WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:05.060
Vi får vite at ABCDEF er en
regulær sekskant.

00:00:05.070 --> 00:00:09.013
Og dette betyr: sekskant betyr selvsagt
at vi har å gjøre med seks sider.

00:00:09.013 --> 00:00:11.940
Og det kan du jo bare telle, du trenger
ikke bli fortalt at det er en sekskant.

00:00:11.950 --> 00:00:16.791
Men regulær betyr at alle seks sider
har samme lengde,

00:00:16.791 --> 00:00:20.390
og alle de innvendige vinklene
har samme åpning.

00:00:20.400 --> 00:00:23.500
Greit nok. Og så får vi vite
lengden på en av sidene,

00:00:23.500 --> 00:00:26.778
og siden det er en regulær sekskant,
får vi egentlig lengden på alle sidene.

00:00:26.778 --> 00:00:31.190
Den er 2 kvadratroten av 3. Så denne siden
er 2 kvadratroten av 3,

00:00:31.190 --> 00:00:33.100
denne siden er 2 kvadratroten av 3,

00:00:33.100 --> 00:00:36.356
og jeg kan bare gå rundt sekskanten,
alle sidene er 2 kvadratroten av 3.

00:00:36.356 --> 00:00:39.160
Vi skal finne arealet av sekskanten.

00:00:39.160 --> 00:00:42.330
Finn arealet til ABCDEF.

00:00:42.330 --> 00:00:45.340
Og den beste måten å finne arealet
på regulære mangekanter på

00:00:45.340 --> 00:00:46.880
er å prøve å dele dem inn i trekanter.

00:00:46.880 --> 00:00:50.208
Sekskanter er et spesialtilfelle,
i fremtidige videoer ser vi kanskje på

00:00:50.208 --> 00:00:52.770
det mer generelle tilfellet med en
hvilken som helst mangekant.

00:00:52.770 --> 00:00:55.250
I sekskanten kan vi se på det slik.

00:00:55.250 --> 00:01:01.598
Vi kaller dette punktet G,
og la oss si det er sentrum i sekskanten.

00:01:01.598 --> 00:01:04.700
Når jeg sier sentrum i en sekskant,
mener jeg et punkt...

00:01:04.700 --> 00:01:08.750
det kan ikke være like langt fra alt,
for det er ikke en sirkel,

00:01:08.750 --> 00:01:11.610
men det er like langt fra alle hjørnene.

00:01:11.610 --> 00:01:19.230
Så GD er lik GC er lik GB er lik GA
er lik GF er lik GE.

00:01:19.230 --> 00:01:22.070
La meg tegne noen av de jeg nevnte nå.

00:01:22.070 --> 00:01:28.496
Der er GE, der er GD, der er GC,
alle disse lengdene blir like.

00:01:29.275 --> 00:01:34.780
Så det er et punkt G som vi kan kalle
sentrum i denne sekskanten.

00:01:34.780 --> 00:01:40.939
Og vi vet at denne lengden er lik
denne lengden, som er lik disse lengdene.

00:01:40.939 --> 00:01:47.980
Vi vet også at hvis vi går hele veien
rundt sirkelen slik,

00:01:47.980 --> 00:01:56.460
har vi gått 360 grader. Og vi vet at disse
trekantene er kongruente med hverandre.

00:01:56.460 --> 00:01:58.750
Det er flere måter vi kan vise det på,


00:01:58.750 --> 00:02:01.260
men det letteste er:
se, de har to sider felles.

00:02:01.270 --> 00:02:03.550
Disse sidene blir kongruente med hverandre

00:02:03.560 --> 00:02:06.820
siden G er i sentrum, og alle har
en tredje side felles,

00:02:06.830 --> 00:02:08.680
som er 2 kvadraroten av 3.

00:02:08.690 --> 00:02:13.465
Så ved side-side-side er alle kongruente.

00:02:13.465 --> 00:02:16.420
Det forteller oss at hvis
alle er kongruente,

00:02:16.430 --> 00:02:26.123
så er denne innvendige vinkelen her
lik for alle disse seks trekantene.

00:02:26.123 --> 00:02:32.050
Vi kaller den x. Det er vinkel x,
det er x, det er x...

00:02:32.050 --> 00:02:35.020
Hvis du summerer dem så har vi gått
rundt sirkelen, 360 grader.

00:02:35.030 --> 00:02:41.813
Og vi har seks av disse x-ene.
Så vi får 6 x er lik 360 grader.

00:02:41.813 --> 00:02:48.730
Del begge sider på 6, og du får
x er lik 60 grader.

00:02:48.730 --> 00:02:51.130
Alle disse er lik 60 grader.

00:02:51.130 --> 00:02:55.741
Nå er det noe interessant. Vi vet at disse
trekantene, for eksempel trekant GBC,

00:02:55.741 --> 00:02:58.120
og dette kan vi gjøre for alle
disse trekantene,

00:02:58.120 --> 00:02:59.940
det ser litt ut som en
Trivial Pursuit-brikke.

00:02:59.940 --> 00:03:02.520
Vi vet at de er likebeinede trekanter.

00:03:02.520 --> 00:03:04.810
Denne avstanden er lik denne avstanden,


00:03:04.820 --> 00:03:09.620
så vi kan bruke den informasjonen til å
finne ut hva de andre vinklene er,

00:03:09.620 --> 00:03:11.000
siden disse to basisvinklene...

00:03:11.010 --> 00:03:13.420
det er en likebeinet trekant,
to av sidene er like,

00:03:13.430 --> 00:03:14.800
så de to basisvinklene er også like.

00:03:14.800 --> 00:03:19.414
Denne vinkelen blir kongruent med
den vinkelen, så vi kan kalle det y.

00:03:19.414 --> 00:03:28.146
Så du har y pluss y, som er 2 y,
pluss 60 grader, blir lik 180,

00:03:28.146 --> 00:03:31.995
fordi de innvendige vinklene i
en trekant blir 180 til sammen.

00:03:31.995 --> 00:03:36.368
Så trekk fra 60 på begge sider,
og du får 2 y er lik 120.

00:03:36.380 --> 00:03:40.180
Del begge sider på 2,
du får y er lik 60 grader.

00:03:40.190 --> 00:03:42.100
Dette er interessant.

00:03:42.110 --> 00:03:43.650
Jeg kunne gjort dette med
alle disse trekantene.

00:03:43.660 --> 00:03:46.500
Alle disse trekantene er
60-60-60-trekanter,

00:03:46.500 --> 00:03:51.430
hvilket sier oss, og vi viste dette da vi
først begynte med likesidede trekanter,

00:03:51.430 --> 00:03:55.620
vi vet at hvis alle vinklene
i en trekant er 60 grader,

00:03:55.630 --> 00:03:57.490
så har vi en likesidet trekant,

00:03:57.500 --> 00:04:00.050
hvilket betyr at alle sidene
er like lange.

00:04:00.050 --> 00:04:04.706
Så hvis, dette er 2 kvadratroten av 3,
så er dette også 2 kvadratroten av 3,

00:04:04.706 --> 00:04:08.906
og dette. Så alle disse grønne linjene
er 2 kvadratroten av 3,

00:04:08.906 --> 00:04:11.977
og vi visste allerede, siden det er en
regulær sekskant,

00:04:11.981 --> 00:04:15.860
at hver side i sekskanten selv er
også 2 kvadratroten av 3.

00:04:15.860 --> 00:04:24.940
Så nå kan vi bruke den informasjonen
til å finne ut, jeg skal vise dere snart,

00:04:24.940 --> 00:04:27.040
til å finne arealet til hvilken som helst
av disse trekantene,

00:04:27.050 --> 00:04:29.120
og så bare gange det med 6.

00:04:29.120 --> 00:04:34.117
Så la meg se på denne trekanten her,
hvordan kan vi finne dens areal.

00:04:34.117 --> 00:04:36.880
Vi vet at DC er 2 kvadratroten av 3.

00:04:36.890 --> 00:04:42.529
Vi kan trekke en høyde ned her, slik,

00:04:42.529 --> 00:04:49.357
og når vi trekker en høyde, og vi vet
at dette er en likesidet trekant,

00:04:49.357 --> 00:04:52.434
og vi kan vise veldig lett at disse
trekantene er symmetriske.

00:04:52.434 --> 00:04:53.925
Begge disse er 90-graders vinkler,

00:04:53.925 --> 00:04:57.430
vi vet allerede at disse to
er 60-graders vinkler,

00:04:57.430 --> 00:05:00.540
og hvis du ser på
disse to trekantene uavhengig

00:05:00.540 --> 00:05:02.750
må du si at det skal bli 180 til sammen,

00:05:02.760 --> 00:05:05.930
så dette må være 30 grader
og dette må være 30 grader.

00:05:05.940 --> 00:05:09.690
Alle vinklene er like,
de har også en felles side,

00:05:09.690 --> 00:05:11.610
så de er kongruente trekanter.

00:05:11.610 --> 00:05:17.012
Så hvis vi vil finne arealet til denne
bredere trekanten, dette kakestykket,

00:05:17.012 --> 00:05:22.237
så kan vi finne arealet til dette
mindre stykket, og gange det med 2.

00:05:22.240 --> 00:05:25.773
Eller vi kan bare finne dette arealet,
og gange det med 12 for hele sekskanten.

00:05:25.773 --> 00:05:28.005
Så hvordan finner vi arealet på denne?

00:05:28.005 --> 00:05:31.594
Vel, dette blir
halvparten av grunnlinjelengden,

00:05:31.594 --> 00:05:35.020
så denne lengden - la meg kalle
dette punktet H -

00:05:35.020 --> 00:05:37.430
DH blir kvadratroten av 3.

00:05:37.440 --> 00:05:42.140
Og forhåpentligvis så vi allerede
at dette er en 30-60-90-trekant.

00:05:42.140 --> 00:05:48.992
La meg tegne den her, dette
er en 30-60-90-trekant.

00:05:48.992 --> 00:05:52.310
Vi vet at denne lengden er
kvadratoren av 3,

00:05:52.310 --> 00:05:56.160
vi har allerede regnet ut
at dette er 2 kvadratroten av 3,

00:05:56.160 --> 00:05:57.800
men vi trenger det egentlig ikke.

00:05:57.800 --> 00:06:00.460
Det vi egentlig trenger er denne høyden.

00:06:00.470 --> 00:06:05.907
Og fra 30-60-90-trekanter vet vi
at siden overfor 60-gradersvinkelen

00:06:05.907 --> 00:06:10.987
er kvadratroten av 3 ganger
siden overfor 30-gradersvinkelen.

00:06:10.987 --> 00:06:17.558
Så dette blir kvadratoren av 3
ganger kvadratroten av 3.

00:06:17.570 --> 00:06:21.890
Kvadratroten av 3 ganger
kvadratroten av 3, er selvsagt bare 3.

00:06:21.890 --> 00:06:26.360
Så denne høyden blir bare 3.

00:06:26.370 --> 00:06:29.660
Så hvis vi vil ha høyden
på denne trekanten her,

00:06:29.670 --> 00:06:32.120
som er denne trekanten her,

00:06:32.130 --> 00:06:34.270
er det bare en halv ganger 
grunnlinje ganger høyde.

00:06:34.280 --> 00:06:40.028
Så arealet på dette lille kakestykket
er bare en halv ganger grunnlinjen her...

00:06:40.028 --> 00:06:43.380
La oss ta et skritt tilbake,
vi trenger ikke bry oss med dette.

00:06:43.380 --> 00:06:46.270
La oss gå rett til
den større trekanten GDC.

00:06:46.280 --> 00:06:50.983
La oss spole litt tilbake, for nå har vi
grunnlinjen og høyden på hele greia.

00:06:51.000 --> 00:06:56.760
$$Hvis vi vil ha arealet på trekant GDC,

00:06:56.770 --> 00:07:02.177
$$nå ser jeg på hele denne trekanten her,

00:07:02.177 --> 00:07:05.960
$$dette er lik en halv ganger
grunnlinje ganger høyde,

00:07:05.970 --> 00:07:08.700
$$som er lik en halv... hva er grunnlinja?

00:07:08.700 --> 00:07:11.568
$$Vi vet allerede grunnlinja, det er
en av sidene i sekskanten vår,

00:07:11.568 --> 00:07:12.930
$$det er 2 kvadratroten av 3.

00:07:12.940 --> 00:07:16.864
$$Så det er hele greia her,
så ganger 2 kvadratroten av 3.

00:07:16.864 --> 00:07:19.380
$$Og så vil vi gange det med høyden.

00:07:19.380 --> 00:07:23.503
$$Og det var den vi fant ut ved å bruke
30-60-90-trekanter. Høyden er 3.

00:07:23.503 --> 00:07:27.180
$$Så ganger 3. En halv og to strykes ut.

00:07:27.190 --> 00:07:30.000
$$Vi står igjen med 3 kvadratroten av 3.

00:07:30.010 --> 00:07:33.310
Det er bare arealet av
ett av disse kakestykkene.

00:07:33.320 --> 00:07:38.339
Hvis vi vil finne arealer til hele sekskanten
må vi gange det med seks,

00:07:38.339 --> 00:07:40.460
for det er seks av de trekantene her.

00:07:40.460 --> 00:07:45.680
Så dette blir lik 6 ganger
3 kvadratroten av 3.

00:07:45.690 --> 00:07:49.880
Som er 18 kvadratrøtter av 3.
Og vi er ferdige.