Introduction to i and Imaginary Numbers

В това видео искам
да те запозная с числото i,

наричано още
имагинерна единица.

Това, което ще видиш,
може да е трудно за разбиране,

защото това число е
по-странно от останалите

чудновати числа,
които изучихме досега:

като числата π или е.
Странното му е, че то няма стойност,

която да опише количество,
както сме свикнали да определяме числата.

Числото i се определя
като число, чийто квадрат е -1.

Това определение на i
има интересни следствия.

Някъде можеш да срещнеш
и такова определение на i:

i e равно на положителния корен квадратен от -1.

Това не е грешно.
Има логика,

когато квадратът на нещо е -1,

може би то е положителният
корен от -1.

Тези две твърдения
звучат почти еднакво,

но искам да внимаваш,
когато използваш това.

Според някои то дори е грешно.

Излиза, че те грешат,
като казват, че е грешно.

Но когато използваш това твърдение,
внимавай за значението му.

То означава да вземеш
положителния корен на отрицателно число,

за да го използваш за имагинерни числа
и за комплексни числа, които ще учим по-късно.

За сегашното си разбиране
не е нужно да ги различаваш.

Можеш да приемеш, че
и двете означават едно и също.

С това определение нека намерим
различните степени на i.

Ако нещо на квадрат е -1,

то различните му степени
може би са всякакви странни неща.

Но всъщност степените на i
са много лесни.

Те са няколко стойности,
които се повтарят.

Да започнем с i
на нулева степен.

Ако кажеш, че тъй като
всяко число на степен 0 е 1,

то i на степен 0 ще е 1,
това е вярно.

Можеш да го изведеш
също и от определението,

но това е доста очевидно:
всичко на степен 0 е 1.

Следващата степен
е i на първа.

Всяко число на първа
е самото число.

Това е просто i.

Следва от определението
на степените

и дотук е очевидно.

След това имаме i на втора.

По определението за i

това е равно на -1.

Да пресметнем i на трета степен.

Това е i на втора степен по i.

Знаем, че i на втора е -1,

значи имаме -1 по i.

Подчертавам,
това е равно на това,

i на втора е -1.

Като ги умножим,
-1 по i е равно на -i.

Сега да видим i на четвърта степен.

Ще го напиша тук.

Подобно на предишните, това е
i на трета степен по i.

Вече знаем колко е i на трета степен.

То е -i.

Ако имаме i по i ще е -1,

но тук имаме минус.

Значи цялото става +1.

Нека го разпиша.

i по -i е равно на

-1 по i по i,

заради разместителното свойство
на умножението.

По определение имаме

i по i е равно на -1,

става -1 по -1, което е 1.

Значи i на четвърта степен
е същото като i на нулева.

Сега да опитаме с i на пета степен.

Това е равно на i на четвърта по i.

Вече знаем, че i на четвърта е 1.

Значи имаме 1 по i,
или само i.

Отново това е същото като

i на първа степен.

Да видим как се повтаря
тази зависимост.

Например при i на шеста степен.

Това е i по (i на пета степен).

Знаем, че i на пета е просто i.

Значи имаме i по i,
по определение е -1.

Да обобщим, можем да продължим така.

Можем да продължим
за по-големи степени на i

и стойностите им все
ще се повтарят.

В следващото видео ще ти покажа
как да намираш произволна степен на i,

как веднага да разбереш колко е.

Но нека се убедим,
че този цикъл се повтаря.

i на седма степен е равно
на i на шеста по i.

i на шеста е -1,
и i по -1 е -i.

За i на осма отново имаме 1.

i на девета ще е i
и така нататък.