Lineaaralgebra: Omaväärtuse ja omavektori tutvustus

Mis on omavektor ja omaväärtus ning miks on nad huvitavad

Me oleme iga teisendusega, mis kujutab Rn-st Rn-i

teinud seda kaudselt, kuid meile on huvitav olnud

vektorite leidmine, mida põhiliselt lihtsalt suurendatakse

teisenduste poolt.

Nii et vektoritel, millel on kuju -- minu vektori

teisendus on võrdne mingi proportsionaalselt suurendatud

vektori versiooniga.

Kui see ei tundu tuttav, siis ma saan veidi su mälu

värskendada.

Kui me otsisime teisendusele

baasvektoreid -- las ma joonistan selle.

See oli R2-st R2-te.

R2-st R2-te.

Las ma joonistan R2 siia.

Ütleme, et mul oli vektor...lisame vektori...ütleme, et v1 oli võrdne

vektoriga 1, 2.

Meil olid jooned pikendatud selle vektori poolt.

Me tegelesime selle probleemiga mitu videot tagasi.

Mul oli teisendus, mis heitis ennast üle selle joone.

Nimetame selle joone l-ks. T oli teisendus R2-st

R2-te, mis heitis vektoreid üle selle joone.

Nii et see heitis, heitis vektoreid üle l-i.

Kui sa mäletad seda teisendust, kui mul oli mingi

suvaline vektor, mis nägi selline välja, see on x,

see on vektor x, siis x-i teisendus näeb

midagi sellist välja.

Mida heidetakse üle selle joone.

See oli x-i teisendus.

Ja kui sa mäletad seda videot, siis me otsisime

baasi muutmise maatriksit, mis lubaks meil

välja mõelda teisendusele maatriksit, vähemalt

alternatiivbaasile.

Siis saame me välja mõelda maatriksi

teisendusele standardses baasis.

Baasis, mille me valisime olid baasvektorid, mis ei

muutunud teisendusega palju või need, mis ainult

pandi mingisse mõõtkavasse.

Näiteks kui ma võtsin v1 teisenduse, siis see lihtsalt

võrdus v1-ga.

Me võime ka öelda, et v1 teisendus

võrdub 1 x v1.

Kui sa lihtsalt järgid seda väikest formaati mille ma siia

tegin, sellel juhul oleks λ võrdne ühega.

Ja loomulikult on vektor sel juhul v1.

Teisendus suurendas v1-te proportsionaalselt ühe võrra.

Meil oli sama probleem teise vektoriga,

mida me vaatasime.

See oli vektor...ütleme, et see on vektor v2

mis on -- ütleme, et see on 2, -1.

Kui sa võtad sellelt teisenduse, kuna see

oli joonega ortogonaalne, siis see

heideti üle.

Ja see oli ka üsna huvitav vektori jõud,

sest millega on selles situatsioonis

v2-e teisendus võrdne?

Lihtsalt -v2.

See on võrdne -v2-ga.

Sa võid öelda, et v2 teisendus on võrdne

tehtega -1 x v2.

Need olid meile huvitavad vektorid, sest kui me

defineerisime nende baasvektoritega uut baasi, oli

väga lihtne välja mõelda meie teisendusmaatriksit.

Ja tegelikult oli selle baasiga väga lihtne arvutada.

Me uurime seda tulevikus veidi rohkem.

Loodetavasti sa mõistad, et need on huvitavad vektorid.

Meil olid ka juhtumid, kus mõned vektorid pikendasid

tasandeid.

Ja siis oli meil vektor, mis ilmus niimoodi

tasandist välja.

Me teisendasime asju võttes peegelpildi

läbi selle. Selles

teisenduses ei muutu need punased vektorid üldse

ja see keeratakse ümber.

Võib-olla oleksid need head baasid.

Või nad oleksid ka head baasvektorid.

Ja nad tegid..

Üldiselt oleme me alati huvitatud vektoritest,

mida lihtsalt suurendatakse teisenduse poolt.

Kuid mitte kõik vektorid, eks?

Seda vektorit x-i, mille ma siia joonistasin,

lihtsalt ei suurendata, see tegelikult muutub, selle suund

muutub.

Vektorid, mida suurendatakse, võivad muuta suun... -- võivad minna

sellest suunast sinna suunda või

nad lähevad sellest.

Võib-olla on see x ja siis x-i teisendus võib-olla

x-i suurendatud versioon.

Võib-olla nii ongi.

Tegelik joon, mida nad pikendavad ei muutu.

Sellest me huvituma hakkamegi.

Neil on eriline nimi.

Neil on eriline nimi ja ma tahaksin selle teha väga

selgeks, sest nad on kasulikud.

See ei ole lihtsalt matemaatiline mäng, mida me

mängime, kuigi vahel me langeme sellesse lõksu.

Kuid nad on ka tegelikult kasulikud.

Nad on baaside defineerimiseks kasulikud, sest nendes baasides

on lihtsam leida teisendusmaatrikseid.

Ja nad on rohkem loomulikud koordinaadistikud. Ja

sageli nendes baasides olevate teisendusmaatriksitega on

lihtsam arvutada.

Nii et neil on erilised nimed.

Igat vektorit, mis rahuldab seda siin, nimetatakse

T teisendusele omavektoriks.

Ja λ, kordne, milleks see saab -- see on

omavektoriga seotud omaväärtus.

Ma just tegin näite, kus teisendus

pöörleb ümber selle joone, vektor 1, 2 (v1) on

meie teisenduse omavektor.

Nii et 1, 2 on omavektor.

Ja sellele vastav omaväärtus on 1.

See on ka omavektor--

vektor 2, -1.

Ta on ka omavektor.

Väga peen sõna, kuid see tähendab lihtsalt vektorit, mis on

teisendusega suurendatud.

See ei muutu mingis muus mõttes, peale

suurenemisteguri.

Ja selle vastav omaväärtus on -1.

Kui see teisendus-- ma ei tea, mis selle

teisendusmaatriks on.

Ma unustasin, mis see oli.

Me tegelikult mõtlesime selle mõnda aega tagasi välja.

Kui seda teisendusmaatriksit saab esindada maatriksi

vektori korrutisena-- ja see peaks olema, see on lineaarne

teisendus-- siis iga v, mis rahuldab

teisendust-- ma ütlen, et v teisendus on võrdne

λv-ga, mis oleks ka-- tead küll,

[? v ?] teisendus

oleks lihtsalt A ja v korrutis.

Neid nimetatakse ka A omavektoriteks, sest A

on lihtsalt teisenduse maatriks-

esindus.

Sellel juhul oleks see A omavektor ja see

oleks omavektoriga seotud

omaväärtus.

Kui sa annad mulle maatriksi, mis esindab mingit lineaarset

teisendust.

Sa saad välja mõelda ka neid asju.

Järgmises videos hakkame me mõtlema,

kuidas neid välja nuputada.

Aga asi, mida ma tahan, et sa väärtustaksid selles videos on see,

et on lihtne öelda, et vektorid

ei muutugi nii palju.

Aga ma tahan, et sa mõistaksid mida see tähendab.

See sõna-sõnalt lihtsalt suurendatakse või võib-olla nad pööratakse ümber.

Nende suund või joon, mida nad pikendavad

põhiliselt ei muutu.

Ja põhjus, miks nad meile huvi pakuvad, või noh,

üks põhjustest, miks nad meile huvitavad on, on see et

nad on huvitavad baasvektorid-- baasvektorid,

mille teisendusmaatriksid on arvutuslikult

lihtsamad või need, mis on paremad koordinaadistikeks.