémoriser les chiffres.

Ce n'est qu'un exemple parmi d'autres
illustrant l'importance des structures.

Regardons à présent la structure
formée par les nombres impairs.

Les nombres impairs qui apparaissent
sur les 9 premières lignes,

1, 3, 5, 7, etc.,

sont positionnés pour créer
la forme qui apparaît en blanc.

Si on observe attentivement la position
où ces nombres impairs apparaissent,

on découvre une structure intéressante.

Je vais vous demander
de faire travailler votre imagination

pour agrandir le triangle de Pascal
à 128 lignes.

Ceci est la neuvième ligne.

128 lignes, ça signifie que le triangle
sera vraiment très grand.

La position des nombres impairs
dans un triangle de 128 lignes

crée la forme blanche suivante.

Clairement, il y a une structure.

Pouvez-vous décrire cette structure ?

Il y a d'abord un grand triangle

mais en observant bien,

ce grand triangle est formé
de trois triangles plus petits,

et si on persévère, on voit
que ces triangles eux-mêmes,

celui-ci par exemple,

sont formés
de trois triangles plus petits.

Et cela continue ainsi.

On appelle cela une géométrie fractale.

La forme globale est composée
par l'association de formes identiques.

On appelle ça l'autosimilarité.

Les figures fractales existent
partout autour de nous dans la nature :

les côtes maritimes,

les plantes,

les cristaux,

ou la membrane intérieure de nos organes.

Souvenez-vous des fractales

car elles viendront nous surprendre
à la fin de la présentation.

Les caractéristiques
de ce triangle sont infinies

mais en tant que mathématicien,
je ne peux pas ne pas vous présenter

une seule caractéristique
vraiment importante.

Si on trace des diagonales
dans le triangle, comme ceci,

et qu'on additionne les nombres
qui sont sur une diagonale,

on obtient 1 pour la première diagonale,

1 pour la suivante,

et 2 pour la troisième.

En continuant ainsi,

on obtient la séquence de chiffres appelée

la suite de Fibonacci.

C'est une séquence très importante
en mathématiques.

Tout comme les fractales,

on retrouve des structures dans la nature
qui obéissent à cette séquence.

Si on organise des carrés dont le côté
répond aux nombres de Fibonacci,

comme ceci,

ils s'emboîtent parfaitement.

Pourquoi cet alignement est-il possible ?

Je vous invite à y réfléchir
ce soir à la maison.

Avec cette suite, on obtient des spirales
qui se retrouvent dans la nature :

les coquillages,

les galaxies,

ou encore les typhons.

C'est efficace pour caractériser
les objets dans la nature.

Vous le voyez,
au départ du triangle de Pascal,

on trouve beaucoup de formes.

Il y a naturellement beaucoup
de domaines dans les mathématiques

mais quel que soit le domaine,

on utilise ou visualise
les formes et les structures

pour comprendre et établir
des faits mathématiques.

Il est crucial de comprendre cela

pour comprendre la nature
des mathématiques.

Nous pouvons aussi découvrir des
caractéristiques importantes des maths.

En analysant le triangle de Pascal,

on a découvert les fractales,
la suite de Fibonacci et la spirale.

On pourrait en trouver bien d'autres.

Ainsi,

les mathématiques nous permettent
de voir que des concepts et des structures

qui semblent ne pas avoir de lien
sont en fait liés entre eux.

Pour comprendre la relation
entre ces concepts et ces structures,

il faut combiner pensée logique rigoureuse
et imagination fertile.

On peut avoir une imagination fertile,

mais avec la seule imagination,

c'est impossible de discerner les liens
entre ces concepts et ces structures.

Et avec la logique seule,

on ne peut pas imaginer ces concepts.

Einstein disait : « Les mathématiques
sont la poésie des sciences. »

Je pense avoir pu vous démontrer cela.

On peut trouver ici une caractéristique
mystérieuse des mathématiques.

Les mathématiques

sont extrêmement efficaces pour décrire
les structures de la nature.

Galilée disait :

« La nature est un livre écrit
en langage mathématique. »

Et Feynman affirmait que
sans comprendre les mathématiques,

il est difficile de comprendre
la beauté de l'univers.

Wigner parlait

de « l'irraisonnable efficacité
des mathématiques

dans les sciences naturelles. »

Le mathématiques sont indispensables
aux sciences naturelles et de l'ingénieur.

Je vous propose maintenant de réfléchir
à la beauté et aux mathématiques.

Hardy, que j'ai évoqué
précédemment, disait :

« La beauté est le premier test :

il n'y a pas de place durable dans
le monde pour les mathématiques laides. »

Autrement dit, l'essence
des mathématiques, un élément crucial,

est la recherche de la beauté.

Réfléchissons à cela un moment.

Nous devons d'abord réfléchir à la beauté.

Qu'est-ce que vous trouvez beau ?

Imaginez un symbole
de la beauté pour vous.

Le Mont Fuji a une présence spéciale,
chère au cœur des Japonais.

Pourquoi trouvons-nous
cette montagne si belle ?

Elle est belle, n'est-ce pas ?

Sa forme est caractéristique.

Quel que soit l'angle de vue,
elle est presque isomorphe.

En mathématiques,

on appelle ça une symétrie axiale.

Les contours de la montagne sont doux.

En mathématiques,

une fonction peut exprimer cette courbe
et calculer son différentiel.

Je viens de vous lancer
des termes techniques

mais il s'agit en fait des structures
mathématiques.

Ces concepts peuvent-ils être associés
à la beauté ?

Récemment, des recherches s'intéressent
à notre sens de l'esthétique

et le lien entre les mathématiques
et la beauté est de plus en plus évident.

Une étude

se base sur des images
avec un volume de données équivalent.

Il s'avère que les images dites « belles »
sont celles qui se compressent le plus.

Réfléchissons un instant.

Compresser des données signifie
qu'on peut les réduire.

La symétrie axiale que nous avons
découverte dans le triangle de Pascal

fait que les chiffres de la moitié gauche
sont identiques à ceux de la moitié droite

et donc, on n'a pas besoin de tous
les chiffres, de toutes les données.

La moitié suffit.

Si on copie la moitié gauche, on reproduit
par réflexion la partie de droite

On a donc pu compresser
les données de moitié.

Le triangle de Pascal a donc un grand taux
de compression possible.

On peut affirmer la même chose
pour le Mont Fuji.

On peut en copier la moitié gauche
et la reproduire en miroir à droite.

On obtiendra une photo du Mont Fuji
presque identique à la montagne.

Le taux de compression du Mont Fuji
est donc élevé aussi.

De telles images sont aussi appréciées
comme « belles » selon ces recherches.

Il y a autre chose d'intéressant
sur cette photo :

il y a une symétrie horizontale
avec le reflet de la montagne sur le lac.

C'est de plus en plus beau en fait.

On a compris que les photos « belles »
sont aussi hautement compressibles.

Mais quelle genre d'images
exactement a cette caractéristique ?

On en a vu des exemples simples :

quand il y a des structures mathématiques,
le taux de compression est élevé.

Et nos exemples font partie de ces images
que nous avons jugées belles.

Ce visage

est dessiné vraiment efficacement
à partir de structures mathématiques

et son taux de compression est élevé.

Quelles sont ces structures ?

Vous les voyez ?

On a déjà esquissé ce sujet en fait.

On utilise les fractales.

Et donc,

les structures que nous étudions
avec les mathématiques

font partie des choses
que nous trouvons belles

ou y contribuent.

Une étude neurologique récente
vient étayer cela.

La région du cerveau en vert
est appelée le cortex orbitofrontal.

On savait qu'elle réagissait à la beauté,

comme un paysage, une peinture
ou de la musique.

On a découvert qu'elle réagissait aussi
à des structures mathématiques.

Pour notre cerveau donc,
la beauté mathématique

partage les mêmes caractéristiques
que la beauté de la nature et de l'art.

Il ne me reste plus beaucoup
de temps pour conclure.

« Les mathématiques
sont la poésie des sciences. »

« Les mathématiciens
créent des structures. »

« Les mathématiques
recherchent la beauté. »

Je pense que vous avez dû être étonnés

de découvrir ces caractéristiques
des mathématiques.

J'espère que vous aurez aussi découvert
une nouvelle manière d'appréhender

« ce qui est beau » à nos yeux.

La prochaine fois que vous admirerez
quelque chose de beau,

je vous invite à vous souvenir
des mathématiques.

Il se pourrait

que cela vous transforme.

Merci beaucoup.

(Applaudissements)