我們知道這個由ABCDEF連接成的圖形是正六邊形
而且這個標準的定義明確地告訴我們
我們要解決的是六條邊的問題 你可以簡單地計算
你沒有必要被告知這是一個六邊形
但是這個標準的定義讓我們知道所有的邊
所有的六條邊都有一樣的長度
而且所有的六個內角都是一樣大小
已經足夠明確了
若是我們得知其中一條邊的長度
由於這是一個正六邊形
我們可以得到所有六條邊的長度
比如說其中一條邊是2√3
那麽我現在所指這條邊一樣也是2√3
同時這條邊還是2√3
而且我還能告訴繞著這個六邊形
每一條邊都是2√3
如果我們要去求這個六邊形的面積
即找到ABCDEF這個圖形的面積
求正多邊形面積最好的方法
是嘗試把這個正多邊形分解成多個三角形
六邊形是一種有點特殊的圖形
也許在以後的影片中
我們會考慮更普遍的各種多邊形的例子
在處理六邊形的問題中你能采取的方法是
如果我們在這裡標出這個點就讓我們定義這個點爲點G
現在我們可以說這個點是六邊形的中心
而且當我談論六邊形的中心的時候
我要說的是這個點不是等距離的
從這裡到六邊形的各個位置因爲這不是一個圓
但是我們可以說從這個點到各個頂點是等距離的
所以GD GC還有GB是一樣長的
同時GA和GF同上述都是等長的
而且GE也是等長的
所以我要畫一些剛才我所談論到的
這是GE
這裡是GD
這裡是GC
這所有的線都是相等的
還有這裡的點G就是中心
這個六邊形的中心
我們知道這個長度和那個長度是相等的
同那個長度也是相等的
同時還有那個長度
那個長度也是一樣的
還有那個長度都是相等的
我們也知道如果我們加
如果我們沿著圓移動
如果我們沿著圓移動像那樣
我們就已經移動了360°
我們知道這些三角形
這些三角形都是相互全等的
而且我們能用很多方法去證明它
但是最簡單的方法是去看它們有兩條邊
它們都有這條邊並且這條邊是互相全等的
因爲點G是中心而且它們都有第三條共同的邊
邊長是2√3
所以他們全部由於邊邊邊定理它們全部是
它們全部是全等的
如果它們是全等的
那麽這個角在這裡的這個內角
將會是相等的
這個將會是同樣的對於全部的六個
在這裡的全部的六個三角形
也許我們標記這個爲X
那是X 那是X 那是X 那是X 那是X 那是x
而且如果你將它們全部相加我們已經繞著這個圓
我們已經通過了360°而且我們有六個X
所以得到了六個X等於360°
你將等式的兩邊都除以6那麽你得到了X等於
X等於60°
所有的這些都是60°
現在這裡有些有趣的性質
我們知道這些三角形
舉個例子比如說三角形GBC
我們能應用到這六個三角形中的任何一個
這看起來有點小題大做了
但是我們知道它們確實是等腰三角形
因爲這個距離是等於這個距離的
所以我們能夠利用這條件去找到
去找到其他的角度的大小
因爲這兩個底角
它是等腰三角形而且這兩腰是相等的
同樣兩個底角也是相等的
這個角與另一個角是全等的
我們將那裏的角標爲Y
所以你可以有Y+Y 即 2Y+60°再加60°
將會等於180°
因爲任意三角形的內角
相加都是180°
然後從等式的兩邊都減去60°
你得到2Y是等於120°
等式的兩邊都除以2你得到Y等於60°
現在這很有趣
我可以不用去研究這些三角形
就知道這些三角形都是60°-60°-60°三角形
借由我們早已證明的結論
當我們第一次開始學習等邊三角形的時候
我們知道等邊三角形的內角都是60°
對於等邊三角形來說
所有的邊都是相等的
所以這是2√3
而且像這樣這也是2√3
還有這裡也是2√3
所以幾乎所有的這些綠色的線都是2√3
我已經知道因爲它是一個正六邊形
這道出了所有
這六邊形的每一條邊也是2√3
所以我們本來就能利用這些條件
我們用這些條件去找到
實際上我們不必真的去找到這個部分
我等會兒會向你們展示
先找到這些三角形中任何一個的面積
然後我們只需要將這個面積乘以6
專注在這裡的三角形
思考我們怎麽找到它的面積
我們知道DC的長度是2√3
我們能畫一條高在這裡
我們畫一條高像這樣
然後如果我們畫一條高
我們知道這是
我們知道這是一個等邊三角形
而且我們能非常簡單地證明
這兩個三角形是對稱的
它們都是90°
我們已經這兩個角是60°
然後你只需要
如果你關注到這兩個獨立三角形的任何一個
你會說它們需要加到180°
所以這應該是30°這應該是30°
所有的這些角都是相等的
它們還有一條公共邊
所以這兩個是全等三角形
所以如果我們想要得到這部分的面積
在這裡的一片派的面積
我們只需要找到這片的面積或者先找到這小片
在將這小片的面積乘以2
或者我們直接找到這個面積再乘以12
爲了得到整個六邊形的面積
所以我們怎麽找到這個的面積
這將是底邊的一半
所以在這裡的長度讓我標記爲點H
DH的長度是√3
然後我們是或者我們慶幸地意識到
這是一個30°-60°-90°的三角形
讓我在這裡畫出來
所以這是一個30°-60°-90°的三角形
我們知道這長度是√3
我們知道而且我們已經計算過它了
這是2√3 然而我們並不真的需要它
我們真正需要找到的是這條高
從這個30°-60°-90°的三角形中找到
我們知道60°角的對邊是√3
是√3
乘以30°角的對邊
所以這也是√3
乘以√3
再乘以√3
√3乘以√3
明顯等於3
所以在這裡的這條高等於3
如果我們要求的是這個三角形的面積
就是在這裡的這個三角形
是底乘以高的一半
所以這小片的面積
就是我們底的一半
在這裡的這個底
實際上讓我們回頭看看
我們甚至沒有必要擔心這件事
讓我們直接關注這個較大的三角形
所以我倒回去一點
因爲現在我們已經得到了整個的底和高
如過我們關注我們得關注這個三角形GDC的面積
所以現在我將關注
現在我關注在這裡的整個三角形
這個面積等於底乘以高的一半
等於1/2
我們的底是多少
我們早已經知道我們的底
它是我們六邊形的一條邊
它是2√3
所以在這裡的這個整體
所以乘以2√3
然後我們想要講這個乘以我們的高
而且我們已經利用30°-60°-90°三角形找到了
我們的高是3
所以乘以3 消去 1/2 和 2
我們剩下了3√3
這只是這些的小的楔形物中一個的面積
如果我們想要找到整個六邊形的面積
我們只需要將我們剛才求得的面積乘以6
因爲這裡有六個這樣的三角形
所以這將等於6乘以3√3
即18√3 我們成功得到了六邊形的面積