< Return to Video

Linear Algebra: Introduction to Eigenvalues and Eigenvectors

  • 0:01 - 0:06
    对于任意的变换从Rn到Rn
  • 0:06 - 0:08
    我们已经做完了
  • 0:08 - 0:11
    但是对于我们来讲 求向量
  • 0:11 - 0:13
    本质上通过变换就是放缩 还是很吸引人的
  • 0:13 - 0:16
    因此这个向量有这样的形式
  • 0:16 - 0:19
    这个向量变换就等于
  • 0:19 - 0:22
    按某个比例放大一个向量
  • 0:22 - 0:24
    如果这个对你来讲看起来不太熟悉
  • 0:24 - 0:25
    我可以慢慢触动你的记忆
  • 0:25 - 0:28
    当时我们在找基向量
  • 0:28 - 0:29
    对于变换的时候 我把它画下来
  • 0:29 - 0:31
    这是从R2到R2
  • 0:31 - 0:36
    我来把R2画在这
  • 0:36 - 0:44
    比方说我有这个向量v1等于
  • 0:44 - 0:46
    向量[1；2]
  • 0:46 - 0:49
    我们就有由这个向量张成的直线
  • 0:49 - 0:52
    我们在几次视频之前做过这个问题
  • 0:52 - 0:54
    我有这样的变换
  • 0:54 - 0:56
    可以翻过这条直线
  • 0:56 - 0:59
    因此如果我们称这条线为l的话 T就是这个变换
  • 0:59 - 1:05
    从R2到R2翻过这条线
  • 1:05 - 1:13
    因此它翻过l
  • 1:13 - 1:15
    如果你能记起那个变换
  • 1:15 - 1:18
    如果我有某个随机向量像这样
  • 1:18 - 1:20
    比方说那是c 那是向量x
  • 1:20 - 1:22
    那么这个变换作用于x看起来就是这样
  • 1:22 - 1:24
    它就是翻过那条线
  • 1:24 - 1:27
    那就是这个变换作用于x
  • 1:27 - 1:29
    如果你还记得那次视频 我们当时正在找
  • 1:29 - 1:32
    基的一种变换可以允许我们至少
  • 1:32 - 1:34
    算出这个变换的对应矩阵
  • 1:34 - 1:36
    至少在一个改变的基下
  • 1:36 - 1:37
    然后我们可以算出矩阵
  • 1:37 - 1:39
    针对这个变换在一组标准基下
  • 1:39 - 1:42
    我们选取的这个基就是基向量
  • 1:42 - 1:45
    不会随着这个变换改变太多
  • 1:45 - 1:47
    或者基向量通过变换这是按比例被放大
  • 1:47 - 1:50
    举个例子 当我们对v1做这个变换
  • 1:50 - 1:54
    它就等于v1
  • 1:54 - 2:00
    或者我们可以说v1在这个变换下就
  • 2:00 - 2:03
    等于1乘以v1
  • 2:03 - 2:07
    因此如果你只是按照这个形式
  • 2:07 - 2:09
    我建立的这个 λ 在这种情况下就是1
  • 2:09 - 2:11
    当然 在这种情况下这个向量是v1
  • 2:11 - 2:15
    这个变换只是给v1按比例1变化
  • 2:15 - 2:19
    在那个相同的问题中 我们有另一个向量
  • 2:19 - 2:21
    我们也在看着的
  • 2:21 - 2:28
    它是向量减 比方说它是向量v2
  • 2:28 - 2:32
    就是 比方说它是[2；-1]
  • 2:32 - 2:34
    然后如果你计算它的变换
  • 2:34 - 2:37
    既然它垂直于这条直线
  • 2:37 - 2:39
    它就会像这样被翻
  • 2:39 - 2:40
    那也是一个非常有意思的矢量力
  • 2:40 - 2:46
    因为v2的这个变换在这种情形下
  • 2:46 - 2:47
    等于什么？
  • 2:47 - 2:49
    就是-v2
  • 2:49 - 2:51
    它等于-v2
  • 2:51 - 2:54
    或者你可以说v2的这个变换
  • 2:54 - 2:58
    等于-1乘以v2
  • 2:58 - 3:01
    这些对于我们来说很有意思
  • 3:01 - 3:03
    因为当我们定义一个新的基
  • 3:03 - 3:06
    用作为基向量的这些向量
  • 3:06 - 3:09
    计算我们的变换矩阵就变得非常简单
  • 3:09 - 3:12
    实际上那个基很容易算
  • 3:12 - 3:14
    我们也将在未来进一步探讨这些
  • 3:14 - 3:16
    但是希望你们能够意识到
  • 3:16 - 3:17
    这些是很有意思的向量
  • 3:17 - 3:19
    也有这样的情形
  • 3:19 - 3:23
    我们有被某些向量张成的平面
  • 3:23 - 3:25
    然后我们又有另一个向量
  • 3:25 - 3:27
    像这样跳出这个平面
  • 3:27 - 3:30
    我们变换通过算镜像
  • 3:30 - 3:32
    穿过这个 在这个变换中
  • 3:32 - 3:35
    这些红向量一点也不会改变
  • 3:35 - 3:36
    并且这个向量翻转过去
  • 3:36 - 3:38
    也许那些向量会很好的成为基
  • 3:38 - 3:40
    或者那些向量会很好的成为基向量
  • 3:41 - 3:42
    事实上是这样的
  • 3:42 - 3:45
    所以一般地 我们总是关心这种向量
  • 3:45 - 3:47
    通过一个变换只是比例上发生变化
  • 3:47 - 3:49
    它不会成为所有的向量 对吧？
  • 3:49 - 3:51
    这个我画的向量 这个向量x
  • 3:51 - 3:54
    它不只是比例发生变化 它实际上已经改变了
  • 3:54 - 3:56
    这个方向都改变了
  • 3:56 - 3:59
    这个向量改变大小可能改变方向
  • 3:59 - 4:02
    可能从这个方向改变到那个方向
  • 4:03 - 4:04
    或许它们改变到那
  • 4:04 - 4:07
    也许那是x 然后x的这个变换
  • 4:07 - 4:09
    可能是x比例的变化
  • 4:09 - 4:10
    也许是那样
  • 4:10 - 4:17
    我猜实际的它们张成的那条直线不会改变
  • 4:17 - 4:19
    这就是我们一直关心的问题
  • 4:19 - 4:21
    这些有一个特殊的名字
  • 4:21 - 4:24
    它们有一个特殊的名字 我想
  • 4:24 - 4:25
    是这个变得清楚一些因为它们真的很有用
  • 4:25 - 4:28
    它不是简单的我们在玩的数学游戏
  • 4:28 - 4:30
    尽管有时候我们确实会掉入到那个陷阱中
  • 4:30 - 4:31
    但是事实上它们很有用
  • 4:32 - 4:35
    它们对于定义基很有用因为在那些基下
  • 4:35 - 4:36
    计算变换矩阵就变得很简单了
  • 4:37 - 4:39
    它们是更自然的坐标系统
  • 4:39 - 4:42
    时常地 在那些基下的这个变换矩阵
  • 4:42 - 4:43
    更容易计算
  • 4:43 - 4:46
    因此这些有特殊的名字
  • 4:46 - 4:50
    任意向量满足这个等式
  • 4:50 - 4:56
    被称为这个变换的一个特征向量
  • 4:56 - 5:01
    这个λ 这个倍数它成为
  • 5:01 - 5:13
    这是这个特征向量所对应的特征值
  • 5:13 - 5:20
    所以在这个例子中我就给你这个变换是
  • 5:20 - 5:24
    翻过这条直线 v1 这个向量[1；2]是
  • 5:24 - 5:26
    我们变换的一个特征向量
  • 5:26 - 5:32
    所以[1；2]就是一个特征向量
  • 5:32 - 5:36
    并且它对应的特征值是1
  • 5:36 - 5:44
    这个向量也是一个特征向量
  • 5:44 - 5:45
    这个向量[2；-1]
  • 5:45 - 5:47
    它也是一个特征向量
  • 5:47 - 5:50
    一个很有意思的单词 但是它的所有意义是一个向量
  • 5:50 - 5:52
    通过一个变换大小发生变化
  • 5:52 - 5:55
    没有哪个向量的变化
  • 5:55 - 5:56
    比按比例发生变化更有意义
  • 5:56 - 6:03
    它对应特征值是-1
  • 6:03 - 6:06
    如果这个变换 我不知道
  • 6:06 - 6:07
    它的变换矩阵是什么？
  • 6:07 - 6:09
    我忘了它是什么
  • 6:09 - 6:10
    我们实际上之前算出来过
  • 6:10 - 6:16
    如果这个变换矩阵可以表示为
  • 6:16 - 6:18
    一个矩阵向量乘积 它应该可以
  • 6:18 - 6:21
    它是一个线性变换 那么任意v
  • 6:21 - 6:24
    满足这个变换
  • 6:24 - 6:30
    我想说v的这个变换等于λv
  • 6:30 - 6:32
    也同样是
  • 6:32 - 6:34
    你知道 这个变换
  • 6:34 - 6:35
    会是Av
  • 6:35 - 6:39
    这些也可以称是A的特征值
  • 6:39 - 6:42
    因为A确实是
  • 6:42 - 6:43
    这个变换的矩阵表示
  • 6:43 - 6:51
    在这种情况下 这就是A的一个特征向量
  • 6:51 - 6:53
    而且这就是这个特征值
  • 6:53 - 6:55
    对应于这个特征向量
  • 6:55 - 7:00
    所以如果你给我一个矩阵
  • 7:00 - 7:02
    表示某个线性变换
  • 7:02 - 7:04
    你也可以把这些算出来
  • 7:04 - 7:07
    下次视频我将
  • 7:07 - 7:08
    找到一种方法把这些算出来
  • 7:08 - 7:11
    但是我想让你在这次视频中学习的是
  • 7:11 - 7:14
    简单的说 就是这个向量
  • 7:14 - 7:15
    不会改变太多
  • 7:15 - 7:17
    但是我想让你明白它是什么意思
  • 7:17 - 7:18
    它实际上就是大小发生变化
  • 7:18 - 7:20
    或者可能它们被翻转了
  • 7:20 - 7:22
    它们的方向或者它们张成的这些线
  • 7:22 - 7:24
    根本上没变
  • 7:24 - 7:26
    为什么它们能够吸引我们的注意
  • 7:26 - 7:29
    一个方面的原因为什么它们吸引我们就是
  • 7:29 - 7:33
    它们做了一组很有意思的基向量 那些基向量
  • 7:33 - 7:36
    可以使变换矩阵可能在计算上
  • 7:36 - 7:38
    更简单
  • 7:38 - 7:41
    或者它会给我们提供更好的坐标系
Title:
Linear Algebra: Introduction to Eigenvalues and Eigenvectors
Description:

What eigenvectors and eigenvalues are and why they are interesting
more » « less
Video Language:
English
Duration:
07:43
chezisu1988 added a translation

Chinese, Simplified subtitles

Revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.