1
00:00:00,000 --> 00:00:05,060
Hovoria nám, že A B C D E F je pravidelný šesťuholník.

2
00:00:05,070 --> 00:00:07,870
A tá časť pravidelný nám zrejme hovorí --

3
00:00:07,880 --> 00:00:10,150
To že máme šesť strán nám ani nemuseli hovoriť, dá sa to jednoducho spočítať.

4
00:00:10,160 --> 00:00:11,940
Nemuseli nám hovoriť, že to je šesťuholník.

5
00:00:11,950 --> 00:00:14,740
Ale tá časť pravidelný nám hovorí, že všetky strany,

6
00:00:14,750 --> 00:00:16,840
všetkých šesť strán má rovnakú dĺžku

7
00:00:16,850 --> 00:00:20,390
a všetky vnútorné uhly majú rovnakú veľkosť.

8
00:00:20,400 --> 00:00:21,490
Takže tak.

9
00:00:21,500 --> 00:00:23,570
A potom nám dávajú dĺžku jednej zo strán.

10
00:00:23,580 --> 00:00:25,030
A keďže to pravidelný šesťuholník,

11
00:00:25,040 --> 00:00:26,770
v skutočnosti nám dávajú dĺžky všetkých strán.

12
00:00:26,780 --> 00:00:28,590
Vravia, že je to dvakrát odmocnina z troch.

13
00:00:28,600 --> 00:00:31,450
Takže táto strana tu má dve odmocniny z troch.

14
00:00:31,460 --> 00:00:33,010
Táto strana má dve odmocniny z troch.

15
00:00:33,020 --> 00:00:34,300
A mohol by som ísť dokola okolo celého šesťuholníka,

16
00:00:34,310 --> 00:00:36,270
Každá zo strán má dĺžku dve odmocniny z troch.

17
00:00:36,280 --> 00:00:39,110
Chcú, aby sme zistili obsah tohto šesťuholníka.

18
00:00:39,120 --> 00:00:41,590
Zistiť obsah ABCDEF.

19
00:00:41,600 --> 00:00:45,120
A najlepší spôsob akým sa dá zistiť obsah predovšetkým pravidelných mnohouholníkov,

20
00:00:45,130 --> 00:00:46,680
je pokúsiť sa rozdeliť ich na trojuholníky.

21
00:00:46,690 --> 00:00:48,450
A šesťuholníky sú v tomto tak trochu špeciálny prípad.

22
00:00:48,460 --> 00:00:50,160
Možno v nejakom ďalšom videu

23
00:00:50,170 --> 00:00:52,230
sa zamyslíme nad všeobecným prípadom ľubovoľného mnohouholníka.

24
00:00:52,240 --> 00:00:54,770
So šesťuholníkom môžete rozmýšľať nad tým, že

25
00:00:54,780 --> 00:00:59,120
ak vezmeme tento bod a nazveme ho G.

26
00:00:59,130 --> 00:01:01,830
Povedzme, že je to stred šesťuholníka.

27
00:01:01,840 --> 00:01:03,750
A keď hovorím o strede šesťuholníka,

28
00:01:03,760 --> 00:01:06,240
hovorím o bode, ktorý nemôže byť rovnako vzdialený

29
00:01:06,250 --> 00:01:08,900
od všetkého, lebo toto nie je kruh.

30
00:01:08,910 --> 00:01:11,390
Ale môžeme povedať, že je rovnako vzdialený od všetkých vrcholov.

31
00:01:11,400 --> 00:01:14,720
Takže GD má rovnakú dĺžku ako GC a ako GB,

32
00:01:14,730 --> 00:01:17,690
Čo má rovnakú dĺžku ako GA a aj ako GF

33
00:01:17,700 --> 00:01:19,510
a ako GE.

34
00:01:19,520 --> 00:01:21,820
Takže nakreslím niečo z toho, o čom som práve hovoril.

35
00:01:21,830 --> 00:01:23,280
Takže toto je GE.

36
00:01:23,290 --> 00:01:25,230
Toto je GD.

37
00:01:25,240 --> 00:01:26,950
Toto GC

38
00:01:26,960 --> 00:01:28,390
Všetky tieto čiary sú rovnako dlhé.

39
00:01:28,400 --> 00:01:32,000
Takže tu je bod G, ktorý môžeme nazvať stredom.

40
00:01:32,010 --> 00:01:34,970
Stredom tohto mnohouholníka.

41
00:01:34,980 --> 00:01:36,810
A vieme, že táto dĺžka sa rovná tejto,

42
00:01:36,820 --> 00:01:38,310
a tejto,

43
00:01:38,320 --> 00:01:39,090
aj tejto

44
00:01:39,100 --> 00:01:39,810
a aj tejto,

45
00:01:39,820 --> 00:01:40,760
aj tejto.

46
00:01:40,770 --> 00:01:43,770
Vieme aj , že keď pridáme,

47
00:01:43,780 --> 00:01:45,900
že keď pôjdeme okolo celého kruhu;

48
00:01:45,910 --> 00:01:48,160
ak spravíme plnú otočku,

49
00:01:48,170 --> 00:01:49,810
bude to 360 stupňov.

50
00:01:49,820 --> 00:01:52,750
A vieme, že tieto trojuholníky,

51
00:01:52,760 --> 00:01:56,640
že tieto trojuholníky budú navzájom zhodné

52
00:01:56,650 --> 00:01:58,550
a existuje viacero spôsobov, ako to dokázať.

53
00:01:58,560 --> 00:02:01,260
Ale najjednoduchší spôsob je pozrieť sa, že majú dve strany,

54
00:02:01,270 --> 00:02:03,550
všetky majú túto stranu a túto stranu, ktoré sú navzájom zhodné,

55
00:02:03,560 --> 00:02:06,820
lebo G je v strede a všetky majú túto tretiu rovnakú stranu

56
00:02:06,830 --> 00:02:08,680
dĺžky dve odmocniny z troch.

57
00:02:08,690 --> 00:02:11,220
Takže podľa pravidla strana-strana-strana (SSS) sú všetky

58
00:02:11,230 --> 00:02:13,310
Sú všetky zhodné.

59
00:02:13,320 --> 00:02:16,240
To nám hovorí, že ak sú všetky zhodné,

60
00:02:16,250 --> 00:02:19,350
tak tento uhol, tento vnútorný uhol tu

61
00:02:19,360 --> 00:02:20,480
bude rovnaký.

62
00:02:20,490 --> 00:02:23,960
Bude rovnaký pre všetkých šesť týchto,

63
00:02:23,970 --> 00:02:26,670
pre všetkých šesť trojuholníkov tu.

64
00:02:26,680 --> 00:02:27,840
Mohli by sme ho nazvať X.

65
00:02:27,850 --> 00:02:32,220
Toto je uhol X, toto je X, toto je X, toto je X, toto je X.

66
00:02:32,230 --> 00:02:35,020
A keď ich všetky spočítate, obišli ste celý kruh.

67
00:02:35,030 --> 00:02:38,020
Prešli sme 360 stupňov a máme šesť týchto X.

68
00:02:38,030 --> 00:02:41,540
Takže dostanete šesť X sa rovná 360 stupňov.

69
00:02:41,550 --> 00:02:44,840
Vydelíte obe strany šiestimi, dostanete X sa rovná...

70
00:02:44,850 --> 00:02:46,700
X sa rovná 60 stupňov.

71
00:02:46,710 --> 00:02:48,840
X sa rovná 60 stupňov.

72
00:02:48,850 --> 00:02:50,610
Všetky tieto uhly majú 60 stupňov.

73
00:02:50,620 --> 00:02:52,730
Tu je niečo zaujímavé.

74
00:02:52,740 --> 00:02:53,990
Vieme, že tieto trojuholníky --

75
00:02:54,000 --> 00:02:55,800
napríklad trojuholník GBC

76
00:02:55,810 --> 00:02:58,160
Ale mohli by sme to spraviť pre hociktorý z týchto šiestich trojuholníkov.

77
00:02:58,170 --> 00:02:59,790
Vyzerá to triviálne.

78
00:02:59,800 --> 00:03:02,350
Ale vieme, že určite sú to rovnoramenné trojuholníky.

79
00:03:02,360 --> 00:03:04,810
Že táto vzdialenosť je rovnaká ako táto vzdialenosť.

80
00:03:04,820 --> 00:03:07,570
Túto informáciu vieme použiť na to, aby sme zistili-

81
00:03:07,580 --> 00:03:09,700
Aby sme zistili aké sú ostatné uhly.

82
00:03:09,710 --> 00:03:11,000
Lebo tieto dva uhly pri základni-

83
00:03:11,010 --> 00:03:13,420
je to rovnoramenný trojuholník, obe ramená sú rovnaké

84
00:03:13,430 --> 00:03:14,580
a takisto aj uhly pri základni.

85
00:03:14,590 --> 00:03:16,730
Tento uhol bude rovnaký ako tento,

86
00:03:16,740 --> 00:03:19,320
A môžeme ho nazvať Y.

87
00:03:19,330 --> 00:03:26,320
takže máte Y plus Y, čo je dva Y plus 60 stupňov, plus 60stupňov

88
00:03:26,330 --> 00:03:28,260
sa bude rovnať 180,

89
00:03:28,270 --> 00:03:30,240
lebo súčet vnútorných uhlov hocijakého trojuholníka

90
00:03:30,250 --> 00:03:31,550
dáva spolu 180 stupňov.

91
00:03:31,560 --> 00:03:34,050
Odpočítajte od oboch strán 60,

92
00:03:34,060 --> 00:03:36,370
dostanete 2Y sa rovná 120;

93
00:03:36,380 --> 00:03:40,180
vydeľte obidve strany dvomi, dostanete Y sa rovná 60 stupňov.

94
00:03:40,190 --> 00:03:42,100
A toto je zaujímavé.

95
00:03:42,110 --> 00:03:43,650
Mohol som to spraviť s hociktorým z týchto trojuholníkov.

96
00:03:43,660 --> 00:03:46,180
Všetky sú to 60-60-60 trojuholníky,

97
00:03:46,190 --> 00:03:48,900
čo nám hovorí - to už sme dokazovali skôr,

98
00:03:48,910 --> 00:03:51,200
keď sme začínali skúmať rovnostranné trojuholníky.

99
00:03:51,210 --> 00:03:55,620
Vieme, že ak všetky uhly trojuholníka majú 60 stupňov,

100
00:03:55,630 --> 00:03:57,490
tak potom to je rovnostranný trojuholník!

101
00:03:57,500 --> 00:03:59,620
Čo znamená, že všetky jeho strany majú rovnakú dĺžku.

102
00:03:59,630 --> 00:04:01,680
Takže toto je 2 krát odmocnina z troch,

103
00:04:01,690 --> 00:04:04,740
aj toto, toto je tiež dvakrát odmocnina z troch.

104
00:04:04,750 --> 00:04:06,380
A aj toto je dvakrát odmocnina z troch.

105
00:04:06,390 --> 00:04:09,240
Takže všetky tieto zelené čiary majú dĺžku dvakrát odmocnina z troch.

106
00:04:09,250 --> 00:04:11,410
A to už sme vedeli, lebo to je pravidelný šesťuholník,

107
00:04:11,420 --> 00:04:13,290
že každý--

108
00:04:13,300 --> 00:04:15,740
že každá strana šesťuholníka má dĺžku dvakrát odmocnina z troch.

109
00:04:15,750 --> 00:04:18,750
Takže teraz v podstate môžeme použiť tú informáciu.

110
00:04:18,760 --> 00:04:21,860
Môžeme použiť tú informáciu, aby sme zistili--

111
00:04:21,870 --> 00:04:23,950
To vlastne nemusíme.

112
00:04:23,960 --> 00:04:25,000
O chvíľku vám to ukážem.

113
00:04:25,010 --> 00:04:27,040
Aby sme zistili obsah nejakého z týchto trojuholníkov

114
00:04:27,050 --> 00:04:28,780
a potom ho len vynásobíme šiestimi.

115
00:04:28,790 --> 00:04:32,450
Tak sa zamerajme, zameriam sa na tento trojuholník.

116
00:04:32,460 --> 00:04:34,010
Porozmýšľajme, ako by sme mohli zistiť jeho obsah.

117
00:04:34,020 --> 00:04:36,880
Vieme, že dĺžka DC je dvakrát odmocnina z troch.

118
00:04:36,890 --> 00:04:38,980
Môžeme si sem dokresliť výšku.

119
00:04:38,990 --> 00:04:42,420
Len takto spustíme výšku.

120
00:04:42,430 --> 00:04:44,690
A keď máme výšku,

121
00:04:44,700 --> 00:04:45,940
vieme, že toto je

122
00:04:45,950 --> 00:04:48,230
vieme, že toto je rovnostranný trojuholník

123
00:04:48,240 --> 00:04:51,230
a veľmi ľahko sa dá ukázať,

124
00:04:51,240 --> 00:04:52,640
že tieto dva trojuholníky sú symetrické.

125
00:04:52,650 --> 00:04:53,850
Toto sú oba pravé uhly.

126
00:04:53,860 --> 00:04:56,490
Už viem, že tieto uhly majú oba 60 stupňov.

127
00:04:56,500 --> 00:04:58,330
A potom len,

128
00:04:58,340 --> 00:05:00,840
ak sa pozriete na tieto dva trojuholníky,

129
00:05:00,850 --> 00:05:02,750
poviete si, musia mať súčet uhlov 180 stupňov,

130
00:05:02,760 --> 00:05:05,930
takže toto musí byť 30 stupňov, a aj toto musí byť 30 stupňov.

131
00:05:05,940 --> 00:05:07,630
Všetky uhly sú zhodné.

132
00:05:07,640 --> 00:05:09,530
A navyše majú spoločnú stranu,

133
00:05:09,540 --> 00:05:11,080
takže tieto dva trojuholníky sú zhodné.

134
00:05:11,090 --> 00:05:14,250
takže, ak chceme zistiť obsah tohto širšieho,

135
00:05:14,260 --> 00:05:16,990
tohto kúska koláča tu,

136
00:05:17,000 --> 00:05:20,930
musíme zistiť obsah tohto rezu alebo tejto časti

137
00:05:20,940 --> 00:05:22,230
a potom ho vynásobiť dvomi.

138
00:05:22,240 --> 00:05:24,360
Alebo by sme mohli zistiť len tento obsah a vynásobiť ho dvanástimi

139
00:05:24,370 --> 00:05:25,720
aby sme dostali celý šesťuholník.

140
00:05:25,730 --> 00:05:27,960
Tak ako zistíme obsah tejto veci?

141
00:05:27,970 --> 00:05:31,180
No, bude to polovica dĺžky podstavy,

142
00:05:31,190 --> 00:05:34,950
takže táto dĺžka tu -- tento bod nazveme H.

143
00:05:34,960 --> 00:05:37,430
DH bude mať dĺžku odmocnina z troch.

144
00:05:37,440 --> 00:05:40,290
A už sme zistili, že

145
00:05:40,300 --> 00:05:42,010
toto je trojuholník 30-60-90.

146
00:05:42,020 --> 00:05:43,190
prekreslím si ho sem.

147
00:05:43,200 --> 00:05:48,920
Takže toto je trojuholník 30-60-90.

148
00:05:48,930 --> 00:05:52,150
A vieme, že táto dĺžka je odmocnina z troch.

149
00:05:52,160 --> 00:05:55,010
Vieme, a už sme to aj vypočítali, že

150
00:05:55,020 --> 00:05:57,670
toto je dvakrát odmocnina z troch, ale to vlastne nepotrebujeme.

151
00:05:57,680 --> 00:06:00,460
Čo naozaj potrebujeme, je zistiť túto výšku

152
00:06:00,470 --> 00:06:03,330
A vieme, že v tomto 30-60-90 trojuholníku

153
00:06:03,340 --> 00:06:07,660
má strana oproti 60 stupňovému uhlu dĺžku odmocnina z troch.

154
00:06:07,670 --> 00:06:08,700
Odmocnina z troch

155
00:06:08,710 --> 00:06:10,560
krát strana oproti 30 stupňovému uhlu

156
00:06:10,570 --> 00:06:13,820
Takže toto bude odmocnina z troch.

157
00:06:13,830 --> 00:06:16,200
Krát odmocnina z troch,

158
00:06:16,210 --> 00:06:17,610
krát odmocnina z troch.

159
00:06:17,620 --> 00:06:20,310
Odmocnina z troch krát odmocnina z troch

160
00:06:20,320 --> 00:06:21,830
je očividne 3.

161
00:06:21,840 --> 00:06:26,360
Takže táto výška bude mať dĺžku 3.

162
00:06:26,370 --> 00:06:29,660
Ak chceme obsah tohto trojuholníka,

163
00:06:29,670 --> 00:06:32,120
ktorý je tento trojuholník,

164
00:06:32,130 --> 00:06:34,270
je to len jedna polovica krát základňa krát výška

165
00:06:34,280 --> 00:06:36,540
Takže obsah tohto malého trojuholníčka je

166
00:06:36,550 --> 00:06:38,770
len polovica krát naša základňa;

167
00:06:38,780 --> 00:06:40,110
Táto základňa tu.

168
00:06:40,120 --> 00:06:41,960
Vlastne, radšej sa vráťme.

169
00:06:41,970 --> 00:06:43,520
O toto sa vôbec nemusíme starať.

170
00:06:43,530 --> 00:06:46,270
Poďme priamo k väčšiemu trojuholníku GDC.

171
00:06:46,280 --> 00:06:48,960
Takže sa vráťme kúsok naspäť

172
00:06:48,970 --> 00:06:50,990
Lebo teraz máme základňu a výšku celého trojuholníka.

173
00:06:51,000 --> 00:06:56,760
Ak nás zaujíma, ak nás zaujíma obsah trojuholníka GDC.

174
00:06:56,770 --> 00:06:58,470
Takže, teraz sa pozerám na

175
00:06:58,480 --> 00:07:02,130
pozerám sa na celý tento trojuholník.

176
00:07:02,140 --> 00:07:05,960
To sa rovná polovica krát základňa krát výška,

177
00:07:05,970 --> 00:07:07,870
čo sa rovná jedna polovica

178
00:07:07,880 --> 00:07:08,660
čo je naša základňa?

179
00:07:08,670 --> 00:07:10,010
Základňu už poznáme,

180
00:07:10,020 --> 00:07:11,530
je to jedna zo strán nášho šesťuholníka!

181
00:07:11,540 --> 00:07:12,930
Je to dvakrát odmocnina z troch.

182
00:07:12,940 --> 00:07:14,140
Takže je to celá táto vec.

183
00:07:14,150 --> 00:07:16,940
Takže krát dvakrát odmocnina z troch.

184
00:07:16,950 --> 00:07:19,250
A ešte to chceme vynásobiť našou výškou.

185
00:07:19,260 --> 00:07:21,840
Tú sme zistili s použitím trojuholníka 30-60-90.

186
00:07:21,850 --> 00:07:23,440
Takže naša výška je 3.

187
00:07:23,450 --> 00:07:27,180
Takže krát 3. Jedna polovica a 2 sa vykrátia

188
00:07:27,190 --> 00:07:30,000
a zostane nám trikrát odmocnina z troch.

189
00:07:30,010 --> 00:07:33,310
To je obsah jedného z týchto trojuholníkov tuto.

190
00:07:33,320 --> 00:07:35,820
Keď chceme zistiť obsah celého šesťuholníka,

191
00:07:35,830 --> 00:07:38,390
musíme to ešte vynásobiť šiestimi.

192
00:07:38,400 --> 00:07:40,370
Lebo takých trojuholníkov tu máme 6.

193
00:07:40,380 --> 00:07:45,680
Takže sa to bude rovnať 6 krát 3 odmocniny z troch,

194
00:07:45,690 --> 00:07:49,880
čo je 18 odmocnín z troch a sme hotoví.