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Pythagorean Theorem Proof Using Similarity

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    这是一个直角三角形
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    它是直角三角形是因为它有一个角是90度
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    或者说它有一个直角
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    现在我们来看这条最长的边
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    你可以把它看作是
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    直角三角形最长的边
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    也可以看作是直角的对边
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    总之这条边我们叫它斜边
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    这个名字对于它简单的概念来说略显华丽
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    只不过就是直角三角形的最长边
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    或者说是直角的对边而已
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    但是这还是有用的 因为用一个单词比较简单
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    我们不必说"他们说的是这条边
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    这条最长的直角的对边"直接说斜边就可以了
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    现在我要做的是证明一个关系
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    一个非常著名的关系
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    一个关于直角三角形各边长度之间的
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    著名的关系
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    我们假设边AC的长度 注意是大写的A和C
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    我们假设长度是小写的a
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    同时把边BC的长度称为b
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    我用大写字母表示点而小写字母表示长度
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    最后我们把斜边的长度
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    即AB的长度 叫做c
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    现在我们来看看我们是否能得出a b c之间的关系
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    在这之前我需要作一条辅助线
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    或者说辅助线段 在点C和斜边之间的一条辅助线段
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    这条辅助线将和斜边成直角
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    这并不难 我们准备叫这个点D
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    D就是辅助线和斜边的交点
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    如果这时候你担心 怎么作出这条辅助线
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    你可以想象一下把整个三角形这么旋转一下
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    这对后面的证明没有作用 但是这能让你
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    更直接地作出辅助线
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    我已经把它转了过来 现在斜边
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    成为了底边
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    这是点B 这是点A
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    我们已经把三角形转了过来
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    上面这个点是C 你可以想象从点C扔一块石头
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    这块石头绑在一根绳子上 绳子连在点C 于是
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    绑线的石头会和斜边形成直角
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    以上所做的都是为了作出辅助线段CD
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    垂足就是点D 在这里
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    我之所以作这么一条辅助线是因为这样子
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    我们就可以研究相似三角形的有趣关系了
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    现在一共有三个三角形 三角形ADC
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    三角形DBC以及原来的大三角形
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    我们应该能够在这些三角形之间建立相似关系
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    首先我们来证明三角形ADC相似于大三角形
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    因为它们都有一个直角
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    三角形ADC的这个角是直角
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    如果这个角是90度
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    那么这个角一定也是90度
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    它们是互补的因此它们的度数和必须是180度
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    所以两个三角形都有一个直角
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    小三角形在这里有一个直角
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    大三角形显然我们已知它有一个直角
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    同时 它们还共有同一个角
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    角DAC或者角BAC 随你们怎么叫它
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    我们可以把那些三角形写下来
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    我从小的开始
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    三角形ADC 我给它涂上阴影
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    所以这就是我们要看的三角形 ADC
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    然后我们一个角一个角来对应从蓝色的角 直角
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    到没有标记的那个角
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    这个直角并不对应那边那个角
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    这个直角和大三角形的直角对应
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    所以 我们可以推出三角形ADC
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    和大三角形相似
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    我们再在大三角形上对应一次 从蓝色角A
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    到直角
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    我们不必再去看那个直角
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    所以三角形ADC相似于三角形ACB
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    三角形ACB
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    因为它们是相似的 所以我们可以建立
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    它们边的长度比关系
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    比如说对应边的比例
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    我们知道相似三角形对应边的
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    长度的比值
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    是一个常数
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    所以我们可以利用这个比值 这个小三角形的斜边AC
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    还有大三角形的斜边
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    AB
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    AC比AB的值一定与AD
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    比上某一条边的值相等
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    我们要在相似三角形上取
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    对应的点和边
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    所以是AD比AC
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    你可以自己看看这些三角形
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    你会发现 边AD是蓝色角和红色角
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    的夹边
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    边AD在这两个角中间
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    同时边AC也在大三角形的蓝色角和红色角
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    的中间
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    所以这些边是大三角形的
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    而这些是小三角形上的对应边
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    如果有点不明白 看它们的标记字母
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    只要你把相似三角形的字母顺序写对了
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    你就能找对对应点
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    AC和大三角形的AB对应
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    小三角形的AD和大三角形的AC对应
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    我们已知AC的长度是a
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    小写的a
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    所以a代表AC
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    我们没有给AD的长度标字母
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    但是我们知道AB的长度用c表示
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    我们没有表示AD长度的字母
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    那么就叫它d
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    所以d对应着那一段的长度
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    而c对应这整条斜边的长度
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    我们把DB的长度称为e
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    这会让证明简洁一些
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    所以现在AD是d
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    于是我们得到关系a比c等于d比a
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    如果我们把等式交叉相乘 a乘以a得到a的平方
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    a的平方等于c乘以d 也就是cd
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    这是一个有趣的结果
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    让我们来看看我们可以对剩下那个三角形做点什么
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    就是这个三角形
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    同样地 它有一个直角 大三角形也有一个直角
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    并且它们在这里共享同一个角
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    所以根据相似判定 这两个三角形
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    是相似的
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    也就是说三角形BDC 我们按从粉色的角开始到直角
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    再到未标记角的顺序写字母
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    所以三角形BDC相似于大三角形
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    我们要来观察大三角形的对应点
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    我们从粉色角B开始
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    到直角C再到A
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    BCA
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    从粉色角到直角再到未标记角 一样的顺序
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    和小三角形一样的顺序
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    现在我们要找一些关系
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    先来看小三角形的边BC
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    BC比上BA
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    BC比BA
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    我们还是在比较两个三角形的斜边
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    于是BC比BA等于BD比上另一条边
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    让我换一种颜色 BD是其中一条直角边
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    BD在这里是一条较短的直角边
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    找到对应的大三角形的直角边BC 所以是BD比BC
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    我们已知BC用字母b表示
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    BC就是小写的b
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    BA是小写的c
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    BD根据之前我们定义的是小写的e
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    所以这是小写的e
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    交叉相乘 这里是 b乘以b
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    我在很多视频中提到交叉相乘
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    两边都要乘以相应的分母
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    所以b乘以b等于ce
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    现在我们可以做一件有趣的事情
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    我们把这两个等式加起来
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    让我重新来写一下
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    b的平方等于ce
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    如果我们把左手边加起来将会得到
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    b的平方加上a的平方 而它们等于cd加上
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    ce
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    右边两项有公因式c所以我们把c提出来
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    所以右边等于
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    c乘以d和e的和
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    给d加e套上括号
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    结果是什么
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    d是这条长度
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    e是这段长度
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    d加上e实际上同样等于c
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    所以这就成了c
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    c乘以c得到c的平方
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    现在我们得到了一个有趣的关系
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    我们得到a的平方加上b的平方等于c的平方
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    让我重新写一遍
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    让我用个新的颜色
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    刚才不小心删掉了 现在再写一遍
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    所以我们刚才得到了a的平方
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    加上b的平方等于c的平方
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    这是一个任意的直角三角形
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    这两个小三角形也是任意的
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    我们刚刚得到了直角边的平方和
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    等于斜边的平方
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    这大概是数学领域最简单却最有名的定理之一
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    它以毕达哥拉斯的名字命名
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    不知道他是不是第一个发现这个定理的人
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    但是这个定理就叫做毕达哥拉斯定理
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    就是勾股定律
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    这并不是一切几何学的基础但是却对于
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    几何学至关重要
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    并且它是所有三角运算的基础
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    这个定律相当使用因为当你知道一个直角三角形
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    的两边 你可以轻松得到第三边
Title:
Pythagorean Theorem Proof Using Similarity
Description:
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Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
09:53

Chinese (Simplified, China) subtitles

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