1
00:00:00,000 --> 00:00:05,060
我們知道這個由ABCDEF連接成的圖形是正六邊形

2
00:00:05,070 --> 00:00:07,870
而且這個標準的定義明確地告訴我們

3
00:00:07,880 --> 00:00:10,150
我們要解決的是六條邊的問題 你可以簡單地計算

4
00:00:10,160 --> 00:00:11,940
你沒有必要被告知這是一個六邊形

5
00:00:11,950 --> 00:00:14,740
但是這個標準的定義讓我們知道所有的邊

6
00:00:14,750 --> 00:00:16,840
所有的六條邊都有一樣的長度

7
00:00:16,850 --> 00:00:20,390
而且所有的六個內角都是一樣大小

8
00:00:20,400 --> 00:00:21,490
已經足夠明確了

9
00:00:21,500 --> 00:00:23,570
若是我們得知其中一條邊的長度

10
00:00:23,580 --> 00:00:25,030
由於這是一個正六邊形

11
00:00:25,040 --> 00:00:26,770
我們可以得到所有六條邊的長度

12
00:00:26,780 --> 00:00:28,590
比如說其中一條邊是2√3

13
00:00:28,600 --> 00:00:31,450
那麽我現在所指這條邊一樣也是2√3

14
00:00:31,460 --> 00:00:33,010
同時這條邊還是2√3

15
00:00:33,020 --> 00:00:34,300
而且我還能告訴繞著這個六邊形

16
00:00:34,310 --> 00:00:36,270
每一條邊都是2√3

17
00:00:36,280 --> 00:00:39,110
如果我們要去求這個六邊形的面積

18
00:00:39,120 --> 00:00:41,590
即找到ABCDEF這個圖形的面積

19
00:00:41,600 --> 00:00:45,120
求正多邊形面積最好的方法

20
00:00:45,130 --> 00:00:46,680
是嘗試把這個正多邊形分解成多個三角形

21
00:00:46,690 --> 00:00:48,450
六邊形是一種有點特殊的圖形

22
00:00:48,460 --> 00:00:50,160
也許在以後的影片中

23
00:00:50,170 --> 00:00:52,230
我們會考慮更普遍的各種多邊形的例子

24
00:00:52,240 --> 00:00:54,770
在處理六邊形的問題中你能采取的方法是

25
00:00:54,780 --> 00:00:59,120
如果我們在這裡標出這個點就讓我們定義這個點爲點G

26
00:00:59,130 --> 00:01:01,830
現在我們可以說這個點是六邊形的中心

27
00:01:01,840 --> 00:01:03,750
而且當我談論六邊形的中心的時候

28
00:01:03,760 --> 00:01:06,240
我要說的是這個點不是等距離的

29
00:01:06,250 --> 00:01:08,900
從這裡到六邊形的各個位置因爲這不是一個圓

30
00:01:08,910 --> 00:01:11,390
但是我們可以說從這個點到各個頂點是等距離的

31
00:01:11,400 --> 00:01:14,720
所以GD GC還有GB是一樣長的

32
00:01:14,730 --> 00:01:17,690
同時GA和GF同上述都是等長的

33
00:01:17,700 --> 00:01:19,510
而且GE也是等長的

34
00:01:19,520 --> 00:01:21,820
所以我要畫一些剛才我所談論到的

35
00:01:21,830 --> 00:01:23,280
這是GE

36
00:01:23,290 --> 00:01:25,230
這裡是GD

37
00:01:25,240 --> 00:01:26,950
這裡是GC

38
00:01:26,960 --> 00:01:28,390
這所有的線都是相等的

39
00:01:28,400 --> 00:01:32,000
還有這裡的點G就是中心

40
00:01:32,010 --> 00:01:34,970
這個六邊形的中心

41
00:01:34,980 --> 00:01:36,810
我們知道這個長度和那個長度是相等的

42
00:01:36,820 --> 00:01:38,310
同那個長度也是相等的

43
00:01:38,320 --> 00:01:39,090
同時還有那個長度

44
00:01:39,100 --> 00:01:39,810
那個長度也是一樣的

45
00:01:39,820 --> 00:01:40,760
還有那個長度都是相等的

46
00:01:40,770 --> 00:01:43,770
我們也知道如果我們加

47
00:01:43,780 --> 00:01:45,900
如果我們沿著圓移動

48
00:01:45,910 --> 00:01:48,160
如果我們沿著圓移動像那樣

49
00:01:48,170 --> 00:01:49,810
我們就已經移動了360°

50
00:01:49,820 --> 00:01:52,750
我們知道這些三角形

51
00:01:52,760 --> 00:01:56,640
這些三角形都是相互全等的

52
00:01:56,650 --> 00:01:58,550
而且我們能用很多方法去證明它

53
00:01:58,560 --> 00:02:01,260
但是最簡單的方法是去看它們有兩條邊

54
00:02:01,270 --> 00:02:03,550
它們都有這條邊並且這條邊是互相全等的

55
00:02:03,560 --> 00:02:06,820
因爲點G是中心而且它們都有第三條共同的邊

56
00:02:06,830 --> 00:02:08,680
邊長是2√3

57
00:02:08,690 --> 00:02:11,220
所以他們全部由於邊邊邊定理它們全部是

58
00:02:11,230 --> 00:02:13,310
它們全部是全等的

59
00:02:13,320 --> 00:02:16,240
如果它們是全等的

60
00:02:16,250 --> 00:02:19,350
那麽這個角在這裡的這個內角

61
00:02:19,360 --> 00:02:20,480
將會是相等的

62
00:02:20,490 --> 00:02:23,960
這個將會是同樣的對於全部的六個

63
00:02:23,970 --> 00:02:26,670
在這裡的全部的六個三角形

64
00:02:26,680 --> 00:02:27,840
也許我們標記這個爲X

65
00:02:27,850 --> 00:02:32,220
那是X 那是X 那是X 那是X 那是X 那是x

66
00:02:32,230 --> 00:02:35,020
而且如果你將它們全部相加我們已經繞著這個圓

67
00:02:35,030 --> 00:02:38,020
我們已經通過了360°而且我們有六個X

68
00:02:38,030 --> 00:02:41,540
所以得到了六個X等於360°

69
00:02:41,550 --> 00:02:44,840
你將等式的兩邊都除以6那麽你得到了X等於

70
00:02:44,850 --> 00:02:46,700
X等於60°

71
00:02:46,710 --> 00:02:48,840
X等於60°

72
00:02:48,850 --> 00:02:50,610
所有的這些都是60°

73
00:02:50,620 --> 00:02:52,730
現在這裡有些有趣的性質

74
00:02:52,740 --> 00:02:53,990
我們知道這些三角形

75
00:02:54,000 --> 00:02:55,800
舉個例子比如說三角形GBC

76
00:02:55,810 --> 00:02:58,160
我們能應用到這六個三角形中的任何一個

77
00:02:58,170 --> 00:02:59,790
這看起來有點小題大做了

78
00:02:59,800 --> 00:03:02,350
但是我們知道它們確實是等腰三角形

79
00:03:02,360 --> 00:03:04,810
因爲這個距離是等於這個距離的

80
00:03:04,820 --> 00:03:07,570
所以我們能夠利用這條件去找到

81
00:03:07,580 --> 00:03:09,700
去找到其他的角度的大小

82
00:03:09,710 --> 00:03:11,000
因爲這兩個底角

83
00:03:11,010 --> 00:03:13,420
它是等腰三角形而且這兩腰是相等的

84
00:03:13,430 --> 00:03:14,580
同樣兩個底角也是相等的

85
00:03:14,590 --> 00:03:16,730
這個角與另一個角是全等的

86
00:03:16,740 --> 00:03:19,320
我們將那裏的角標爲Y

87
00:03:19,330 --> 00:03:26,320
所以你可以有Y+Y 即 2Y+60°再加60°

88
00:03:26,330 --> 00:03:28,260
將會等於180°

89
00:03:28,270 --> 00:03:30,240
因爲任意三角形的內角

90
00:03:30,250 --> 00:03:31,550
相加都是180°

91
00:03:31,560 --> 00:03:34,050
然後從等式的兩邊都減去60°

92
00:03:34,060 --> 00:03:36,370
你得到2Y是等於120°

93
00:03:36,380 --> 00:03:40,180
等式的兩邊都除以2你得到Y等於60°

94
00:03:40,190 --> 00:03:42,100
現在這很有趣

95
00:03:42,110 --> 00:03:43,650
我可以不用去研究這些三角形

96
00:03:43,660 --> 00:03:46,180
就知道這些三角形都是60°-60°-60°三角形

97
00:03:46,190 --> 00:03:48,900
借由我們早已證明的結論

98
00:03:48,910 --> 00:03:51,200
當我們第一次開始學習等邊三角形的時候

99
00:03:51,210 --> 00:03:55,620
我們知道等邊三角形的內角都是60°

100
00:03:55,630 --> 00:03:57,490
對於等邊三角形來說

101
00:03:57,500 --> 00:03:59,620
所有的邊都是相等的

102
00:03:59,630 --> 00:04:01,680
所以這是2√3

103
00:04:01,690 --> 00:04:04,740
而且像這樣這也是2√3

104
00:04:04,750 --> 00:04:06,380
還有這裡也是2√3

105
00:04:06,390 --> 00:04:09,240
所以幾乎所有的這些綠色的線都是2√3

106
00:04:09,250 --> 00:04:11,410
我已經知道因爲它是一個正六邊形

107
00:04:11,420 --> 00:04:13,290
這道出了所有

108
00:04:13,300 --> 00:04:15,740
這六邊形的每一條邊也是2√3

109
00:04:15,750 --> 00:04:18,750
所以我們本來就能利用這些條件

110
00:04:18,760 --> 00:04:21,860
我們用這些條件去找到

111
00:04:21,870 --> 00:04:23,950
實際上我們不必真的去找到這個部分

112
00:04:23,960 --> 00:04:25,000
我等會兒會向你們展示

113
00:04:25,010 --> 00:04:27,040
先找到這些三角形中任何一個的面積

114
00:04:27,050 --> 00:04:28,780
然後我們只需要將這個面積乘以6

115
00:04:28,790 --> 00:04:32,450
專注在這裡的三角形

116
00:04:32,460 --> 00:04:34,010
思考我們怎麽找到它的面積

117
00:04:34,020 --> 00:04:36,880
我們知道DC的長度是2√3

118
00:04:36,890 --> 00:04:38,980
我們能畫一條高在這裡

119
00:04:38,990 --> 00:04:42,420
我們畫一條高像這樣

120
00:04:42,430 --> 00:04:44,690
然後如果我們畫一條高

121
00:04:44,700 --> 00:04:45,940
我們知道這是

122
00:04:45,950 --> 00:04:48,230
我們知道這是一個等邊三角形

123
00:04:48,240 --> 00:04:51,230
而且我們能非常簡單地證明

124
00:04:51,240 --> 00:04:52,640
這兩個三角形是對稱的

125
00:04:52,650 --> 00:04:53,850
它們都是90°

126
00:04:53,860 --> 00:04:56,490
我們已經這兩個角是60°

127
00:04:56,500 --> 00:04:58,330
然後你只需要

128
00:04:58,340 --> 00:05:00,840
如果你關注到這兩個獨立三角形的任何一個

129
00:05:00,850 --> 00:05:02,750
你會說它們需要加到180°

130
00:05:02,760 --> 00:05:05,930
所以這應該是30°這應該是30°

131
00:05:05,940 --> 00:05:07,630
所有的這些角都是相等的

132
00:05:07,640 --> 00:05:09,530
它們還有一條公共邊

133
00:05:09,540 --> 00:05:11,080
所以這兩個是全等三角形

134
00:05:11,090 --> 00:05:14,250
所以如果我們想要得到這部分的面積

135
00:05:14,260 --> 00:05:16,990
在這裡的一片派的面積

136
00:05:17,000 --> 00:05:20,930
我們只需要找到這片的面積或者先找到這小片

137
00:05:20,940 --> 00:05:22,230
在將這小片的面積乘以2

138
00:05:22,240 --> 00:05:24,360
或者我們直接找到這個面積再乘以12

139
00:05:24,370 --> 00:05:25,720
爲了得到整個六邊形的面積

140
00:05:25,730 --> 00:05:27,960
所以我們怎麽找到這個的面積

141
00:05:27,970 --> 00:05:31,180
這將是底邊的一半

142
00:05:31,190 --> 00:05:34,950
所以在這裡的長度讓我標記爲點H

143
00:05:34,960 --> 00:05:37,430
DH的長度是√3

144
00:05:37,440 --> 00:05:40,290
然後我們是或者我們慶幸地意識到

145
00:05:40,300 --> 00:05:42,010
這是一個30°-60°-90°的三角形

146
00:05:42,020 --> 00:05:43,190
讓我在這裡畫出來

147
00:05:43,200 --> 00:05:48,920
所以這是一個30°-60°-90°的三角形

148
00:05:48,930 --> 00:05:52,150
我們知道這長度是√3

149
00:05:52,160 --> 00:05:55,010
我們知道而且我們已經計算過它了

150
00:05:55,020 --> 00:05:57,670
這是2√3 然而我們並不真的需要它

151
00:05:57,680 --> 00:06:00,460
我們真正需要找到的是這條高

152
00:06:00,470 --> 00:06:03,330
從這個30°-60°-90°的三角形中找到

153
00:06:03,340 --> 00:06:07,660
我們知道60°角的對邊是√3

154
00:06:07,670 --> 00:06:08,700
是√3

155
00:06:08,710 --> 00:06:10,560
乘以30°角的對邊

156
00:06:10,570 --> 00:06:13,820
所以這也是√3

157
00:06:13,830 --> 00:06:16,200
乘以√3

158
00:06:16,210 --> 00:06:17,610
再乘以√3

159
00:06:17,620 --> 00:06:20,310
√3乘以√3

160
00:06:20,320 --> 00:06:21,830
明顯等於3

161
00:06:21,840 --> 00:06:26,360
所以在這裡的這條高等於3

162
00:06:26,370 --> 00:06:29,660
如果我們要求的是這個三角形的面積

163
00:06:29,670 --> 00:06:32,120
就是在這裡的這個三角形

164
00:06:32,130 --> 00:06:34,270
是底乘以高的一半

165
00:06:34,280 --> 00:06:36,540
所以這小片的面積

166
00:06:36,550 --> 00:06:38,770
就是我們底的一半

167
00:06:38,780 --> 00:06:40,110
在這裡的這個底

168
00:06:40,120 --> 00:06:41,960
實際上讓我們回頭看看

169
00:06:41,970 --> 00:06:43,520
我們甚至沒有必要擔心這件事

170
00:06:43,530 --> 00:06:46,270
讓我們直接關注這個較大的三角形

171
00:06:46,280 --> 00:06:48,960
所以我倒回去一點

172
00:06:48,970 --> 00:06:50,990
因爲現在我們已經得到了整個的底和高

173
00:06:51,000 --> 00:06:56,760
如過我們關注我們得關注這個三角形GDC的面積

174
00:06:56,770 --> 00:06:58,470
所以現在我將關注

175
00:06:58,480 --> 00:07:02,130
現在我關注在這裡的整個三角形

176
00:07:02,140 --> 00:07:05,960
這個面積等於底乘以高的一半

177
00:07:05,970 --> 00:07:07,870
等於1/2

178
00:07:07,880 --> 00:07:08,660
我們的底是多少

179
00:07:08,670 --> 00:07:10,010
我們早已經知道我們的底

180
00:07:10,020 --> 00:07:11,530
它是我們六邊形的一條邊

181
00:07:11,540 --> 00:07:12,930
它是2√3

182
00:07:12,940 --> 00:07:14,140
所以在這裡的這個整體

183
00:07:14,150 --> 00:07:16,940
所以乘以2√3

184
00:07:16,950 --> 00:07:19,250
然後我們想要講這個乘以我們的高

185
00:07:19,260 --> 00:07:21,840
而且我們已經利用30°-60°-90°三角形找到了

186
00:07:21,850 --> 00:07:23,440
我們的高是3

187
00:07:23,450 --> 00:07:27,180
所以乘以3 消去 1/2 和 2

188
00:07:27,190 --> 00:07:30,000
我們剩下了3√3

189
00:07:30,010 --> 00:07:33,310
這只是這些的小的楔形物中一個的面積

190
00:07:33,320 --> 00:07:35,820
如果我們想要找到整個六邊形的面積

191
00:07:35,830 --> 00:07:38,390
我們只需要將我們剛才求得的面積乘以6

192
00:07:38,400 --> 00:07:40,370
因爲這裡有六個這樣的三角形

193
00:07:40,380 --> 00:07:45,680
所以這將等於6乘以3√3

194
00:07:45,690 --> 00:07:49,880
即18√3 我們成功得到了六邊形的面積