Alternate form of the derivative

Pomyślmy w jaki sposób

możemy znaleźć nachylenie lini tangensa

do tej krzywej, to co narysowałem na czerwono -

w punkcie x=a. Już to widzieliśmy, przy definicji pochodnej.

Możemy spróbować znaleźć funkcję, która da nam nachylenie tangensa w każdym punkcie

Więc zobaczmy, mamy jakieś dowolne punkty - zdefiniujmy tutaj jakiś punkty punk x

więc to będzie punkt (x, f(x)) i następnie możemy zadać x+h - więc powiedzmy, że to tutaj

jest punktem x+h, więc ten punkt

będzie (x+h,f(x+h)), możemy znaleźć nachylenie

siecznej, która biegnie pomiędzy tymi dwoma punktami,

tak że to będzie różnica w pionie,

która będzie równa f(x+h), f od x dodać h,

odjąć f(x), odjąć f(x), nad różnicą w poziomie,

która będzie równa x+h odjąć x, odjąć x;

i te dwa x'y usuwają się, więc to będzie nachylenie siecznej,

i jeżeli chcemy znaleźć nachylenie tangensa w punkcie x - nachylenie tangensa w punkcie x -

po prostu wzięlibyśmy granicę - granicę tego wyrażenia -

przy h dążącym do 0, przy h dążącym do 0, ten punkt zbliża się w kierunku x, a to nachylenie

siecznej pomiędzy tymi dwoma będzie przybliżać nachylenie tangensa w punkcie x

Więc to tutaj - to powiedzielibyśmy, że będzie równe f'(x) [ f prim od x]

To jest ciągle - to jest funkcja zmiennej x! Daliście mi ustalony x, gdzie pochodna jest określona,

Mam zamiar wstawić to do tego, jakkolwiek to się nie skończy, może wyjść z tego jakieś czyste algebraiczne,

i następnie dam Wam jakąś liczbę. Więc na przykład, jeżeli chcieliście znaleźć

moglibyście policzyć to jakoś, albo moglibyście nawet zostawić to w takiej formie, a następnie jeżeli chcielibyście f'(a)

[f prim od a], moglibyście po prostu podstawić a w definicji waszej funkcji,

i moglibyście powiedzieć, więc to będzie granica przy h dążącym do 0

z każdego miejsca gdzie widzicie x, lub każdego miejsca gdzie widzicie a. Zostanę na razie przy tym kolorze...

Wolne dodać h odjąć, odjąć - odjąć f od wolnego, odjąć f od wolnego - wszystko to nad

wszystko to nad h. I zostawiam te puste pola żeby móc napisać a - mógłbym napisać a na czerwono.

Zauważcie, że w każdym miejscu gdzie był x, teraz jest a.

Więc to jest pochodna policzona w a. To jest jeden sposób na znalezienie nachylenia tangensa gdy x=a.

Inna droga - jest często pokazywana jako alternatywna forma pochodnej - to zrobienie tego bezpośrednio.

Więc to jest punkt (a, f(a)), ustalmy jakiś inny punkt [niezrozumiałe] -

powiedzmy, że to jest wartość x - ten punkt na wykresie byłby (x, f(x)) -

Więc jakie jest nachylenie siecznej między tymi dwoma punktami? To będzie zmiana pionowa,

która jest równa f(x) odjąć f(a) - odjąć f(a) - nad zmianą poziomą.

Nad x odjąć a. Pozwólcie, że napiszę to na fioletowo - nad x odjąć a.

Teraz, jak moglibyśmy znaleźć lepsze przybliżenie nachylania linii tangensa w tym miejscu?

Cóż, moglibyśmy wziąć granicę przy x dążącym do a, przy x zbliżającym się coraz bardziej i bardziej do a,

nachylenie siecznej będzie coraz lepiej i lepiej przybliżać nachylenie linii tangensa.

Ten wykres tangensa, który mam na czerwono. Więc chcielibyśmy wziąć granicę

granicę - przy, przy x dążącym do a. Tak czy inaczej, robimy to bardzo podobnie -

robimy dokładnie to samo - znajdujemy - bierzemy s - mamy, mamy wyrażenie

na nachylenie siecznej i następnie zbliżamy wartości x tych punktów coraz bliżej i bliżej do siebie,

bliżej i bliżej do siebie, żeby nachylenia tych siecznych coraz lepiej

przybliżały nachylenie tangensa.

I w granicy, to staje się nachyleniem tangensa, to jest pochodna z - to jest definicja pochodnej

więc to jest cl(?) - bardziej standardowa definicja pochodnej, podałaby Ci pochodną jako funkcję

od x, a następnie moglibyście wstawić wasze x'y- wasze, wasze uhhh - konkretne wartości x, albo moglibyście

użyć alternatywnej formy pochodnej - jeżeli wiecie, to, hej, spójrzcie, mogę znaleźć pochodną dokładnie w punkcie a,

Nie potrzebuje wzoru na funkcję f żeby to zrobić. Te dwa wzory robią to samo.