Introduzione a i e numeri immaginari

Introduction to i and imaginary numbers

In questo video voglio farti conoscere il numero i,

che a volte viene chiamato immaginario, unità immaginaria.

Quello che vedrai qui, e potrebbe essere un po' difficile

da apprezzare appieno, è che è un numero piu' bizzarro

di altri numeri strambi che si imparano in matematica,

come p greco o e. Ed e' più bizzarro perché non ha un valore tangibile

nel senso in cui normalmente definiamo i numeri.

i è definito come il numero il cui quadrato è uguale a -1.

Questa è la definizione di i e porta a molte cose interessanti.

Ora alle volte vedrai i definito in questo modo:

"i" come la radice quadrata principale di -1.

Voglio solo puntualizzare che non è sbagliato, potrebbe avere senso,

sai, se qualcosa al quadrato è -1, allora forse

e' la radice quadrata principale di -1.

E quindi sembrano essere quasi la stessa frase,

ma voglio solo fartici fare un po' attenzione, quando lo fai

alcune persone arrivano a dire che è sbagliato

e in realtà si scopre che hanno torto a dire che è sbagliato.

Ma quando lo fai devi stare un po' attento a che cosa vuol dire

prendere una radice quadrata principale di un numero negativo, definita

per numeri immaginari e, lo impareremo in futuro, numeri complessi.

Ma per quello che ne devi sapere ora non devi fare differenza,

non serve stare a spaccare il capello in 4 su queste definizioni.

Ora con questa definizione, pensiamo a quanto equivalgono le differenti potenze di i.

Perché puoi immaginartelo, se qualcosa al quadrato è negativo,

se calcolo tutte le potenze magari escono cose strane.

E vedremo che le potenze di i sono belle pulite,

perché tipo si ripetono passando per un insieme di valori.

Quindi posso iniziare con, cominciamo con i^0.

E quindi potresti dire, tutto alla potenza di zero fa uno,

quindi i alla potenza di zero fa uno, e questo è vero.

E potresti persino derivarlo dalla definizione,

ma è abbastanza chiaro; tutto alla potenza zero, tra cui i, fa uno.

Poi dici: ok, quanto fa i^1.

Beh tutto alla prima è semplicemente quel numero per se' stesso una volta.

Quindi sara' semplicemente i.

Semplicemente per la definizione di ciò che significa elevare ad un esponente,

quindi ha perfettamente senso.

E poi hai i^2.

i^2, beh per definizione,

i^2 è uguale a -1.

Proviamo i^3 --- lo faccio in questo colore che ancora non ho usato.

i^3, beh sara' i^2 * i

e sappiamo che i^2 = -1,

quindi e' -1 * i --- fammelo rendere chiaro.

Questo è lo stesso di questo, che è lo stesso di quello,

i^2 = -1.

Quindi li moltiplichi, -1 * i = -i.

Ora che succede quando elevi i alla quarta?

Lo faccio qui sopra. i alla quarta potenza.

Bene, ancora una volta sara' i * i^3.

Quindi è i * i^3. i per i alla terza.

Bene quant'era i alla terza potenza? i alla terza potenza era -i.

Questo qui è -i. Quindi i * i fa -1,

ma qui hai un negativo, quindi hai i * i = -1

e hai un negativo, che ti dà +1.

Fammelo scrivere. Questo è come,

quindi questo è i * -i, che è come

-1 per --- ricordati che la moltiplicazione è commutativa,

se moltiplichi un po' di numeri ne puoi scambiare l'ordine ---

questo è come -1 * i * i.

i * i, per definizione, fa -1.

-1 * -1 = +1.

Quindi i^4 è come di i^0.

Ora proviamo i^5.

i alla quinta potenza. Bene sara' semplicemente uguale a i^4

per i. E sappiamo gia quanto fa i^4. Fa 1.

Quindi e' 1 * i

o semplicemente di nuovo i. Quindi ancora una volta è esattamente

come i^1.

Proviamo ancora, giusto per vedere lo schema che si ripete.

Proviamo i^7.

Scusa, i^6.

Beh questo è i * i^5 --- questo e' i^5 ---

i^5 abbiamo gia' stabilito che fa i,

quindi i * i è uguale a, per definizione, i * i = -1.

E poi finiamo --- potremmo anche andare avanti in questo modo,

potremmo continuare a mettere potenze sempre piu' alte.

E vedremmo che continua a ripetersi.

Nel prossimo video ti insegnerò come prendere una potenza a caso di i e

capire quanto fara'.

Ma verifichiamo che il ciclo continua a ripetersi.

i^7 = i * i^6.

i^6 = -1. i * -1 = -i.

E se prendi i^8 farà di nuovo 1,

i^9 fara' di nuovo i e così via e così via.