How to solve one-step multiplication and division equations with fractions and decimals

Πάμε να κάνουμε εξάσκηση στην
επίλυση εξισώσεων

και θα κάνουμε μερικές πιο
δύσκολες εξισώσεις

που θα έχουν μέσα τους
κλάσματα και δεκαδικούς.

1

Ας πούμε λοιπόν ότι έχουμε την εξίσωση
1,2 c ίσον με 0,6.

1

Με τι χρειάζεται να πολλαπλασιάσουμε
το 1,2 για να πάμε στο 0,6;

1

Και επειδή όντως η πράξη αυτή
δεν είναι και τόσο εύκολη

να γίνει με το μυαλό μας

για αυτό το λόγο μαθαίνουμε να λύνουμε
εξισώσεις.

Έχουμε λοιπόν το άγνωστο c
που ψάχνουμε

στο αριστερό μέλος
της εξίσωσης να πολλαπλασιάζεται με το 1,2

και αυτό που θέλουμε είναι να το
αφήσουμε μόνο του.

1

1

Και πως θα το κάνουμε αυτό;

Διαιρούμε λοιπόν το αριστερό μέλος
της εξίσωσης με το 1,2

και όπως έχουμε πει πολλές φορές

όταν κάνουμε κάτι στο ένα μέλος
της εξίσωσης

το ίδιο κάνουμε και στο άλλο μέλος
της εξίσωσης

για να μη χαλάσουμε την ισότητα.

Διαιρούμε λοιπόν και τα δύο μέλη
της εξίσωσης με το 1,2

και αριστερά έχουμε:
1,2c διά 1,2

που κάνει απλά c

1

που είναι ίσο με 0,6 διά 1,2.

Και με τι είναι ίσο αυτό;

Πώς κάνουμε αυτή τη διαίρεση;

1

Αρχικά ξεφορτωνόμαστε τις υποδιαστολές

πολλαπλασιάζοντας αριθμητή και παρανομαστή

με κάποιον αριθμό έτσι ώστε να μπορέσουμε
να διώξουμε τις υποδιαστολές.

Με τι χρειάζεται να πολλαπλασιάσουμε

αριθμητή και παρανομαστή;

Για να δούμε! Αν πολλαπλασιάσουμε με το 10

θα πάρουμε 6 στον αριθμητή

και 12 στον παρανομαστή
άρα μας κάνει.

Πολλαπλασιάζουμε λοιπόν
αριθμητή και παρανομαστή με το 10

1

1

και παίρνουμε 0,6 επί 10 που κάνει 6
και 1,2 επί 10 που κάνει 12.

Το c λοιπόν είναι τελικά ίσο με 6/12

και μπορούμε να απλοποιήσουμε
κιόλας

διαιρώντας αριθμητή
και παρανομαστή με το 6

σε 1/2.

Το c λοιπόν είναι ίσο με 1/2

και αν πάμε τώρα στην αρχική μας εξίσωση
και βάλουμε όπου c το 1/2,

έχουμε 1,2 επί 1/2, δηλαδή το μισό του 1,2
που φυσικά είναι ίσο με 0,6.

1

1

1

άρα το c τελικά είναι ίσο με 1/2.

Ας κάνουμε ένα παράδειγμα ακόμα.

Ας πούμε ότι έχουμε ότι το 1/4
είναι ίσο με y/12.

1

Πόσο είναι το y;

Έχουμε λοιπόν έναν άγνωστο y
στο δεξιά μέλος της εξίσωσης

που διαιρείται με το 12.

Για να διώξουμε λοιπόν αυτό το 12
και να αφήσουμε μόνο του το y

1

αρκεί να πολλαπλασιάσουμε και τα δύο
μέρη της ισότητας με το 12.

1

Πολλαπλασιάζουμε λοιπόν
δεξιά με το 12

και πολλαπλασιάζουμε και αριστερά
με το 12

και για ποιό λόγο τελικά το κάνουμε αυτό;

Γιατί στην ουσία ψάχνουμε έναν αριθμό

που αν πολλαπλασιάσουμε το y/12,

να φύγει το 12
και να μείνει μόνο του το y.

y , διά 12 επί 12, κάνει 1

άρα αυτά διαγράφονται

και αριστερά έχουμε 12 επί 1/4

που είναι ίσο με 12/4.

Άρα 12/4 είναι ίσο με y

και αν το διαβάσουμε και ανάποδα

1

1

το y τελικά είναι ίσο με 12 διά 4
που κάνει 3

1

1

1

1

1

και πάμε να κάνουμε και επαλήθευση.

Το 1/4 είναι ίσο με 3/12;

Ναι είναι

και αυτό είναι το ωραίο με τις εξισώσεις

αφού μπορείτε πάντα να
επαληθεύσετε το αποτέλεσμα.

Ας κάνουμε άλλο ένα παράδειγμα
είμαι ασταμάτητος.

Θέλουμε το 4,5 ναι είναι ίσο με 0,5 n.
Πόσο είναι το n;

Το n λοιπόν, στο δεξιά μέλος της εξίσωσης,
πολλαπλασιάζεται με το 0,5

1

και θέλουμε να κάνουμε κάτι
για να το αφήσουμε μόνο του.

Να λύσουμε δηλαδή ως προς n.
Πώς θα το κάνουμε αυτό;

Αρκεί να διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές
της εξίσωσης με το 0,5.

1

1

Και γιατί το 0,5;

Μα γιατί 0,5 διά 0,5 κάνει 1
άρα δεξιά μας μάνει ένα n

και αριστερά έχουμε 4,5 διά 0,5

1

1

άρα 4,5 διά 0,5 είναι ίσο με n

αφού τα 0,5 απλοποιούνται
αφού 0,5 διά 0,5 κάνει 1.

1

Και με τι είναι ίσο αυτό;

4,5 διά 0,5 που μπορείτε να το σκεφτείτε
με διάφορους τρόπους.

1

Μπορείτε να το δείτε
ως 45 δέκατα διά 5 δέκατα

1

που κάνει 9

1

1

ή πιο απλά να πολλαπλασιάσετε
αριθμητή και παρανομαστή με έναν αριθμό

έτσι ώστε να διώξετε τις υποδιαστολές.

Αν πολλαπλασιάσουμε λοιπόν
αριθμητή και παρανομαστή με το 10

1

και θυμηθείτε ότι στην ουσία
δεν αλλάζουμε κάτι

γιατί είναι σαν να πολλαπλασιάζουμε
με το 10/10

δηλαδή το 1.

1

1

1

1

Μάλιστα αυτός είναι και ο λόγος

ότι δεν έχει καμία σημασία

που πολλαπλασιάσαμε με το 10/10
μόνο αριστερά και δεν το πολλαπλασιάσαμε και δεξιά.

Σε μία εξίσωση όπως έχουμε
πει

πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη
της εξίσωσης με τον ίδιο αριθμό.

Άρα αφού πολλαπλασιάζουμε αριστερά με 10/10

θα έπρεπε να πολλαπλασιάσουμε και δεξιά
με 10/10.

Έχει όμως διαφορά;. Αφού το 10/10 κάνει 1.

1

1

Αλλάζει καθόλου η αξία δεξιά της ισότητας;

1

1

1

1

n επί 10/10 κάνει πάλι n.

1

Επομένως χωρίς να παραβιάζεται
κάτι

μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε
με το 10/10 μόνο αριστερά

χωρίς να αλλάζουμε την ισότητά μας

αφού στην ουσία πολλαπλασιάζουμε με το 1.

1

Ίδια λογική είναι και η πρόσθεση με το 0.

Μπορούμε να προσθέσουμε
ή να αφαιρέσουμε το 0

στη μία πλευρά μίας ισότητας

χωρίς να χρειάζεται να το κάνουμε
και στην άλλη πλευρά

αφού στην ουσία δεν αλλάζουμε την αξία
άρα δεν χαλάμε την ισότητα.

Εδώ τώρα έχουμε καταλήξει
τελικά ότι το 45/5 είναι ίσο με n

1

δηλαδή 9...

1

είναι ίσο με n, και αν το διαβάσουμε ανάποδα
το n τελικά είναι ίσο με 9.

Και μπορούμε να κάνουμε και επαλήθευση.

Το 4,5 είναι ίσο με 0,5 επί 9
γιατί όντως 9 επί 0,5 κάνει 4,5.

Ας κάνουμε ένα τελευταίο.

1

1

1

Ας πούμε λοιπόν ότι έχουμε g/4 ότι είναι
ίσο με 3,2.

Τι χρειάζεται να κάνουμε για να διώξουμε
το 4 και να μείνει μόνο του το g;

Αρκεί λοιπόν να πολλαπλασιάσουμε
και τα δύο μέλη της εξίσωσης με το 4.

1

Αριστερά λοιπόν πολλαπλασιάζουμε
με το 4 και διαιρούμε με το 4

που κάνει 1 άρα μας μένει g

και δεξιά έχουμε 3,2 επί 4

που πόσο κάνει αυτό;
4 επί 3 κάνει 12 και 4 επί 2/10 κάνει 8/10

άρα 4 επί 3,2 κάνει 12 και 8/10
δηλαδή 12,8.

To g τελικά είναι ίσο με 12,8

που μπορείτε να κάνετε και την επαλήθευση.
12,8 διά 4 κάνει 3,2.