TITRE : Introduction à i et aux Nombres Imaginaires

Introduction to i and imaginary numbers

Dans cette vidéo je vais vous parler du nombre i,

que l'on appelle parfois l'unité imaginaire.

Ce qu'on va voir maintenant, ça va être peut-être un peu difficile

à comprendre au début, c'est que c'est un nombre plus bizarre

que d'autres nombres farfelus que l'on peut voir en maths,

comme pi ou e. Et c'est un nombre plus bizarre parce qu'il n'a pas une valeur tangible,

au sens où l'on a l'habitude de définir un nombre.

"i" est défini comme le nombre dont le carré est égal à -1.

C'est la définition de "i", et elle mène à toutes sortes de choses intéressantes.

Dans certains endroits vous verrez "i" défini la manière suivante :

"i" est égal à la racine carrée principale de -1.

Je tiens à vous faire remarquer que ce n'est pas faux, ça vous parle peut-être,

que si quelque chose élevé au carré est égal à -1, alors peut-être

que c'est la racine carrée principale de -1.

Et alors ces 2 définitions semblent être presque les mêmes,

mais je veux juste que vous fassiez un peu attention, quand vous écrivez ça

certaines personnes iront jusqu'à dire que c'est faux,

et il se trouve en fait que c'est ceux qui disent que c'est faux qui ont tout faux.

Mais quand vous faites ça vous devez quand même faire attention à ce que veut dire

prendre la racine carrée d'un nombre négatif, et qu'elle soit définie

pour les nombres imaginaires, et nous le verrons par la suite, pour les nombres complexes.

Mais à votre niveau actuel vous n'avez pas besoin de les dériver,

vous n'avez pas besoin de chercher la petite bête entre ces définitions.

Maintenant concernant cette définition, réfléchissons à ce que sont les différentes puissances de "i",

vu qu'on peut imaginer, si quelque chose élevé au carré vaut -1,

si je l'élève à toutes sortes de puissances, peut-être que ça nous donnera des choses bizarres.

Et ce qu'on va voir c'est que les puissances de "i" sont plutôt élégantes,

parce qu'elles sont cycliques sur un certain nombre de valeurs.

On va commencer par élever "i" à la puissance zéro.

Alors vous allez peut-être dire que n'importe quoi élevé à la puissance zéro est égal à 1,

donc "i" à la puissance zéro est "1", et c'est vrai.

Vous pourriez même le déduire de cette définition,

mais c'est plutôt évident; n'importe quoi élevé à la puissance zéro, "i" inclus, vaut "1".

Alors vous dites, ok, qu'est-ce que "i" à la puissance 1,

hé bien n'importe quel nombre à la puissance 1 est ce nombre multiplié par lui-même une fois.

Donc ça va juste être "i".

en appliquant simplement la définition de ce que que c'est qu'élever un nombre à une puissance,

donc c'est tout à fait logique.

Alors ensuite vous avez "i" élevé à la puissance 2.

"i" à la puissance 2, hé bien par définition,

"i" à la puissance 2 est égal à "-1".

Essayons "i" à la puissance 3, je vais faire ça dans une couleur que je n'ai pas encore utilisée.

"i" à la puissance 3, ça va être "i" à la puissance 2 multiplié par "i".

Et on sait que "i" à la puissance 2 vaut "-1",

donc c'est "-1" multiplié par "i".

Ca est la même chose que ceci, qui est la même chose que cela,

"i" au carré est "-1".

Donc vous les multipliez, "-1" fois "i" est égal à "-i".

Maintenant voyons ce qui se passe quand on élève "i" à la puissance 4,

Je vais le faire ici. "i" à la puissance 4.

Encore une fois ça va être "i" fois "i" à la puissance 3.

Donc c'est "i" fois "i" à la puissance 3. "i" fois "i" à la puissance 3

C'était quoi déjà "i" à la puissance 3? "i" à la puissance 3 est égal à "-i".

Ceci est "-i". On sait que "i" fois "i" donnerait "-1",

mais on a un moins ici, donc c'est "i" fois "i" égal à "-1",

et avec le moins devant ça nous donne "+1".

Je vais l'écrire.

C'est "i" fois "-i", qui est la même chose que,

"-1" fois...vous vous souvenez que la multiplication est commutative,

si on multiplie un paquet de nombres on peut changer l'ordre.

Donc c'est la même chose que "-1" fois "i" fois "i".

"i" fois "i", par définition, est "-1".

"-1" fois "-1" est égal à "+1".

Donc "i" à la puissance 4 est la même chose que "i" à la puissance zéro.

Essayons maintenant "i" à la puissance 5.

"i" à la puissance 5, ça va juste être "i" à la puissance 4

fois "i". Et on sait ce qu'est "i" à la puissance 4 : c'est "1".

Donc c'est "1" fois "i"

ou c'est juste "i". Donc encore une fois c'est exactement la même chose

que "i" à la puissance 1.

Essayons encore une fois juste pour voir le même schéma se répéter.

Essayons "i" à la puissance 7

Désolé, "i" à la puissance 6.

C'est "i" fois "i" à la puissance 5

"i" à la puissance 5 est égal à "i" comme on vient de le voir,

donc c'est "i" fois "i", qui par définition est égal à "-1".

Finissons en, on pourrait continuer comme ça

On peut continuer à élever "i" à des puissances de plus en plus grandes.

Et on verra que le même cycle recommence.

Dans la prochaine vidéo je vous apprendrai à élever "i" à n'importe quelle puissance,

comment vous pouvez trouver ce que ça va donner.

Mais vérifions juste que le cycle continue bien,

"i" à la puissance 7 est égal à "i" fois "i" à la puissance 6.

"i" à la puissance 6 est "-1". "i" fois "-1" est "-i".

Et si vous prenez "i" à la puissance 8, encore une fois ça fera "1",

"i" à la puissance 9 sera "i" encore une fois, et ainsi de suite.