< Return to Video

Area of a Regular Hexagon

  • 0:00 - 0:05
    我們知道這個由ABCDEF連接成的圖形是正六邊形
  • 0:05 - 0:08
    而且這個標準的定義明確地告訴我們
  • 0:08 - 0:10
    我們要解決的是六條邊的問題 你可以簡單地計算
  • 0:10 - 0:12
    你沒有必要被告知這是一個六邊形
  • 0:12 - 0:15
    但是這個標準的定義讓我們知道所有的邊
  • 0:15 - 0:17
    所有的六條邊都有一樣的長度
  • 0:17 - 0:20
    而且所有的六個內角都是一樣大小
  • 0:20 - 0:21
    已經足夠明確了
  • 0:22 - 0:24
    若是我們得知其中一條邊的長度
  • 0:24 - 0:25
    由於這是一個正六邊形
  • 0:25 - 0:27
    我們可以得到所有六條邊的長度
  • 0:27 - 0:29
    比如說其中一條邊是2√3
  • 0:29 - 0:31
    那麽我現在所指這條邊一樣也是2√3
  • 0:31 - 0:33
    同時這條邊還是2√3
  • 0:33 - 0:34
    而且我還能告訴繞著這個六邊形
  • 0:34 - 0:36
    每一條邊都是2√3
  • 0:36 - 0:39
    如果我們要去求這個六邊形的面積
  • 0:39 - 0:42
    即找到ABCDEF這個圖形的面積
  • 0:42 - 0:45
    求正多邊形面積最好的方法
  • 0:45 - 0:47
    是嘗試把這個正多邊形分解成多個三角形
  • 0:47 - 0:48
    六邊形是一種有點特殊的圖形
  • 0:48 - 0:50
    也許在以後的影片中
  • 0:50 - 0:52
    我們會考慮更普遍的各種多邊形的例子
  • 0:52 - 0:55
    在處理六邊形的問題中你能采取的方法是
  • 0:55 - 0:59
    如果我們在這裡標出這個點就讓我們定義這個點爲點G
  • 0:59 - 1:02
    現在我們可以說這個點是六邊形的中心
  • 1:02 - 1:04
    而且當我談論六邊形的中心的時候
  • 1:04 - 1:06
    我要說的是這個點不是等距離的
  • 1:06 - 1:09
    從這裡到六邊形的各個位置因爲這不是一個圓
  • 1:09 - 1:11
    但是我們可以說從這個點到各個頂點是等距離的
  • 1:11 - 1:15
    所以GD GC還有GB是一樣長的
  • 1:15 - 1:18
    同時GA和GF同上述都是等長的
  • 1:18 - 1:20
    而且GE也是等長的
  • 1:20 - 1:22
    所以我要畫一些剛才我所談論到的
  • 1:22 - 1:23
    這是GE
  • 1:23 - 1:25
    這裡是GD
  • 1:25 - 1:27
    這裡是GC
  • 1:27 - 1:28
    這所有的線都是相等的
  • 1:28 - 1:32
    還有這裡的點G就是中心
  • 1:32 - 1:35
    這個六邊形的中心
  • 1:35 - 1:37
    我們知道這個長度和那個長度是相等的
  • 1:37 - 1:38
    同那個長度也是相等的
  • 1:38 - 1:39
    同時還有那個長度
  • 1:39 - 1:40
    那個長度也是一樣的
  • 1:40 - 1:41
    還有那個長度都是相等的
  • 1:41 - 1:44
    我們也知道如果我們加
  • 1:44 - 1:46
    如果我們沿著圓移動
  • 1:46 - 1:48
    如果我們沿著圓移動像那樣
  • 1:48 - 1:50
    我們就已經移動了360°
  • 1:50 - 1:53
    我們知道這些三角形
  • 1:53 - 1:57
    這些三角形都是相互全等的
  • 1:57 - 1:59
    而且我們能用很多方法去證明它
  • 1:59 - 2:01
    但是最簡單的方法是去看它們有兩條邊
  • 2:01 - 2:04
    它們都有這條邊並且這條邊是互相全等的
  • 2:04 - 2:07
    因爲點G是中心而且它們都有第三條共同的邊
  • 2:07 - 2:09
    邊長是2√3
  • 2:09 - 2:11
    所以他們全部由於邊邊邊定理它們全部是
  • 2:11 - 2:13
    它們全部是全等的
  • 2:13 - 2:16
    如果它們是全等的
  • 2:16 - 2:19
    那麽這個角在這裡的這個內角
  • 2:19 - 2:20
    將會是相等的
  • 2:20 - 2:24
    這個將會是同樣的對於全部的六個
  • 2:24 - 2:27
    在這裡的全部的六個三角形
  • 2:27 - 2:28
    也許我們標記這個爲X
  • 2:28 - 2:32
    那是X 那是X 那是X 那是X 那是X 那是x
  • 2:32 - 2:35
    而且如果你將它們全部相加我們已經繞著這個圓
  • 2:35 - 2:38
    我們已經通過了360°而且我們有六個X
  • 2:38 - 2:42
    所以得到了六個X等於360°
  • 2:42 - 2:45
    你將等式的兩邊都除以6那麽你得到了X等於
  • 2:45 - 2:47
    X等於60°
  • 2:47 - 2:49
    X等於60°
  • 2:49 - 2:51
    所有的這些都是60°
  • 2:51 - 2:53
    現在這裡有些有趣的性質
  • 2:53 - 2:54
    我們知道這些三角形
  • 2:54 - 2:56
    舉個例子比如說三角形GBC
  • 2:56 - 2:58
    我們能應用到這六個三角形中的任何一個
  • 2:58 - 3:00
    這看起來有點小題大做了
  • 3:00 - 3:02
    但是我們知道它們確實是等腰三角形
  • 3:02 - 3:05
    因爲這個距離是等於這個距離的
  • 3:05 - 3:08
    所以我們能夠利用這條件去找到
  • 3:08 - 3:10
    去找到其他的角度的大小
  • 3:10 - 3:11
    因爲這兩個底角
  • 3:11 - 3:13
    它是等腰三角形而且這兩腰是相等的
  • 3:13 - 3:15
    同樣兩個底角也是相等的
  • 3:15 - 3:17
    這個角與另一個角是全等的
  • 3:17 - 3:19
    我們將那裏的角標爲Y
  • 3:19 - 3:26
    所以你可以有Y+Y 即 2Y+60°再加60°
  • 3:26 - 3:28
    將會等於180°
  • 3:28 - 3:30
    因爲任意三角形的內角
  • 3:30 - 3:32
    相加都是180°
  • 3:32 - 3:34
    然後從等式的兩邊都減去60°
  • 3:34 - 3:36
    你得到2Y是等於120°
  • 3:36 - 3:40
    等式的兩邊都除以2你得到Y等於60°
  • 3:40 - 3:42
    現在這很有趣
  • 3:42 - 3:44
    我可以不用去研究這些三角形
  • 3:44 - 3:46
    就知道這些三角形都是60°-60°-60°三角形
  • 3:46 - 3:49
    借由我們早已證明的結論
  • 3:49 - 3:51
    當我們第一次開始學習等邊三角形的時候
  • 3:51 - 3:56
    我們知道等邊三角形的內角都是60°
  • 3:56 - 3:57
    對於等邊三角形來說
  • 3:58 - 4:00
    所有的邊都是相等的
  • 4:00 - 4:02
    所以這是2√3
  • 4:02 - 4:05
    而且像這樣這也是2√3
  • 4:05 - 4:06
    還有這裡也是2√3
  • 4:06 - 4:09
    所以幾乎所有的這些綠色的線都是2√3
  • 4:09 - 4:11
    我已經知道因爲它是一個正六邊形
  • 4:11 - 4:13
    這道出了所有
  • 4:13 - 4:16
    這六邊形的每一條邊也是2√3
  • 4:16 - 4:19
    所以我們本來就能利用這些條件
  • 4:19 - 4:22
    我們用這些條件去找到
  • 4:22 - 4:24
    實際上我們不必真的去找到這個部分
  • 4:24 - 4:25
    我等會兒會向你們展示
  • 4:25 - 4:27
    先找到這些三角形中任何一個的面積
  • 4:27 - 4:29
    然後我們只需要將這個面積乘以6
  • 4:29 - 4:32
    專注在這裡的三角形
  • 4:32 - 4:34
    思考我們怎麽找到它的面積
  • 4:34 - 4:37
    我們知道DC的長度是2√3
  • 4:37 - 4:39
    我們能畫一條高在這裡
  • 4:39 - 4:42
    我們畫一條高像這樣
  • 4:42 - 4:45
    然後如果我們畫一條高
  • 4:45 - 4:46
    我們知道這是
  • 4:46 - 4:48
    我們知道這是一個等邊三角形
  • 4:48 - 4:51
    而且我們能非常簡單地證明
  • 4:51 - 4:53
    這兩個三角形是對稱的
  • 4:53 - 4:54
    它們都是90°
  • 4:54 - 4:56
    我們已經這兩個角是60°
  • 4:56 - 4:58
    然後你只需要
  • 4:58 - 5:01
    如果你關注到這兩個獨立三角形的任何一個
  • 5:01 - 5:03
    你會說它們需要加到180°
  • 5:03 - 5:06
    所以這應該是30°這應該是30°
  • 5:06 - 5:08
    所有的這些角都是相等的
  • 5:08 - 5:10
    它們還有一條公共邊
  • 5:10 - 5:11
    所以這兩個是全等三角形
  • 5:11 - 5:14
    所以如果我們想要得到這部分的面積
  • 5:14 - 5:17
    在這裡的一片派的面積
  • 5:17 - 5:21
    我們只需要找到這片的面積或者先找到這小片
  • 5:21 - 5:22
    在將這小片的面積乘以2
  • 5:22 - 5:24
    或者我們直接找到這個面積再乘以12
  • 5:24 - 5:26
    爲了得到整個六邊形的面積
  • 5:26 - 5:28
    所以我們怎麽找到這個的面積
  • 5:28 - 5:31
    這將是底邊的一半
  • 5:31 - 5:35
    所以在這裡的長度讓我標記爲點H
  • 5:35 - 5:37
    DH的長度是√3
  • 5:37 - 5:40
    然後我們是或者我們慶幸地意識到
  • 5:40 - 5:42
    這是一個30°-60°-90°的三角形
  • 5:42 - 5:43
    讓我在這裡畫出來
  • 5:43 - 5:49
    所以這是一個30°-60°-90°的三角形
  • 5:49 - 5:52
    我們知道這長度是√3
  • 5:52 - 5:55
    我們知道而且我們已經計算過它了
  • 5:55 - 5:58
    這是2√3 然而我們並不真的需要它
  • 5:58 - 6:00
    我們真正需要找到的是這條高
  • 6:00 - 6:03
    從這個30°-60°-90°的三角形中找到
  • 6:03 - 6:08
    我們知道60°角的對邊是√3
  • 6:08 - 6:09
    是√3
  • 6:09 - 6:11
    乘以30°角的對邊
  • 6:11 - 6:14
    所以這也是√3
  • 6:14 - 6:16
    乘以√3
  • 6:16 - 6:18
    再乘以√3
  • 6:18 - 6:20
    √3乘以√3
  • 6:20 - 6:22
    明顯等於3
  • 6:22 - 6:26
    所以在這裡的這條高等於3
  • 6:26 - 6:30
    如果我們要求的是這個三角形的面積
  • 6:30 - 6:32
    就是在這裡的這個三角形
  • 6:32 - 6:34
    是底乘以高的一半
  • 6:34 - 6:37
    所以這小片的面積
  • 6:37 - 6:39
    就是我們底的一半
  • 6:39 - 6:40
    在這裡的這個底
  • 6:40 - 6:42
    實際上讓我們回頭看看
  • 6:42 - 6:44
    我們甚至沒有必要擔心這件事
  • 6:44 - 6:46
    讓我們直接關注這個較大的三角形
  • 6:46 - 6:49
    所以我倒回去一點
  • 6:49 - 6:51
    因爲現在我們已經得到了整個的底和高
  • 6:51 - 6:57
    如過我們關注我們得關注這個三角形GDC的面積
  • 6:57 - 6:58
    所以現在我將關注
  • 6:58 - 7:02
    現在我關注在這裡的整個三角形
  • 7:02 - 7:06
    這個面積等於底乘以高的一半
  • 7:06 - 7:08
    等於1/2
  • 7:08 - 7:09
    我們的底是多少
  • 7:09 - 7:10
    我們早已經知道我們的底
  • 7:10 - 7:12
    它是我們六邊形的一條邊
  • 7:12 - 7:13
    它是2√3
  • 7:13 - 7:14
    所以在這裡的這個整體
  • 7:14 - 7:17
    所以乘以2√3
  • 7:17 - 7:19
    然後我們想要講這個乘以我們的高
  • 7:19 - 7:22
    而且我們已經利用30°-60°-90°三角形找到了
  • 7:22 - 7:23
    我們的高是3
  • 7:23 - 7:27
    所以乘以3 消去 1/2 和 2
  • 7:27 - 7:30
    我們剩下了3√3
  • 7:30 - 7:33
    這只是這些的小的楔形物中一個的面積
  • 7:33 - 7:36
    如果我們想要找到整個六邊形的面積
  • 7:36 - 7:38
    我們只需要將我們剛才求得的面積乘以6
  • 7:38 - 7:40
    因爲這裡有六個這樣的三角形
  • 7:40 - 7:46
    所以這將等於6乘以3√3
  • 7:46 - 7:50
    即18√3 我們成功得到了六邊形的面積
Title:
Area of a Regular Hexagon
Description:

Using what we know about triangles to find the area of a regular hexagon
more » « less
Video Language:
English
Duration:
07:51
David Chiu added a translation
xyybobbie added a translation

Chinese, Traditional subtitles

Revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.