Obsah pravidelného šesťuholníka

S použitím toho, čo vieme o trojuholníkoch zisťujeme obsah pravidelného šesťuholníka

Hovoria nám, že A B C D E F je pravidelný šesťuholník.

A tá časť pravidelný nám zrejme hovorí --

To že máme šesť strán nám ani nemuseli hovoriť, dá sa to jednoducho spočítať.

Nemuseli nám hovoriť, že to je šesťuholník.

Ale tá časť pravidelný nám hovorí, že všetky strany,

všetkých šesť strán má rovnakú dĺžku

a všetky vnútorné uhly majú rovnakú veľkosť.

Takže tak.

A potom nám dávajú dĺžku jednej zo strán.

A keďže to pravidelný šesťuholník,

v skutočnosti nám dávajú dĺžky všetkých strán.

Vravia, že je to dvakrát odmocnina z troch.

Takže táto strana tu má dve odmocniny z troch.

Táto strana má dve odmocniny z troch.

A mohol by som ísť dokola okolo celého šesťuholníka,

Každá zo strán má dĺžku dve odmocniny z troch.

Chcú, aby sme zistili obsah tohto šesťuholníka.

Zistiť obsah ABCDEF.

A najlepší spôsob akým sa dá zistiť obsah predovšetkým pravidelných mnohouholníkov,

je pokúsiť sa rozdeliť ich na trojuholníky.

A šesťuholníky sú v tomto tak trochu špeciálny prípad.

Možno v nejakom ďalšom videu

sa zamyslíme nad všeobecným prípadom ľubovoľného mnohouholníka.

So šesťuholníkom môžete rozmýšľať nad tým, že

ak vezmeme tento bod a nazveme ho G.

Povedzme, že je to stred šesťuholníka.

A keď hovorím o strede šesťuholníka,

hovorím o bode, ktorý nemôže byť rovnako vzdialený

od všetkého, lebo toto nie je kruh.

Ale môžeme povedať, že je rovnako vzdialený od všetkých vrcholov.

Takže GD má rovnakú dĺžku ako GC a ako GB,

Čo má rovnakú dĺžku ako GA a aj ako GF

a ako GE.

Takže nakreslím niečo z toho, o čom som práve hovoril.

Takže toto je GE.

Toto je GD.

Toto GC

Všetky tieto čiary sú rovnako dlhé.

Takže tu je bod G, ktorý môžeme nazvať stredom.

Stredom tohto mnohouholníka.

A vieme, že táto dĺžka sa rovná tejto,

a tejto,

aj tejto

a aj tejto,

aj tejto.

Vieme aj , že keď pridáme,

že keď pôjdeme okolo celého kruhu;

ak spravíme plnú otočku,

bude to 360 stupňov.

A vieme, že tieto trojuholníky,

že tieto trojuholníky budú navzájom zhodné

a existuje viacero spôsobov, ako to dokázať.

Ale najjednoduchší spôsob je pozrieť sa, že majú dve strany,

všetky majú túto stranu a túto stranu, ktoré sú navzájom zhodné,

lebo G je v strede a všetky majú túto tretiu rovnakú stranu

dĺžky dve odmocniny z troch.

Takže podľa pravidla strana-strana-strana (SSS) sú všetky

Sú všetky zhodné.

To nám hovorí, že ak sú všetky zhodné,

tak tento uhol, tento vnútorný uhol tu

bude rovnaký.

Bude rovnaký pre všetkých šesť týchto,

pre všetkých šesť trojuholníkov tu.

Mohli by sme ho nazvať X.

Toto je uhol X, toto je X, toto je X, toto je X, toto je X.

A keď ich všetky spočítate, obišli ste celý kruh.

Prešli sme 360 stupňov a máme šesť týchto X.

Takže dostanete šesť X sa rovná 360 stupňov.

Vydelíte obe strany šiestimi, dostanete X sa rovná...

X sa rovná 60 stupňov.

X sa rovná 60 stupňov.

Všetky tieto uhly majú 60 stupňov.

Tu je niečo zaujímavé.

Vieme, že tieto trojuholníky --

napríklad trojuholník GBC

Ale mohli by sme to spraviť pre hociktorý z týchto šiestich trojuholníkov.

Vyzerá to triviálne.

Ale vieme, že určite sú to rovnoramenné trojuholníky.

Že táto vzdialenosť je rovnaká ako táto vzdialenosť.

Túto informáciu vieme použiť na to, aby sme zistili-

Aby sme zistili aké sú ostatné uhly.

Lebo tieto dva uhly pri základni-

je to rovnoramenný trojuholník, obe ramená sú rovnaké

a takisto aj uhly pri základni.

Tento uhol bude rovnaký ako tento,

A môžeme ho nazvať Y.

takže máte Y plus Y, čo je dva Y plus 60 stupňov, plus 60stupňov

sa bude rovnať 180,

lebo súčet vnútorných uhlov hocijakého trojuholníka

dáva spolu 180 stupňov.

Odpočítajte od oboch strán 60,

dostanete 2Y sa rovná 120;

vydeľte obidve strany dvomi, dostanete Y sa rovná 60 stupňov.

A toto je zaujímavé.

Mohol som to spraviť s hociktorým z týchto trojuholníkov.

Všetky sú to 60-60-60 trojuholníky,

čo nám hovorí - to už sme dokazovali skôr,

keď sme začínali skúmať rovnostranné trojuholníky.

Vieme, že ak všetky uhly trojuholníka majú 60 stupňov,

tak potom to je rovnostranný trojuholník!

Čo znamená, že všetky jeho strany majú rovnakú dĺžku.

Takže toto je 2 krát odmocnina z troch,

aj toto, toto je tiež dvakrát odmocnina z troch.

A aj toto je dvakrát odmocnina z troch.

Takže všetky tieto zelené čiary majú dĺžku dvakrát odmocnina z troch.

A to už sme vedeli, lebo to je pravidelný šesťuholník,

že každý--

že každá strana šesťuholníka má dĺžku dvakrát odmocnina z troch.

Takže teraz v podstate môžeme použiť tú informáciu.

Môžeme použiť tú informáciu, aby sme zistili--

To vlastne nemusíme.

O chvíľku vám to ukážem.

Aby sme zistili obsah nejakého z týchto trojuholníkov

a potom ho len vynásobíme šiestimi.

Tak sa zamerajme, zameriam sa na tento trojuholník.

Porozmýšľajme, ako by sme mohli zistiť jeho obsah.

Vieme, že dĺžka DC je dvakrát odmocnina z troch.

Môžeme si sem dokresliť výšku.

Len takto spustíme výšku.

A keď máme výšku,

vieme, že toto je

vieme, že toto je rovnostranný trojuholník

a veľmi ľahko sa dá ukázať,

že tieto dva trojuholníky sú symetrické.

Toto sú oba pravé uhly.

Už viem, že tieto uhly majú oba 60 stupňov.

A potom len,

ak sa pozriete na tieto dva trojuholníky,

poviete si, musia mať súčet uhlov 180 stupňov,

takže toto musí byť 30 stupňov, a aj toto musí byť 30 stupňov.

Všetky uhly sú zhodné.

A navyše majú spoločnú stranu,

takže tieto dva trojuholníky sú zhodné.

takže, ak chceme zistiť obsah tohto širšieho,

tohto kúska koláča tu,

musíme zistiť obsah tohto rezu alebo tejto časti

a potom ho vynásobiť dvomi.

Alebo by sme mohli zistiť len tento obsah a vynásobiť ho dvanástimi

aby sme dostali celý šesťuholník.

Tak ako zistíme obsah tejto veci?

No, bude to polovica dĺžky podstavy,

takže táto dĺžka tu -- tento bod nazveme H.

DH bude mať dĺžku odmocnina z troch.

A už sme zistili, že

toto je trojuholník 30-60-90.

prekreslím si ho sem.

Takže toto je trojuholník 30-60-90.

A vieme, že táto dĺžka je odmocnina z troch.

Vieme, a už sme to aj vypočítali, že

toto je dvakrát odmocnina z troch, ale to vlastne nepotrebujeme.

Čo naozaj potrebujeme, je zistiť túto výšku

A vieme, že v tomto 30-60-90 trojuholníku

má strana oproti 60 stupňovému uhlu dĺžku odmocnina z troch.

Odmocnina z troch

krát strana oproti 30 stupňovému uhlu

Takže toto bude odmocnina z troch.

Krát odmocnina z troch,

krát odmocnina z troch.

Odmocnina z troch krát odmocnina z troch

je očividne 3.

Takže táto výška bude mať dĺžku 3.

Ak chceme obsah tohto trojuholníka,

ktorý je tento trojuholník,

je to len jedna polovica krát základňa krát výška

Takže obsah tohto malého trojuholníčka je

len polovica krát naša základňa;

Táto základňa tu.

Vlastne, radšej sa vráťme.

O toto sa vôbec nemusíme starať.

Poďme priamo k väčšiemu trojuholníku GDC.

Takže sa vráťme kúsok naspäť

Lebo teraz máme základňu a výšku celého trojuholníka.

Ak nás zaujíma, ak nás zaujíma obsah trojuholníka GDC.

Takže, teraz sa pozerám na

pozerám sa na celý tento trojuholník.

To sa rovná polovica krát základňa krát výška,

čo sa rovná jedna polovica

čo je naša základňa?

Základňu už poznáme,

je to jedna zo strán nášho šesťuholníka!

Je to dvakrát odmocnina z troch.

Takže je to celá táto vec.

Takže krát dvakrát odmocnina z troch.

A ešte to chceme vynásobiť našou výškou.

Tú sme zistili s použitím trojuholníka 30-60-90.

Takže naša výška je 3.

Takže krát 3. Jedna polovica a 2 sa vykrátia

a zostane nám trikrát odmocnina z troch.

To je obsah jedného z týchto trojuholníkov tuto.

Keď chceme zistiť obsah celého šesťuholníka,

musíme to ešte vynásobiť šiestimi.

Lebo takých trojuholníkov tu máme 6.

Takže sa to bude rovnať 6 krát 3 odmocniny z troch,

čo je 18 odmocnín z troch a sme hotoví.