Pythagorean Theorem Proof Using Similarity

Segitiga ini yang kita ada di sini ialah segitiga bersudut tegak.

Dan ini ialah kerana ia mempunyai sudut 90 darjah

ataupun sudut tegak di dalamnya.

Sekarang, kita panggil sisi terpanjang untuk satu segitiga bersudut tepat,

kita panggil sisi itu atau anda boleh lihat

sisi terpanjang segitiga bersudut tepat

atau sisi bertentangan sudut 90 darjah

itu dipanggil hypotenus.

Ianya adalah satu perkataan menarik yang untuk idea yang mudah

iaitu cuma sisi terpanjang satu segitiga bersudut tegak

atau sisi bertentangan sudut 909 darjah.

Dan adalah bagus untuk tahu itu kerana seseorang mungkin mengatakan hipotenus.

"Oh, mereka bercakap tentang sisi ini di sini,

sisi terpanjang, iaitu sisi bertentangan sudut 90 darjah."

Sekarang apa yang saya mahu buat ialah buktikan satu perhubungan,

satu perhubungan terkenal dan anda mungkin akan nampak ke mana ini akan pergi,

satu perhubungan terkenal antara panjang sisi

sebuah segitiga bersudut tegak.

Jadi katakan panjang AC, jadi huruf besar A, huruf besar C.

Mari panggil itu panjang huruf kecil a.

Mari panggil panjang BC sebagai huruf kecil b di situ.

Saya akan gunakan huruf besar untuk titik dan huruf kecil untuk panjang.

Dan mari panggil panjang hipotenus,

jadi panjang AB, mari panggilnya c.

Dan mari lihat jika kita boleh tafsirkan hubungan antara A, B dan C.

Dan untuk lakukan itu, saya akan lukiskan garis lain

atau segmen lain, di antara C dan juga hipotenus.

Dan saya akan lukisnya supaya ia melintang pada sudut tegak.

Kita akan panggil titik ini di sini,

kita akan panggil titik ini huruf besar D.

Dan jika anda tertanya, bagaimana kita boleh buat itu?

Anda boleh bayangkan segitiga ini diputarkan begini.

Dan ini memberikan anda idea umum tentang

bagaimana anda boleh bina satu titik seperti ini.

Jadi, jika saya putarkannya, maka sekarang

hipotenus kita berada di bahagian bawah.

Ini ialah titik B, ini ialah titik A,

Jadi kita sudah pusingkan segitiga ini sepenuhnya.

Ini ialah titik C, anda boleh bayangkan jika kita jatuhkan batu dari titik C

mungkin ianya terikat dengan tali, dan ia akan langgar hipotenus

pada sudut yang tepat.

Maka, apa yang kita buat di sini ialah binakan segmen CD

di mana kita letakkan titik D di sini.

Dan kenapa saya lakukan itu ialah sekarang kita boleh buat

pelbagai jenis hubungan menarik antara segitiga yang hampir sama.

Kerana kita ada 3 segitiga di sini: kita ada segitiga ADC,

kita ada segitiga DBC dan kita ada segitiga asal.

Kita boleh, harapnya, bina persamaan antara segitiga tersebut.

Dan pertama sekali saya akan tunjuk yang ADC adalah sama dengan

segitiga yang besar sebab mereka mempunyai sudut tegak.

ADC mempunyai sudut tegak di sini.

Jadi, jika sudut ini ialah 90 darjah,

sudut yang ini juga akan menjadi 90 darjah.

mereka adalah sudut penggenap dan jumlah keduanya ialah 180.

Jadi kedua-duanya mempunyai sudut tegak di dalam.

Yang lebih kecil mempunyai satu sudut tepat,

yang lebih besar juga jelas ada sudut tepat.

Dan keduanya berkongsi sudut tegak ini di sini.

Sudut DAC atau BAC, bagaimanapun anda mahu rujuknya.

Kita boleh tuliskan segitiga itu,

saya akan mulakan dengan yang kecil dulu:

ADC, mungkin saya akan lorekkannya ya.

Jadi ini ialah segitiga yang kita cakap tadi, segitiga ADC

dan saya pergi ke sudut biru ke sudut tepat

ke sudut tidak berlabel dari pandangan ADC.

Sudut ini di sini tidak memberi kesan kepada yang itu di situ.

Ianya adalah untuk segitiga yang lebih besar ini.

Jadi, kita boleh katakan yang segitiga ADC,

adalah sama dengan segitiga,

sekali lagi, anda mahu mula di sudut biru A

kemudian kita pergi ke sudut tepat.

Jadi kita tidak perlu pergi ke sudut tepat sekali lagi.

Jadi ini ialah segitiga ACB.

ACB

Dan kerana mereka adalah sama, kita boleh binakan hubungan

antara nisbah sisi mereka.

Sebagai contoh, kita tahu nisbah sisi sepadan...

Secara umunya untuk segitiga yang sama,

kita tahu yang nisbah sisi sepadan

akan menjadi konstan.

Maka, kita boleh ambil nisbah, hipootenus segitiga yang lebih kecil ini.

Jadi, hipotenus ialah AC atau hipotenus segitiga yang lebih besar

iaitu AB.

AC per AB akan menjadi perkara yang sama seperti AD,

seperti satu daripada kakinya.

AD, untuk tunjukkan yang saya cuma ambil titik-titik sepadan

dari kedua-dua segitiga sama.

Ini ialah AD per AC, per AC.

Anda boleh lihat segitiga ini sendiri

dan fikir "lihat, AD, titik AD ialah antara sudut biru

dan sudut merah, dan titik...maaf...sisi AD

ialah antara sudut biru dan sudut merah."

Sisi AC adalah antara sudut biru dan sudut merah

segitiga yang lebih besar.

Jadi kedua-dua ini adalah dari segitiga yang lebih besar.

Ini ialah sisi sepadan segitiga yang lebih kecil

dan jika itu mengelirukan, cuba perhatikannya,

asalkan anda tuliskan pernyataan persamaan dengan betul

anda boleh cari titik sepadan.

AC sepadan dengan AB pada segitiga yang lebih besar.

AD pada segitiga yang lebih kecil sepadan dengan AC segitiga yang lebih besar.

Dan kita tahu yang AC, kita boleh tulis semula itu sebagai huruf kecil a.

AC ialah huruf kecil a.

AC ialah huruf kecil a.

Kita tidak ada sebarang label untuk AD atau AB,

kita ada label untuk AB iaitu c di situ.

Kita tak ada label untuk AD, jadi mari kita panggilnya,

Jadi AD, mari kita panggilnya huruf kecil d.

Jadi, huruf kecil d merujuk kepada bahagian itu di situ,

c merujuk kepada seluruh bahagian di sini.

Dan kita akan panggil DB, mari panggil panjang itu e

ini akan mudahkannya untuk kita.

Jadi, AD, kita cuma panggilnya d.

Dan kita kini ada A per C = D per A.

Jika kita darab silang, anda ada a darab a iaitu a kuasa 2,

adalah bersamaan dengan c darab d, iaitu cd.

Jadi, itu adalah keputusan yang menarik.

Mari lihat apa yang kita boleh buat dengan segitiga ini di sini pula.

Jadi, segitiga ini di sini.

Jadi, sekali lagi ia mempunyai sudut tegak, yang lebih besar ada sudut tegak

dan kedua-duanya berkongsi sudut tegak itu di situ.

Maka, melalui persamaan sudut, kedua-dua segitiga

ini akan menjadi sama.

Maka, kita boleh kata yang segitiga BDC, kita pergi dari merah jambu ke kanan,

ke tiada label.

Jadi, segitiga BDC, segitiga BDC adalah sama dengan segitiga...

sekarang kita akan lihat segitiga yang lebiih besar,

sekarang kita akan mula dari sudut merah jambu B,

OK, ke sudut tepat CA.

BCA.

Dari sudut merah jambu ke sudut tegak ke sudut tidak berlabel,

sekurang-kurangnya dari pandangan ini di sini sebelum yang biru.

Sekarang kita akan bina sejenis hubungan di sini.

Kita boleh katakan yang nisbah segitiga BC yang lebih kecil,

sisi BC per BA.

BC per BA.

Sekali lagi kita ambil hipotenus kedua-duanya.

Jadi, BC per BA akan menjadi sama dengan BD.

Kita gunakan warna lain, BD, jadi ini ialah salah satu kaki BD,

cara saya lukisnya nampak seperti kaki yang lebih pendek.

BD per BC, saya cuma ambil bucu sepadan, per BC.

Dan sekali lagi, kita tahu yang BC adalah sama dengan huruf kecil b.

BC ialah huruf kecil b.

BA ialah huruf kecil c.

Dan kemudian, kita definisikan BD sebagai huruf kecil e.

Jadi, ini ialah huruf kecil e.

Kita boleh darab silang di sini di mana b darab b.

Dan saya dah sebutkan ini dalam banyak video, darab silang

kedua-dua belah persamaan dengan penyebutnya.

b darab b = ce.

Dan sekarang kita boleh lakukan satu perkara menarik.

Kita boleh tambahkan kedua-dua pernyataan di bawah ini.

Biar saya tulis semula pernyataan ini.

Maka, b kuasa 2 = ce.

Jadi, jika kita tambah bahagian kiri, kita dapat

a kuasa 2 + b kuasa 2, a kuasa 2 + b kuasa 2 = cd, = cd.

+ ce.

Dan kemudian kita ada ce dalam kedua-dua sebutan, jadi kita boleh faktorkannya keluar.

Maka, ini akan menjadi bersamaan dengan, kita boleh faktor keluar c,

ianya akan menjadi c x d + e.

c x d + e, dan tutupkan kurungan.

Sekarang, apakah d + e?

d ialah panjang ini.

e ialah panjang ini.

Jadi, d + e sebenarnya akan menjadi c juga.

Jadi, ini akan menjadi c.

Jadi, jika c x c akan menjadi perkara yang sama dengan c kuasa 2,

sekarang, kita ada satu hubungan yang menarik,

Kita ada a kuasa 2 + b kuasa 2 = c kuasa 2.

Biar saya tuliskannya semula.

a kuasa 2, saya akan gunakan warna....mari saya pilih..

Opss..terpadam pulak, biar saya tulisnya semula.

Jadi, kita baru saja tentukan yang a kuasa 2

+ b kuasa 2 = c kuasa 2.

Dan ini cumalah satu segitiga bersudut tegak yang rawak.

Ini ialah untuk mana-mana 2 segitiga bersudut tegak.

Kita baru saja tentukan yang jumlah kuasa 2 setiap kakinya

adalah sama dengan kuasa 2 hipotenusnya.

Dan ini adalah berkemungkinan, salah satu teorem terkenal dalam

dunia Matematik, yang dinamakan sempena Pythagoras.

Saya tak pasti sama ada dia adalah orang pertama untuk tentukan ini,

tapi ianya dipanggil teorem Pythagoras.

Teorem Pythagoras.

Dan ianya adalah asas untuk, bukan untuk Geometri sahaja,

tapi kebanyakan Geometri yang kita akan lakukan.

Dan ia membentuk asas untuk semua Trigonometri yang kita akan lakukan.

Dan ianya adalah cara berguna di mana jika anda tahu 2 sisi

untuk satu segitiga bersudut tegak, anda pasti akan dapat cari sisi yang ketiga.