-
Vi får vite at ABCDEF er en
regulær sekskant.
-
Og dette betyr: sekskant betyr selvsagt
at vi har å gjøre med seks sider.
-
Og det kan du jo bare telle, du trenger
ikke bli fortalt at det er en sekskant.
-
Men regulær betyr at alle seks sider
har samme lengde,
-
og alle de innvendige vinklene
har samme åpning.
-
Greit nok. Og så får vi vite
lengden på en av sidene,
-
og siden det er en regulær sekskant,
får vi egentlig lengden på alle sidene.
-
Den er 2 kvadratroten av 3. Så denne siden
er 2 kvadratroten av 3,
-
denne siden er 2 kvadratroten av 3,
-
og jeg kan bare gå rundt sekskanten,
alle sidene er 2 kvadratroten av 3.
-
Vi skal finne arealet av sekskanten.
-
Finn arealet til ABCDEF.
-
Og den beste måten å finne arealet
på regulære mangekanter på
-
er å prøve å dele dem inn i trekanter.
-
Sekskanter er et spesialtilfelle,
i fremtidige videoer ser vi kanskje på
-
det mer generelle tilfellet med en
hvilken som helst mangekant.
-
I sekskanten kan vi se på det slik.
-
Vi kaller dette punktet G,
og la oss si det er sentrum i sekskanten.
-
Når jeg sier sentrum i en sekskant,
mener jeg et punkt...
-
det kan ikke være like langt fra alt,
for det er ikke en sirkel,
-
men det er like langt fra alle hjørnene.
-
Så GD er lik GC er lik GB er lik GA
er lik GF er lik GE.
-
La meg tegne noen av de jeg nevnte nå.
-
Der er GE, der er GD, der er GC,
alle disse lengdene blir like.
-
Så det er et punkt G som vi kan kalle
sentrum i denne sekskanten.
-
Og vi vet at denne lengden er lik
denne lengden, som er lik disse lengdene.
-
Vi vet også at hvis vi går hele veien
rundt sirkelen slik,
-
har vi gått 360 grader. Og vi vet at disse
trekantene er kongruente med hverandre.
-
Det er flere måter vi kan vise det på,
-
men det letteste er:
se, de har to sider felles.
-
Disse sidene blir kongruente med hverandre
-
siden G er i sentrum, og alle har
en tredje side felles,
-
som er 2 kvadraroten av 3.
-
Så ved side-side-side er alle kongruente.
-
Det forteller oss at hvis
alle er kongruente,
-
så er denne innvendige vinkelen her
lik for alle disse seks trekantene.
-
Vi kaller den x. Det er vinkel x,
det er x, det er x...
-
Hvis du summerer dem så har vi gått
rundt sirkelen, 360 grader.
-
Og vi har seks av disse x-ene.
Så vi får 6 x er lik 360 grader.
-
Del begge sider på 6, og du får
x er lik 60 grader.
-
Alle disse er lik 60 grader.
-
Nå er det noe interessant. Vi vet at disse
trekantene, for eksempel trekant GBC,
-
og dette kan vi gjøre for alle
disse trekantene,
-
det ser litt ut som en
Trivial Pursuit-brikke.
-
Vi vet at de er likebeinede trekanter.
-
Denne avstanden er lik denne avstanden,
-
så vi kan bruke den informasjonen til å
finne ut hva de andre vinklene er,
-
siden disse to basisvinklene...
-
det er en likebeinet trekant,
to av sidene er like,
-
så de to basisvinklene er også like.
-
Denne vinkelen blir kongruent med
den vinkelen, så vi kan kalle det y.
-
Så du har y pluss y, som er 2 y,
pluss 60 grader, blir lik 180,
-
fordi de innvendige vinklene i
en trekant blir 180 til sammen.
-
Så trekk fra 60 på begge sider,
og du får 2 y er lik 120.
-
Del begge sider på 2,
du får y er lik 60 grader.
-
Dette er interessant.
-
Jeg kunne gjort dette med
alle disse trekantene.
-
Alle disse trekantene er
60-60-60-trekanter,
-
hvilket sier oss, og vi viste dette da vi
først begynte med likesidede trekanter,
-
vi vet at hvis alle vinklene
i en trekant er 60 grader,
-
så har vi en likesidet trekant,
-
hvilket betyr at alle sidene
er like lange.
-
Så hvis, dette er 2 kvadratroten av 3,
så er dette også 2 kvadratroten av 3,
-
og dette. Så alle disse grønne linjene
er 2 kvadratroten av 3,
-
og vi visste allerede, siden det er en
regulær sekskant,
-
at hver side i sekskanten selv er
også 2 kvadratroten av 3.
-
Så nå kan vi bruke den informasjonen
til å finne ut, jeg skal vise dere snart,
-
til å finne arealet til hvilken som helst
av disse trekantene,
-
og så bare gange det med 6.
-
Så la meg se på denne trekanten her,
hvordan kan vi finne dens areal.
-
Vi vet at DC er 2 kvadratroten av 3.
-
Vi kan trekke en høyde ned her, slik,
-
og når vi trekker en høyde, og vi vet
at dette er en likesidet trekant,
-
og vi kan vise veldig lett at disse
trekantene er symmetriske.
-
Begge disse er 90-graders vinkler,
-
vi vet allerede at disse to
er 60-graders vinkler,
-
og hvis du ser på
disse to trekantene uavhengig
-
må du si at det skal bli 180 til sammen,
-
så dette må være 30 grader
og dette må være 30 grader.
-
Alle vinklene er like,
de har også en felles side,
-
så de er kongruente trekanter.
-
Så hvis vi vil finne arealet til denne
bredere trekanten, dette kakestykket,
-
så kan vi finne arealet til dette
mindre stykket, og gange det med 2.
-
Eller vi kan bare finne dette arealet,
og gange det med 12 for hele sekskanten.
-
Så hvordan finner vi arealet på denne?
-
Vel, dette blir
halvparten av grunnlinjelengden,
-
så denne lengden - la meg kalle
dette punktet H -
-
DH blir kvadratroten av 3.
-
Og forhåpentligvis så vi allerede
at dette er en 30-60-90-trekant.
-
La meg tegne den her, dette
er en 30-60-90-trekant.
-
Vi vet at denne lengden er
kvadratoren av 3,
-
vi har allerede regnet ut
at dette er 2 kvadratroten av 3,
-
men vi trenger det egentlig ikke.
-
Det vi egentlig trenger er denne høyden.
-
Og fra 30-60-90-trekanter vet vi
at siden overfor 60-gradersvinkelen
-
er kvadratroten av 3 ganger
siden overfor 30-gradersvinkelen.
-
Så dette blir kvadratoren av 3
ganger kvadratroten av 3.
-
Kvadratroten av 3 ganger
kvadratroten av 3, er selvsagt bare 3.
-
Så denne høyden blir bare 3.
-
Så hvis vi vil ha høyden
på denne trekanten her,
-
som er denne trekanten her,
-
er det bare en halv ganger
grunnlinje ganger høyde.
-
Så arealet på dette lille kakestykket
er bare en halv ganger grunnlinjen her...
-
La oss ta et skritt tilbake,
vi trenger ikke bry oss med dette.
-
La oss gå rett til
den større trekanten GDC.
-
La oss spole litt tilbake, for nå har vi
grunnlinjen og høyden på hele greia.
-
$$Hvis vi vil ha arealet på trekant GDC,
-
$$nå ser jeg på hele denne trekanten her,
-
$$dette er lik en halv ganger
grunnlinje ganger høyde,
-
$$som er lik en halv... hva er grunnlinja?
-
$$Vi vet allerede grunnlinja, det er
en av sidene i sekskanten vår,
-
$$det er 2 kvadratroten av 3.
-
$$Så det er hele greia her,
så ganger 2 kvadratroten av 3.
-
$$Og så vil vi gange det med høyden.
-
$$Og det var den vi fant ut ved å bruke
30-60-90-trekanter. Høyden er 3.
-
$$Så ganger 3. En halv og to strykes ut.
-
$$Vi står igjen med 3 kvadratroten av 3.
-
Det er bare arealet av
ett av disse kakestykkene.
-
Hvis vi vil finne arealer til hele sekskanten
må vi gange det med seks,
-
for det er seks av de trekantene her.
-
Så dette blir lik 6 ganger
3 kvadratroten av 3.
-
Som er 18 kvadratrøtter av 3.
Og vi er ferdige.
