0:00:00.730,0:00:05.610
对于任意的变换从Rn到Rn

0:00:05.620,0:00:07.790
我们已经做完了

0:00:07.800,0:00:10.660
但是对于我们来讲 求向量

0:00:10.680,0:00:13.460
本质上通过变换就是放缩 还是很吸引人的

0:00:13.480,0:00:16.380
因此这个向量有这样的形式

0:00:16.390,0:00:19.390
这个向量变换就等于

0:00:19.410,0:00:22.300
按某个比例放大一个向量

0:00:22.320,0:00:24.000
如果这个对你来讲看起来不太熟悉

0:00:24.010,0:00:25.440
我可以慢慢触动你的记忆

0:00:25.460,0:00:27.550
当时我们在找基向量

0:00:27.570,0:00:29.330
对于变换的时候 我把它画下来

0:00:29.350,0:00:31.030
这是从R2到R2

0:00:31.050,0:00:36.240
我来把R2画在这

0:00:36.250,0:00:44.450
比方说我有这个向量v1等于

0:00:44.460,0:00:46.010
向量[1；2]

0:00:46.030,0:00:48.730
我们就有由这个向量张成的直线

0:00:48.740,0:00:51.730
我们在几次视频之前做过这个问题

0:00:51.740,0:00:54.230
我有这样的变换

0:00:54.240,0:00:55.760
可以翻过这条直线

0:00:55.770,0:00:59.380
因此如果我们称这条线为l的话 T就是这个变换

0:00:59.390,0:01:05.310
从R2到R2翻过这条线

0:01:05.340,0:01:12.980
因此它翻过l

0:01:12.990,0:01:14.840
如果你能记起那个变换

0:01:14.860,0:01:17.580
如果我有某个随机向量像这样

0:01:17.600,0:01:19.900
比方说那是c 那是向量x

0:01:19.920,0:01:22.240
那么这个变换作用于x看起来就是这样

0:01:22.250,0:01:24.170
它就是翻过那条线

0:01:24.190,0:01:26.580
那就是这个变换作用于x

0:01:26.590,0:01:29.030
如果你还记得那次视频 我们当时正在找

0:01:29.040,0:01:31.760
基的一种变换可以允许我们至少

0:01:31.780,0:01:34.350
算出这个变换的对应矩阵

0:01:34.360,0:01:35.670
至少在一个改变的基下

0:01:35.690,0:01:37.240
然后我们可以算出矩阵

0:01:37.260,0:01:38.830
针对这个变换在一组标准基下

0:01:38.840,0:01:42.470
我们选取的这个基就是基向量

0:01:42.490,0:01:44.960
不会随着这个变换改变太多

0:01:44.980,0:01:46.880
或者基向量通过变换这是按比例被放大

0:01:46.900,0:01:49.640
举个例子 当我们对v1做这个变换

0:01:49.660,0:01:53.600
它就等于v1

0:01:53.620,0:01:59.540
或者我们可以说v1在这个变换下就

0:01:59.560,0:02:02.600
等于1乘以v1

0:02:02.620,0:02:06.510
因此如果你只是按照这个形式

0:02:06.530,0:02:09.140
我建立的这个 λ 在这种情况下就是1

0:02:09.160,0:02:11.070
当然 在这种情况下这个向量是v1

0:02:11.090,0:02:14.600
这个变换只是给v1按比例1变化

0:02:14.610,0:02:19.120
在那个相同的问题中 我们有另一个向量

0:02:19.140,0:02:20.820
我们也在看着的

0:02:20.830,0:02:27.570
它是向量减 比方说它是向量v2

0:02:27.600,0:02:31.750
就是 比方说它是[2；-1]

0:02:31.760,0:02:34.450
然后如果你计算它的变换

0:02:34.470,0:02:37.460
既然它垂直于这条直线

0:02:37.470,0:02:38.690
它就会像这样被翻

0:02:38.710,0:02:40.450
那也是一个非常有意思的矢量力

0:02:40.460,0:02:45.860
因为v2的这个变换在这种情形下

0:02:45.870,0:02:47.110
等于什么？

0:02:47.130,0:02:48.830
就是-v2

0:02:48.840,0:02:50.520
它等于-v2

0:02:50.530,0:02:53.920
或者你可以说v2的这个变换

0:02:53.940,0:02:57.860
等于-1乘以v2

0:02:57.880,0:03:01.160
这些对于我们来说很有意思

0:03:01.180,0:03:03.380
因为当我们定义一个新的基

0:03:03.390,0:03:06.320
用作为基向量的这些向量

0:03:06.340,0:03:09.250
计算我们的变换矩阵就变得非常简单

0:03:09.260,0:03:12.250
实际上那个基很容易算

0:03:12.270,0:03:13.930
我们也将在未来进一步探讨这些

0:03:13.960,0:03:15.870
但是希望你们能够意识到

0:03:15.890,0:03:17.000
这些是很有意思的向量

0:03:17.010,0:03:18.540
也有这样的情形

0:03:18.550,0:03:22.580
我们有被某些向量张成的平面

0:03:22.590,0:03:25.370
然后我们又有另一个向量

0:03:25.390,0:03:27.240
像这样跳出这个平面

0:03:27.250,0:03:29.820
我们变换通过算镜像

0:03:29.830,0:03:31.740
穿过这个 在这个变换中

0:03:31.760,0:03:34.700
这些红向量一点也不会改变

0:03:34.710,0:03:36.090
并且这个向量翻转过去

0:03:36.110,0:03:37.820
也许那些向量会很好的成为基

0:03:37.830,0:03:40.500
或者那些向量会很好的成为基向量

0:03:40.510,0:03:41.650
事实上是这样的

0:03:41.660,0:03:44.920
所以一般地 我们总是关心这种向量

0:03:44.940,0:03:47.130
通过一个变换只是比例上发生变化

0:03:47.140,0:03:48.830
它不会成为所有的向量 对吧？

0:03:48.850,0:03:51.000
这个我画的向量 这个向量x

0:03:51.010,0:03:53.920
它不只是比例发生变化 它实际上已经改变了

0:03:53.930,0:03:55.560
这个方向都改变了

0:03:55.570,0:03:59.100
这个向量改变大小可能改变方向

0:03:59.110,0:04:02.500
可能从这个方向改变到那个方向

0:04:02.510,0:04:04.200
或许它们改变到那

0:04:04.210,0:04:07.180
也许那是x 然后x的这个变换

0:04:07.200,0:04:08.780
可能是x比例的变化

0:04:08.800,0:04:10.160
也许是那样

0:04:10.180,0:04:16.630
我猜实际的它们张成的那条直线不会改变

0:04:16.650,0:04:19.210
这就是我们一直关心的问题

0:04:19.230,0:04:21.070
这些有一个特殊的名字

0:04:21.070,0:04:23.520
它们有一个特殊的名字 我想

0:04:23.530,0:04:25.240
是这个变得清楚一些因为它们真的很有用

0:04:25.260,0:04:28.050
它不是简单的我们在玩的数学游戏

0:04:28.060,0:04:29.900
尽管有时候我们确实会掉入到那个陷阱中

0:04:29.910,0:04:31.490
但是事实上它们很有用

0:04:31.510,0:04:34.750
它们对于定义基很有用因为在那些基下

0:04:34.770,0:04:36.500
计算变换矩阵就变得很简单了

0:04:36.520,0:04:38.780
它们是更自然的坐标系统

0:04:38.800,0:04:41.680
时常地 在那些基下的这个变换矩阵

0:04:41.700,0:04:43.070
更容易计算

0:04:43.080,0:04:45.810
因此这些有特殊的名字

0:04:45.820,0:04:49.650
任意向量满足这个等式

0:04:49.670,0:04:56.070
被称为这个变换的一个特征向量

0:04:56.080,0:05:00.900
这个λ 这个倍数它成为

0:05:00.910,0:05:13.350
这是这个特征向量所对应的特征值

0:05:13.360,0:05:19.960
所以在这个例子中我就给你这个变换是

0:05:19.980,0:05:24.410
翻过这条直线 v1 这个向量[1；2]是

0:05:24.420,0:05:25.990
我们变换的一个特征向量

0:05:26.010,0:05:31.990
所以[1；2]就是一个特征向量

0:05:32.000,0:05:36.070
并且它对应的特征值是1

0:05:36.080,0:05:43.620
这个向量也是一个特征向量

0:05:43.640,0:05:44.990
这个向量[2；-1]

0:05:45.010,0:05:47.270
它也是一个特征向量

0:05:47.280,0:05:50.080
一个很有意思的单词 但是它的所有意义是一个向量

0:05:50.100,0:05:52.040
通过一个变换大小发生变化

0:05:52.050,0:05:54.850
没有哪个向量的变化

0:05:54.860,0:05:56.050
比按比例发生变化更有意义

0:05:56.060,0:06:03.170
它对应特征值是-1

0:06:03.180,0:06:05.580
如果这个变换 我不知道

0:06:05.590,0:06:07.250
它的变换矩阵是什么？

0:06:07.270,0:06:08.680
我忘了它是什么

0:06:08.690,0:06:10.380
我们实际上之前算出来过

0:06:10.390,0:06:16.040
如果这个变换矩阵可以表示为

0:06:16.060,0:06:18.120
一个矩阵向量乘积 它应该可以

0:06:18.140,0:06:21.300
它是一个线性变换 那么任意v

0:06:21.320,0:06:24.400
满足这个变换

0:06:24.420,0:06:29.600
我想说v的这个变换等于λv

0:06:29.620,0:06:32.310
也同样是

0:06:32.320,0:06:33.750
你知道 这个变换

0:06:33.760,0:06:35.320
会是Av

0:06:35.340,0:06:39.100
这些也可以称是A的特征值

0:06:39.110,0:06:41.550
因为A确实是

0:06:41.560,0:06:43.040
这个变换的矩阵表示

0:06:43.050,0:06:50.840
在这种情况下 这就是A的一个特征向量

0:06:50.860,0:06:53.010
而且这就是这个特征值

0:06:53.030,0:06:54.730
对应于这个特征向量

0:06:54.740,0:06:59.600
所以如果你给我一个矩阵

0:06:59.620,0:07:01.780
表示某个线性变换

0:07:01.800,0:07:03.890
你也可以把这些算出来

0:07:03.900,0:07:06.700
下次视频我将

0:07:06.710,0:07:07.870
找到一种方法把这些算出来

0:07:07.890,0:07:10.640
但是我想让你在这次视频中学习的是

0:07:10.660,0:07:13.930
简单的说 就是这个向量

0:07:13.950,0:07:15.270
不会改变太多

0:07:15.280,0:07:17.060
但是我想让你明白它是什么意思

0:07:17.070,0:07:18.440
它实际上就是大小发生变化

0:07:18.450,0:07:19.730
或者可能它们被翻转了

0:07:19.740,0:07:21.700
它们的方向或者它们张成的这些线

0:07:21.720,0:07:23.610
根本上没变

0:07:23.630,0:07:26.030
为什么它们能够吸引我们的注意

0:07:26.050,0:07:28.720
一个方面的原因为什么它们吸引我们就是

0:07:28.740,0:07:32.550
它们做了一组很有意思的基向量 那些基向量

0:07:32.560,0:07:36.380
可以使变换矩阵可能在计算上

0:07:36.400,0:07:37.670
更简单

0:07:37.680,0:07:41.460
或者它会给我们提供更好的坐标系