1
00:00:00,000 --> 00:00:04,420
这是一个直角三角形

2
00:00:04,430 --> 00:00:07,130
它是直角三角形是因为它有一个角是90度

3
00:00:07,140 --> 00:00:09,000
或者说它有一个直角

4
00:00:09,010 --> 00:00:12,730
现在我们来看这条最长的边

5
00:00:12,740 --> 00:00:15,250
你可以把它看作是

6
00:00:15,260 --> 00:00:16,730
直角三角形最长的边

7
00:00:16,740 --> 00:00:18,740
也可以看作是直角的对边

8
00:00:18,750 --> 00:00:20,370
总之这条边我们叫它斜边

9
00:00:20,380 --> 00:00:24,120
这个名字对于它简单的概念来说略显华丽

10
00:00:24,130 --> 00:00:25,820
只不过就是直角三角形的最长边

11
00:00:25,830 --> 00:00:27,770
或者说是直角的对边而已

12
00:00:27,780 --> 00:00:30,400
但是这还是有用的 因为用一个单词比较简单

13
00:00:30,410 --> 00:00:32,420
我们不必说"他们说的是这条边

14
00:00:32,430 --> 00:00:36,080
这条最长的直角的对边"直接说斜边就可以了

15
00:00:36,090 --> 00:00:40,690
现在我要做的是证明一个关系

16
00:00:40,700 --> 00:00:43,950
一个非常著名的关系

17
00:00:43,960 --> 00:00:47,470
一个关于直角三角形各边长度之间的

18
00:00:47,480 --> 00:00:48,620
著名的关系

19
00:00:48,630 --> 00:00:53,670
我们假设边AC的长度 注意是大写的A和C

20
00:00:53,680 --> 00:00:55,830
我们假设长度是小写的a

21
00:00:55,840 --> 00:01:00,630
同时把边BC的长度称为b

22
00:01:00,640 --> 00:01:03,320
我用大写字母表示点而小写字母表示长度

23
00:01:03,330 --> 00:01:05,740
最后我们把斜边的长度

24
00:01:05,750 --> 00:01:08,170
即AB的长度 叫做c

25
00:01:08,180 --> 00:01:12,330
现在我们来看看我们是否能得出a b c之间的关系

26
00:01:12,340 --> 00:01:15,590
在这之前我需要作一条辅助线

27
00:01:15,600 --> 00:01:19,240
或者说辅助线段 在点C和斜边之间的一条辅助线段

28
00:01:19,250 --> 00:01:24,020
这条辅助线将和斜边成直角

29
00:01:24,030 --> 00:01:26,790
这并不难 我们准备叫这个点D

30
00:01:26,800 --> 00:01:28,280
D就是辅助线和斜边的交点

31
00:01:28,290 --> 00:01:31,100
如果这时候你担心 怎么作出这条辅助线

32
00:01:31,110 --> 00:01:34,180
你可以想象一下把整个三角形这么旋转一下

33
00:01:34,190 --> 00:01:36,970
这对后面的证明没有作用 但是这能让你

34
00:01:36,980 --> 00:01:39,520
更直接地作出辅助线

35
00:01:39,530 --> 00:01:42,880
我已经把它转了过来 现在斜边

36
00:01:42,890 --> 00:01:44,320
成为了底边

37
00:01:44,330 --> 00:01:48,500
这是点B 这是点A

38
00:01:48,510 --> 00:01:50,850
我们已经把三角形转了过来

39
00:01:50,860 --> 00:01:54,270
上面这个点是C 你可以想象从点C扔一块石头

40
00:01:54,280 --> 00:01:57,780
这块石头绑在一根绳子上 绳子连在点C 于是

41
00:01:57,790 --> 00:01:59,230
绑线的石头会和斜边形成直角

42
00:01:59,240 --> 00:02:02,330
以上所做的都是为了作出辅助线段CD

43
00:02:02,340 --> 00:02:05,290
垂足就是点D 在这里

44
00:02:05,300 --> 00:02:08,400
我之所以作这么一条辅助线是因为这样子

45
00:02:08,410 --> 00:02:10,720
我们就可以研究相似三角形的有趣关系了

46
00:02:10,730 --> 00:02:14,000
现在一共有三个三角形 三角形ADC

47
00:02:14,010 --> 00:02:17,850
三角形DBC以及原来的大三角形

48
00:02:17,860 --> 00:02:21,500
我们应该能够在这些三角形之间建立相似关系

49
00:02:21,510 --> 00:02:27,690
首先我们来证明三角形ADC相似于大三角形

50
00:02:27,700 --> 00:02:29,470
因为它们都有一个直角

51
00:02:29,480 --> 00:02:32,070
三角形ADC的这个角是直角

52
00:02:32,080 --> 00:02:33,920
如果这个角是90度

53
00:02:33,930 --> 00:02:35,750
那么这个角一定也是90度

54
00:02:35,760 --> 00:02:38,160
它们是互补的因此它们的度数和必须是180度

55
00:02:38,170 --> 00:02:40,650
所以两个三角形都有一个直角

56
00:02:40,660 --> 00:02:42,050
小三角形在这里有一个直角

57
00:02:42,060 --> 00:02:44,860
大三角形显然我们已知它有一个直角

58
00:02:44,870 --> 00:02:49,080
同时 它们还共有同一个角

59
00:02:49,090 --> 00:02:53,250
角DAC或者角BAC 随你们怎么叫它

60
00:02:53,260 --> 00:02:55,850
我们可以把那些三角形写下来

61
00:02:55,860 --> 00:02:58,370
我从小的开始

62
00:02:58,380 --> 00:03:02,410
三角形ADC 我给它涂上阴影

63
00:03:02,420 --> 00:03:05,270
所以这就是我们要看的三角形 ADC

64
00:03:05,280 --> 00:03:07,620
然后我们一个角一个角来对应从蓝色的角 直角

65
00:03:07,630 --> 00:03:10,350
到没有标记的那个角

66
00:03:10,360 --> 00:03:14,070
这个直角并不对应那边那个角

67
00:03:14,080 --> 00:03:15,480
这个直角和大三角形的直角对应

68
00:03:15,490 --> 00:03:20,440
所以 我们可以推出三角形ADC

69
00:03:20,450 --> 00:03:24,200
和大三角形相似

70
00:03:24,210 --> 00:03:27,610
我们再在大三角形上对应一次 从蓝色角A

71
00:03:27,620 --> 00:03:29,580
到直角

72
00:03:29,590 --> 00:03:31,920
我们不必再去看那个直角

73
00:03:31,930 --> 00:03:33,720
所以三角形ADC相似于三角形ACB

74
00:03:33,730 --> 00:03:36,530
三角形ACB

75
00:03:36,540 --> 00:03:40,160
因为它们是相似的 所以我们可以建立

76
00:03:40,170 --> 00:03:42,000
它们边的长度比关系

77
00:03:42,010 --> 00:03:44,730
比如说对应边的比例

78
00:03:44,740 --> 00:03:47,450
我们知道相似三角形对应边的

79
00:03:47,460 --> 00:03:49,070
长度的比值

80
00:03:49,080 --> 00:03:50,050
是一个常数

81
00:03:50,060 --> 00:03:54,500
所以我们可以利用这个比值 这个小三角形的斜边AC

82
00:03:54,510 --> 00:04:00,580
还有大三角形的斜边

83
00:04:00,590 --> 00:04:01,720
AB

84
00:04:01,730 --> 00:04:10,370
AC比AB的值一定与AD

85
00:04:10,380 --> 00:04:11,570
比上某一条边的值相等

86
00:04:11,580 --> 00:04:17,110
我们要在相似三角形上取

87
00:04:17,120 --> 00:04:18,320
对应的点和边

88
00:04:18,330 --> 00:04:23,740
所以是AD比AC

89
00:04:23,750 --> 00:04:25,720
你可以自己看看这些三角形

90
00:04:25,730 --> 00:04:30,040
你会发现 边AD是蓝色角和红色角

91
00:04:30,050 --> 00:04:32,570
的夹边

92
00:04:32,580 --> 00:04:34,540
边AD在这两个角中间

93
00:04:34,550 --> 00:04:38,130
同时边AC也在大三角形的蓝色角和红色角

94
00:04:38,140 --> 00:04:39,190
的中间

95
00:04:39,200 --> 00:04:41,100
所以这些边是大三角形的

96
00:04:41,110 --> 00:04:43,240
而这些是小三角形上的对应边

97
00:04:43,250 --> 00:04:46,190
如果有点不明白 看它们的标记字母

98
00:04:46,200 --> 00:04:50,380
只要你把相似三角形的字母顺序写对了

99
00:04:50,390 --> 00:04:51,990
你就能找对对应点

100
00:04:52,000 --> 00:04:56,150
AC和大三角形的AB对应

101
00:04:56,160 --> 00:05:01,950
小三角形的AD和大三角形的AC对应

102
00:05:01,960 --> 00:05:06,690
我们已知AC的长度是a

103
00:05:06,700 --> 00:05:08,640
小写的a

104
00:05:08,650 --> 00:05:10,720
所以a代表AC

105
00:05:10,730 --> 00:05:15,520
我们没有给AD的长度标字母

106
00:05:15,530 --> 00:05:20,330
但是我们知道AB的长度用c表示

107
00:05:20,340 --> 00:05:24,170
我们没有表示AD长度的字母

108
00:05:24,180 --> 00:05:26,580
那么就叫它d

109
00:05:26,590 --> 00:05:30,200
所以d对应着那一段的长度

110
00:05:30,210 --> 00:05:32,940
而c对应这整条斜边的长度

111
00:05:32,950 --> 00:05:35,920
我们把DB的长度称为e

112
00:05:35,930 --> 00:05:38,300
这会让证明简洁一些

113
00:05:38,310 --> 00:05:41,350
所以现在AD是d

114
00:05:41,360 --> 00:05:44,160
于是我们得到关系a比c等于d比a

115
00:05:44,170 --> 00:05:48,090
如果我们把等式交叉相乘 a乘以a得到a的平方

116
00:05:48,100 --> 00:05:51,140
a的平方等于c乘以d 也就是cd

117
00:05:51,150 --> 00:05:53,050
这是一个有趣的结果

118
00:05:53,060 --> 00:05:55,430
让我们来看看我们可以对剩下那个三角形做点什么

119
00:05:55,440 --> 00:05:57,780
就是这个三角形

120
00:05:57,790 --> 00:06:00,720
同样地 它有一个直角 大三角形也有一个直角

121
00:06:00,730 --> 00:06:03,990
并且它们在这里共享同一个角

122
00:06:04,000 --> 00:06:07,180
所以根据相似判定 这两个三角形

123
00:06:07,190 --> 00:06:08,180
是相似的

124
00:06:08,190 --> 00:06:12,250
也就是说三角形BDC 我们按从粉色的角开始到直角

125
00:06:12,260 --> 00:06:13,120
再到未标记角的顺序写字母

126
00:06:13,130 --> 00:06:20,920
所以三角形BDC相似于大三角形

127
00:06:20,930 --> 00:06:22,560
我们要来观察大三角形的对应点

128
00:06:22,570 --> 00:06:24,540
我们从粉色角B开始

129
00:06:24,550 --> 00:06:27,480
到直角C再到A

130
00:06:27,490 --> 00:06:31,040
BCA

131
00:06:31,050 --> 00:06:35,620
从粉色角到直角再到未标记角 一样的顺序

132
00:06:35,630 --> 00:06:38,200
和小三角形一样的顺序

133
00:06:38,210 --> 00:06:40,900
现在我们要找一些关系

134
00:06:40,910 --> 00:06:44,690
先来看小三角形的边BC

135
00:06:44,700 --> 00:06:47,470
BC比上BA

136
00:06:47,480 --> 00:06:49,750
BC比BA

137
00:06:49,760 --> 00:06:53,420
我们还是在比较两个三角形的斜边

138
00:06:53,430 --> 00:07:00,690
于是BC比BA等于BD比上另一条边

139
00:07:00,700 --> 00:07:04,720
让我换一种颜色 BD是其中一条直角边

140
00:07:04,730 --> 00:07:07,110
BD在这里是一条较短的直角边

141
00:07:07,120 --> 00:07:14,260
找到对应的大三角形的直角边BC 所以是BD比BC

142
00:07:14,270 --> 00:07:18,190
我们已知BC用字母b表示

143
00:07:18,200 --> 00:07:20,330
BC就是小写的b

144
00:07:20,340 --> 00:07:23,080
BA是小写的c

145
00:07:23,090 --> 00:07:29,280
BD根据之前我们定义的是小写的e

146
00:07:29,290 --> 00:07:31,560
所以这是小写的e

147
00:07:31,570 --> 00:07:35,000
交叉相乘 这里是 b乘以b

148
00:07:35,010 --> 00:07:38,840
我在很多视频中提到交叉相乘

149
00:07:38,850 --> 00:07:42,480
两边都要乘以相应的分母

150
00:07:42,490 --> 00:07:46,180
所以b乘以b等于ce

151
00:07:46,190 --> 00:07:50,030
现在我们可以做一件有趣的事情

152
00:07:50,040 --> 00:07:52,050
我们把这两个等式加起来

153
00:07:52,060 --> 00:07:53,480
让我重新来写一下

154
00:07:53,490 --> 00:07:55,770
b的平方等于ce

155
00:07:55,780 --> 00:07:59,750
如果我们把左手边加起来将会得到

156
00:07:59,760 --> 00:08:08,060
b的平方加上a的平方 而它们等于cd加上

157
00:08:08,070 --> 00:08:12,920
ce

158
00:08:12,930 --> 00:08:16,170
右边两项有公因式c所以我们把c提出来

159
00:08:16,180 --> 00:08:19,810
所以右边等于

160
00:08:19,820 --> 00:08:22,660
c乘以d和e的和

161
00:08:22,670 --> 00:08:29,250
给d加e套上括号

162
00:08:29,260 --> 00:08:31,450
结果是什么

163
00:08:31,460 --> 00:08:32,870
d是这条长度

164
00:08:32,880 --> 00:08:34,260
e是这段长度

165
00:08:34,270 --> 00:08:37,070
d加上e实际上同样等于c

166
00:08:37,080 --> 00:08:38,550
所以这就成了c

167
00:08:38,560 --> 00:08:42,650
c乘以c得到c的平方

168
00:08:42,660 --> 00:08:45,850
现在我们得到了一个有趣的关系

169
00:08:45,860 --> 00:08:51,290
我们得到a的平方加上b的平方等于c的平方

170
00:08:51,300 --> 00:08:52,260
让我重新写一遍

171
00:08:52,270 --> 00:08:56,930
让我用个新的颜色

172
00:08:56,940 --> 00:09:02,020
刚才不小心删掉了 现在再写一遍

173
00:09:02,030 --> 00:09:05,600
所以我们刚才得到了a的平方

174
00:09:05,610 --> 00:09:09,310
加上b的平方等于c的平方

175
00:09:09,320 --> 00:09:11,560
这是一个任意的直角三角形

176
00:09:11,570 --> 00:09:13,740
这两个小三角形也是任意的

177
00:09:13,750 --> 00:09:17,950
我们刚刚得到了直角边的平方和

178
00:09:17,960 --> 00:09:20,030
等于斜边的平方

179
00:09:20,040 --> 00:09:24,840
这大概是数学领域最简单却最有名的定理之一

180
00:09:24,850 --> 00:09:27,280
它以毕达哥拉斯的名字命名

181
00:09:27,290 --> 00:09:29,970
不知道他是不是第一个发现这个定理的人

182
00:09:29,980 --> 00:09:32,610
但是这个定理就叫做毕达哥拉斯定理

183
00:09:32,620 --> 00:09:37,490
就是勾股定律

184
00:09:37,500 --> 00:09:41,680
这并不是一切几何学的基础但是却对于

185
00:09:41,690 --> 00:09:43,440
几何学至关重要

186
00:09:43,450 --> 00:09:47,060
并且它是所有三角运算的基础

187
00:09:47,070 --> 00:09:49,550
这个定律相当使用因为当你知道一个直角三角形

188
00:09:49,560 --> 00:09:51,340
的两边 你可以轻松得到第三边