ความน่าจะเป็นแบบไม่อิสระเบื้องต้น

การตัดสินใจว่าคุณจะเล่นเกมในคาสิโนประหลาดหรือไม่

ลองจินตนาการว่าเราอยู่ในคาสิโนประหลาด

ที่มีเกมประหลาดมาก

และคุณเดินเข้าไปที่โต๊ะ, และบนโต๊ะนั้น

มันมีถุงเปล่าอยู่

แล้วก็มีคนเดินมาที่โต๊ะแล้วบอกว่า "ดูนะ, ผมมีลูกหินตรงนี้,

ลูกหินสีเขียว 3 ลูก, ลูกหินสีส้ม 2 ลูก, และผมจะใส่มันลงในถุง

และเขาก็ใส่ลงไปในถุงเปล่านั้น

เพื่อให้คุณเห็นว่ามันมีลูกหินสีเขียว 3 ลูก และลูกหินสีส้ม 2 ลูกจริงๆ

แล้วเขาบอกว่า "เกมที่ผมอยากให้คุณเล่น, หรือถ้าคุณเลือกเล่น,

คุณจะต้องหันไป, แล้วเอามือล้วงถุงนี้

ถุงนี้ไม่ได้โปร่งใส

จับลูกหิน, ลูกหินทุกลูกเหมือนกันหมด

ถ้าคุณหยิบลูกสีเขียวขึ้นมา 2 ลูกได้

ถ้าคุณหยิบลูกสีเขียวขึ้นมาลูกหนึ่ง มันออกมาเป็นสีเขียว คุณวางไว้

บนโต๊ะแล้วใส่มือกลับเข้าไปในถุง

แล้วหินลูกหินอีกลูกหนึ่ง, และถ้ามันเป็นสีเขียวด้วย

คุณจะได้เงินรางวัล

คุณจะได้เงิน 1 ดอลล่าร์ถ้าคุณได้สีเขียว 2 ลูก

คุณก็บอกว่า "มันฟังดูน่าสนใจดีนี่,

ฉันต้องจ่ายเงินเพื่อเล่นเท่าไหร่?"

แล้วคนคนนั้นบอกคุณว่า 35 เซนต์ต่อเกม

แน่นอนว่า, มันเป็นคาสิโนที่ไม่ค่อยเสี่ยงเท่าไหร่

คำถามให้คุณคือว่า คุณจะเล่นเกมนี้หรือเปล่า?

คุณก็รู้, อย่านับเอาความสนุกเข้าไปเกี่ยว

คิดแค่เรื่องเงิน, ว่ามันคุ้มไหมที่คุณจะเล่นเกมนี้?

ทีนี้ลองคิดถึงความน่าจะเป็นสักหน่อย

อย่างแรกเลย, ความน่าจะเป็นที่จะหยิบลูกหินลูกแรกได้เป็นสีเขียวนั้น เป็นเท่าไหร่?

ความน่าจะเป็นที่ลูกหินลูกแรกเป็นสีเขียว เป็นเท่าไหร่?

ที่จริง, ขอผมเขียน เขียวอันแรก

ความน่าจะเป็นที่ได้เขียวอันแรก

ทีนี้, ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด

มันมีลูกหินอยู่ 5 ลูกมีโอกาสเกิดขึ้นเท่าๆ กัน

มันมีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ 5 อย่าง

3 อันนั้นตรงตามเหตุการณ์ของเรา ว่า อันแรกเป็นสีเขียว

มันมีความน่าจะเป็น 3 ใน 5 ที่ลูกแรกเป็นสีเขียว

คุณจึงมีโอกาส 3 ใน 5

โอกาส 3 ใน 5, ผมควรบอกว่า

หลังจากที่หยิบครั้งแรกแล้ว คุณยังอยู่ในเกม

ทีนี้, สิ่งที่เราสนใจจริงๆ คือความน่าจะเป็นที่จะชนะเกมนี้

คุณอยากได้ลูกแรกเป็นสีเขียว, และลูกที่สองเป็นสีเขียว

ทีนี้ลองคิดสักหน่อย ว่าความน่าจะเป็น

ที่ลูกแรกเป็นสีเขียว

ผมจะเขียน "g" แทนสีเขียว (green)

และลูกที่สองเป็นสีเขียว

ทีนี้, คุณอาจบอกว่า

"ลูกที่สองเป็นสีเขียวก็มีความน่าจะเป็นเท่ากัน

มันคือ 3 ใน 5 ผมก็แค่คูณ 3 ส่วน 5 กับ 3 ส่วน 5

แล้วผมจะได้ 9 ส่วน 25

ดูเป็นเรื่องตรงไปตรงมาดีนี่"

แต่สังเกตตรงนี้ว่า คุณทำอะไรกับลูกหินสีเขียวลูกแรก

คุณไม่ได้เอาลูกสีเขียวลูกแรกออกมา, ดู, แล้วใส่กลับเข้าไปในถุง

ทีนี้เมื่อคุณเลือกลูกที่สอง, จำนวนลูกสีเขียวที่อยู่ในถุง

ขึ้นอยู่กับว่าคุณหยิบได้อะไรในครั้งแรก

จำไว้, เราเอาลูกหินออกมา

ถ้ามันเป็นลูกหินสีเขียว หรือสีอะไรก็ช่าง

ไม่ว่าสีอะไรหลังจากหยิบแล้ว, เราเอามันออกมาไว้บนโต๊ะ

เราไม่ได้ใส่กลับ, เราไม่ได้ใส่กลับลงไปตรงนี้

มันไม่ใช่เหตุการณ์ที่อิสระจากกัน

ขอผมพูดให้ชัด, ไม่อิสระจากกัน

กล่าวให้ชัดคือว่า, การหยิบครั้งที่สอง ขึ้นอยู่กับการหยิบครั้งแรก

ขึ้นอยู่กับการหยิบครั้งแรก

ถ้าการหยิบครั้งแรกได้สีเขียว, แล้วคุณจะไม่มีลูกหินสีเขียวในถุง 5 ลูกอีก

ถ้าครั้งแรกได้สีเขียว, คุณจะเหลือลูกหินสีเขียว 2 ลูกจาก 4 ลูกในถุง

วิธีที่เราบอกคือว่า ความน่าจะเป็นที่ทั้งสองอย่างเกิดขึ้น

ใช่แล้ว, มันคือความน่าจะเป็นที่ลูกแรกเป็นสีเขียว

คูณ, ทีนี้ นี่คือแนวคิดใหม่, ความน่าจะเป็นที่ลูกที่สองเป็นสีเขียว

เมื่อ, มีเส้นเล็กๆ ตรงนี้

ลากขึ้นตรงๆ, เป็นเส้นตั้งหมายความว่า เมื่อ

เมื่อ, นี่คือ เมื่อ

เมื่อลูกแรกเป็นสีเขียว

ทีนี้ความน่าจะเป็นที่ลูกที่สองเป็นสีเขียว เมื่อลูกหินลูกแรกเป็นสีเขียวนั้น เป็นเท่าไหร่?

เราจะวาดภาพกรณีนี้ตรงนี้

ถ้าลูกแรกเป็นสีเขียว มันมีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้แค่ 4 อย่าง

ไม่ใช่ 5 อีกต่อไป

และสองอย่างในนั้นเป็นไปตามเงื่อนไข

สองอย่างนั้นเป็นไปตามเงื่อนไข

แล้วความน่าจะเป็นที่ลูกแรกเป็นสีเขียว และลูกที่สองเป็นสีเขียว

จะเท่ากับความน่าจะเป็นที่ลูกแรกเป็นสีเขียว

มันจะเป็น 3 ใน 5

คูณความน่าจะเป็นที่ลูกที่สองเป็นสีเขียว เมื่อลูกแรกเป็นสีเขียว

ทีนี้คุณมีลูกหินน้อยลง 1 ลูกในถุง และเราถือว่าลูกแรกเป็นสีเขียว

คุณจึงมีลูกหินสีเขียวเหลือแค่ 2 ลูก

แล้วความน่าจะเป็นทั้งหมดที่เราได้เป็นเท่าไหร่?

ลองดู 3 ส่วน 5 คูณ 2 ส่วน 4

ทีนี้ 2 ส่วน 4 ก็เหมือนกับ 1 ส่วน 2

นี่จะเท่ากับ 3 ส่วน 5 คูณครึ่ง

ซึ่งเท่ากับ 3 ใน 10

หรือเราอาจเขียนว่า 0.30

หรือเราบอกได้ว่า มีโอกาส 30 เปอร์เซ็นต์

ที่จะได้ลูกหินสีเขียวสองลูก เมื่อเราไม่ใส่คืน

จากข้อมูลนั้น, ขอผมถามคำถามคุณอีกทีว่า

คุณควรเล่นเกมนี้ไหม?

ทีนี้ ถ้าคุณเล่นเกมนี้หลายๆๆๆ ครั้ง

โดยเฉลี่ยแล้ว, คุณจะมีโอกาส 30 เปอร์เซ็นต์

ที่จะได้รางวัล 1 ดอลลาร์

และเรายังไม่ได้พูดถึงเรื่องนี้,

แต่ค่าคาดหวังจะเท่ากับ

30 เปอร์เซ็นต์คูณ 1 ดอลลาร์

นี่เป็นการเกริ่นนำนิดหน่อย

มันก็คือ 30 เซนต์

โอกาส 30 เปอร์เซ็นต์ที่จะได้รางวัล 1 ดอลลาร์

คุณจะคาดหวังว่า, โดยเฉลี่ยแล้ว,

ถ้าคุณเล่นเกมนี้ หลายๆๆ ครั้ง

เกมนี้จะให้เงินคุณ 30 เซ็นต์

ทีนี้, คุณจะยอมจ่ายเงิน

35 เซ็นต์เพื่อให้ได้เงินคืนโดยเฉลี่ย 30 เซ็นต์หรือเปล่า?

ไม่! คุณไม่อยากเล่นเกมนี้แน่ๆ

ทีนี้, ผมจะให้คุณลองคิดอย่างหนึ่งคือว่า

คุณจะอยากเล่นเกมนี้ไหม

ถ้าคุณสามารถใส่ลูกหินสีเขียวที่หยิบมาในตอนแรก

หลังจากหยิบครั้งแรกแล้ว ถ้าคุณใส่ลูกหินสีเขียวกลับเข้าไปได้

คุณจะอยากเล่นเกมในกรณีนั้นหรือเปล่า?