J'aimerais vous inviter à réfléchir
à ce que sont les maths.
En primaire, au collège ou au lycée, on apprend tous des maths à l'école.
Vous aussi, vous êtes passés par là.
Mais avez-vous déjà songé à la nature même des maths ?
De nombreuses personnes trouvent ça dur,
ou ont l'impression qu'il faut connaître plein de formules
pour pouvoir résoudre des problèmes.
Et vous ?
Quand on pose la question de ce que sont les maths,
les avis des mathématiciens sont partagés.
Sauf sur un point :
il est nécessaire de connaître plein de formules pour calculer.
Je pense que les maths doivent être particulièrement douloureuses
pour ceux qui pensent cela.
C'est un grand obstacle à l'apprentissage des maths
de penser que les maths sont quelque chose d'autre que leur véritable nature.
Rien que pour cela,
ça fait sens de réfléchir et de comprendre quelle est leur nature.
Je vous invite à réfléchir à ce que sont les maths
avec des citations d'Einstein et de Hardy
et en réfléchissant à ce que nous cherchons à faire avec les maths.
Einstein a dit :
« Les mathématiques sont la poésie des sciences. »
J'aime beaucoup cette expression.
Qu'est-ce que cela veut dire ?
D'abord, il y a l'expression : concepts logiques.
Les maths sont rigoureusement logiques.
Il y a un autre élément important dans les maths.
Les maths sont de la poésie, dit Einstein.
C'est parce qu'elles requièrent beaucoup de créativité,
et qu'elles sont artistiques.
J'imagine que l'expression « rigoureusement logiques »
doit évoquer chez vous
tout le contraire de profondément créatives.
Pourtant, ces deux éléments se retrouvent ensemble dans les maths.
Ils se soutiennent et se nourrissent mutuellement.
Je me suis donné la mission
de vous faire apprécier toute la beauté qu'Einstein voyait dans les maths.
Que recherchons-nous avec les mathématiques ?
Les maths, ça sert à calculer, penseront certaines personnes.
Pourtant les maths sont aussi utilisées dans d'autres domaines.
C'est en fait un langage universel utile pour comprendre le monde.
Le mathématicien Hardy a dit ceci :
« Le mathématicien, comme le peintre ou le poète, est un créateur de forme. »
« Les mathématiques sont à la recherche de forme. »
Textuellement,
les mathématiques permettent fondamentalement de créer des formes,
de les visualiser et de les utiliser.
Vous devez vous demander
quel genre de formes les maths recherchent.
Si on prend le triangle de Pascal
pour réfléchir aux formes que l'on analyse mathématiquement,
on peut distinguer les caractéristiques centrales des mathématiques.
Ce triangle apparaît à de nombreux endroits.
Je suis convaincu que vous avez tous appris à l'école :
（x＋y) ² ＝x² + 2xy + y²
Ce coefficient apparaît à la troisième ligne du triangle.
Mais aujourd'hui,
je vais m'en tenir à ça.
Le grand nombre de formes incluses dans ce triangle est étonnant.
Il nous permet d'apprendre de nombreux concepts mathématiques.
Pouvez-vous trouver
une forme relativement aisée à comprendre ?
La plus facile à comprendre est sans aucun doute la symétrie axiale.
Les chiffre sur la moitié gauche sont reflétés sur la moitié droite.
J'y reviendrai mais la symétrie axiale est une forme importante.
Voyez-vous comment la position de chaque chiffre a été déterminée ?
D'abord, les côtés gauche et droite du triangle sont faites du chiffre 1.
Les autres chiffres sont la somme des deux chiffres au-dessus.
Par exemple : 2 = 1+1
3 = 1 + 2
6 = 3 + 3
On peut étirer ce triangle à l'infini.
Quand on comprend sa structure, on peut le dessiner avec un simple calcul mental
sans devoir mémoriser les chiffres.
Ce n'est qu'un exemple parmi d'autres illustrant l'importance des structures.
Regardons à présent la structure formée par les nombres impairs.
Les nombres impairs qui apparaissent sur les 9 premières lignes,
1, 3, 5, 7, etc.,
sont positionnés pour créer la forme qui apparaît en blanc.
Si on observe attentivement la position où ces nombres impairs apparaissent,
on découvre une structure intéressante.
Je vais vous demander de faire travailler votre imagination
pour agrandir le triangle de Pascal à 128 lignes.
Ceci est la neuvième ligne.
128 lignes, ça signifie que le triangle sera vraiment très grand.
La position des nombres impairs dans un triangle de 128 lignes
crée la forme blanche suivante.
Clairement, il y a une structure.
Pouvez-vous décrire cette structure ?
Il y a d'abord un grand triangle
mais en observant bien,
ce grand triangle est formé de trois triangles plus petits,
et si on persévère, on voit que ces triangles eux-mêmes,
celui-ci par exemple,
sont formés de trois triangles plus petits.
Et cela continue ainsi.
On appelle cela une géométrie fractale.
La forme globale est composée par l'association de formes identiques.
On appelle ça l'autosimilarité.
Les figures fractales existent partout autour de nous dans la nature :
les côtes maritimes,
les plantes,
les cristaux,
ou la membrane intérieure de nos organes.
Souvenez-vous des fractales
car elles viendront nous surprendre à la fin de la présentation.
Les caractéristiques de ce triangle sont infinies
mais en tant que mathématicien, je ne peux pas ne pas vous présenter
une seule caractéristique vraiment importante.
Si on trace des diagonales dans le triangle, comme ceci,
et qu'on additionne les nombres qui sont sur une diagonale,
on obtient 1 pour la première diagonale,
1 pour la suivante,
et 2 pour la troisième.
En continuant ainsi,
on obtient la séquence de chiffres appelée
la suite de Fibonacci.
C'est une séquence très importante en mathématiques.
Tout comme les fractales,
on retrouve des structures dans la nature qui obéissent à cette séquence.
Si on organise des carrés dont le côté répond aux nombres de Fibonacci,
comme ceci,
ils s'emboîtent parfaitement.
Pourquoi cet alignement est-il possible ?
Je vous invite à y réfléchir ce soir à la maison.
Avec cette suite, on obtient des spirales qui se retrouvent dans la nature :
les coquillages,
les galaxies,
ou encore les typhons.
C'est efficace pour caractériser les objets dans la nature.
Vous le voyez, au départ du triangle de Pascal,
on trouve beaucoup de formes.
Il y a naturellement beaucoup de domaines dans les mathématiques
mais quel que soit le domaine,
on utilise ou visualise les formes et les structures
pour comprendre et établir des faits mathématiques.
Il est crucial de comprendre cela
pour comprendre la nature des mathématiques.
Nous pouvons aussi découvrir des caractéristiques importantes des maths.
En analysant le triangle de Pascal,
on a découvert les fractales, la suite de Fibonacci et la spirale.
On pourrait en trouver bien d'autres.
Ainsi,
les mathématiques nous permettent de voir que des concepts et des structures
qui semblent ne pas avoir de lien sont en fait liés entre eux.
Pour comprendre la relation entre ces concepts et ces structures,
il faut combiner pensée logique rigoureuse et imagination fertile.
On peut avoir une imagination fertile,
mais avec la seule imagination,
c'est impossible de discerner les liens entre ces concepts et ces structures.
Et avec la logique seule,
on ne peut pas imaginer ces concepts.
Einstein disait : « Les mathématiques sont la poésie des sciences. »
Je pense avoir pu vous démontrer cela.
On peut trouver ici une caractéristique mystérieuse des mathématiques.
Les mathématiques
sont extrêmement efficaces pour décrire les structures de la nature.
Galilée disait :
« La nature est un livre écrit en langage mathématique. »
Et Feynman affirmait que sans comprendre les mathématiques,
il est difficile de comprendre la beauté de l'univers.
Wigner parlait
de « l'irraisonnable efficacité des mathématiques
dans les sciences naturelles. »
Le mathématiques sont indispensables aux sciences naturelles et de l'ingénieur.
Je vous propose maintenant de réfléchir à la beauté et aux mathématiques.
Hardy, que j'ai évoqué précédemment, disait :
« La beauté est le premier test :
il n'y a pas de place durable dans le monde pour les mathématiques laides. »
Autrement dit, l'essence des mathématiques, un élément crucial,
est la recherche de la beauté.
Réfléchissons à cela un moment.
Nous devons d'abord réfléchir à la beauté.
Qu'est-ce que vous trouvez beau ?
Imaginez un symbole de la beauté pour vous.
Le Mont Fuji a une présence spéciale, chère au cœur des Japonais.
Pourquoi trouvons-nous cette montagne si belle ?
Elle est belle, n'est-ce pas ?
Sa forme est caractéristique.
Quel que soit l'angle de vue, elle est presque isomorphe.
En mathématiques,
on appelle ça une symétrie axiale.
Les contours de la montagne sont doux.
En mathématiques,
une fonction peut exprimer cette courbe et calculer son différentiel.
Je viens de vous lancer des termes techniques
mais il s'agit en fait des structures mathématiques.
Ces concepts peuvent-ils être associés à la beauté ?
Récemment, des recherches s'intéressent à notre sens de l'esthétique
et le lien entre les mathématiques et la beauté est de plus en plus évident.
Une étude
se base sur des images avec un volume de données équivalent.
Il s'avère que les images dites « belles » sont celles qui se compressent le plus.
Réfléchissons un instant.
Compresser des données signifie qu'on peut les réduire.
La symétrie axiale que nous avons découverte dans le triangle de Pascal
fait que les chiffres de la moitié gauche sont identiques à ceux de la moitié droite
et donc, on n'a pas besoin de tous les chiffres, de toutes les données.
La moitié suffit.
Si on copie la moitié gauche, on reproduit par réflexion la partie de droite
On a donc pu compresser les données de moitié.
Le triangle de Pascal a donc un grand taux de compression possible.
On peut affirmer la même chose pour le Mont Fuji.
On peut en copier la moitié gauche et la reproduire en miroir à droite.
On obtiendra une photo du Mont Fuji presque identique à la montagne.
Le taux de compression du Mont Fuji est donc élevé aussi.
De telles images sont aussi appréciées comme « belles » selon ces recherches.
Il y a autre chose d'intéressant sur cette photo :
il y a une symétrie horizontale avec le reflet de la montagne sur le lac.
C'est de plus en plus beau en fait.
On a compris que les photos « belles » sont aussi hautement compressibles.
Mais quelle genre d'images exactement a cette caractéristique ?
On en a vu des exemples simples :
quand il y a des structures mathématiques, le taux de compression est élevé.
Et nos exemples font partie de ces images que nous avons jugées belles.
Ce visage
est dessiné vraiment efficacement à partir de structures mathématiques
et son taux de compression est élevé.
Quelles sont ces structures ?
Vous les voyez ?
On a déjà esquissé ce sujet en fait.
On utilise les fractales.
Et donc,
les structures que nous étudions avec les mathématiques
font partie des choses que nous trouvons belles
ou y contribuent.
Une étude neurologique récente vient étayer cela.
La région du cerveau en vert est appelée le cortex orbitofrontal.
On savait qu'elle réagissait à la beauté,
comme un paysage, une peinture ou de la musique.
On a découvert qu'elle réagissait aussi à des structures mathématiques.
Pour notre cerveau donc, la beauté mathématique
partage les mêmes caractéristiques que la beauté de la nature et de l'art.
Il ne me reste plus beaucoup de temps pour conclure.
« Les mathématiques sont la poésie des sciences. »
« Les mathématiciens créent des structures. »
« Les mathématiques recherchent la beauté. »
Je pense que vous avez dû être étonnés
de découvrir ces caractéristiques des mathématiques.
J'espère que vous aurez aussi découvert une nouvelle manière d'appréhender
« ce qui est beau » à nos yeux.
La prochaine fois que vous admirerez quelque chose de beau,
je vous invite à vous souvenir des mathématiques.
Il se pourrait
que cela vous transforme.
Merci beaucoup.
(Applaudissements)