Solving Quadratic Equations by Completing the Square

Ở video này, mình sẽ giới thiệu về một
phương pháp

gọi là dùng phần bù bình phương.

Cái hay của phương pháp này là nó sẽ
áp dụng được với

tất cả các phương trình bậc hai, và nó là
nền tảng của phương trình bậc hai.

Và trong một video sau mình sẽ chứng minh

phương trình bậc hai có thể dùng dạng
phần bù bình phương.

Nhưng trước đó, ta cần phải hiểu

nó là gì đã.

Phương pháp này có nền tảng chính là những
gì ta đã làm

ở những video trước, khi ta giải

phương trình bậc hai sử dụng
số chính phương.

Ta có phương trình

x mũ 2 trừ 4x bằng 5.

Và mình để một khoảng lớn ở đây vì
một lí do.

Trong video trước, ta thấy rằng bài sẽ

khá dễ nếu vế trái là một

số chính phương.

Dùng phần bù bình phương chính là biến đổi

phương trình bậc 2 thành số chính phương,
phân phối,

cộng và bớt cả hai vế để nó trở thành

số chính phương.

Vậy ta biến đổi thế nào?

Để biến vế trái phương trình thành
số chính phương

ta cần thêm một số ở đây.

Ta cần một số mà nếu ta căn bậc 2 số đó

thì ta được số bẳng một nửa của

âm 4.

Nhớ điều đó nhé, mình sẽ làm rõ

bằng một vài ví dụ.

Mình muốn x bình trừ 4x cộng một số bằng

x trừ a bình phương.

Ta chưa biết a nhưng

ta đã biết rằng

Khi ta bình phương lên, vế phải sẽ thành
x bình trừ

2a cộng a bình.

Khi ta nhìn lại vế bên này, nó sẽ phải là

xin lỗi các bạn nhé, đây phải là 2ax.
Đây phải bằng 2ax.

Và cái này phải bằng a bình.

Vậy số này, a sẽ bằng một nữa của âm 4,

vậy a sẽ bằng âm 2.

Bởi 2 nhân a sẽ bằng âm 4.

a bằng âm 2, nếu a bằng âm vậy a bình bằng
bao nhiêu?

Vậy a sẽ bằng dương 4.

Nó có lẽ sẽ hơi phức tạp với bạn bây giờ,

nhưng mình sẽ chỉ bạn mấu chốt.

Ta sẽ nhìn vào hệ số ở đây,

vậy một nửa hệ số này bằng bao nhiêu?

Một nưa của hệ số này bằng âm 2.

Vậy ta có thể nói a bằng âm 2,

rồi ta bình phương nó.

Ta bình phương 2, ta được 4.

Ta cộng 4 vào đây.

Cộng 4.

Ta thừa biết rằng ta sẽ không thể thực
hiện tính toán ở một vế

của phương trình.

Bạn không thể chỉ cộng 4 vào một vế được.

Nếu x bình trừ 4x bằng 5, thì khi ta

cộng 4 vào thì nó sẽ không bằng 5 nữa.

Nó sẽ bằng 5 cộng 4.

Ta cộng 4 vào vế trái bởi ta muốn nó
trở thành

một số chính phương.

Nhưng khi ta cộng thêm vào vế trái

ta cũng phải thêm vào vế phải tương đương.

Và bây giờ, ta đã biến đổi bài toán
hôm nay

thành bài toán ta đã làm ở các video trước

Vậy vế trái bằng bao nhiêu?

Ta viết lại toàn bộ.

Ta có x bình trừ 4x cộng 4 bằng 9.

Tất cả những gì ta làm là cộng 4 vào cả
hai vế.

Nhưng khi ta cộng 4 có chủ đich
vào vế trái

nó sẽ trở tành số chính phương.

Giờ thì số nào ta bình phương nó lên thì
bằng 4 và

khi ta cộng số đó với chính nó thì bằng
âm 2.

Ta đã có đáp án rồi.

Đó là âm 2.

Ta sẽ có x trừ 2 nhân x trừ 2 bằng 9.

Hoặc ta có thể bỏ qua bước này và viết

x trừ 2 tất cả bình phương bằng 9.

Và khi ta căn 2 cho cả 2 vế ta được

x trừ 2 bằng cộng trừ 3.

Cộng 2 cho cả hai vế , ta được
x bằng 2 cộng hoặc trừ 3.

Có nghĩa là x có thể bằng 2 cộng 3 bằng 5.

Hoặc x có thể bằng 2 trừ 3 bằng âm 1.

Và ta đã giải xong bài toán.

Giờ mình muốn làm rõ.

Bạn có thể giải bài toán này mà không dùng
cách này.

Ta có thể bắt đầu với x bình trừ

4x bằng 5.

Ta có thể lấy 2 vế trừ đi 5 và có

x bình trừ 4x trừ 5 bằng 0.

Và có thể nói ta có âm 5 nhân 1,

vậy tích là âm 5 và tổng là

âm 4.

Vậy ta có thể nói x trừ 5 nhân x cộng 1

bằng 0.

Và sau đó ta có x bằng 2 hoặc

x bằng âm 1.

Và trong bài toán này, đây chắc chắn là

cách làm nhanh hơn.

Nhưng điểm cộng của dùng
phần bù bình phương là

sẽ áp dụng được mọi lúc.

Nó sẽ luôn đúng bất kể hệ số thế nào hoặc
bài toán có

hóc búa ra sao.

Để mình chứng minh nhé.

Ta sẽ giải ví dụ này mà thông thường sẽ

là một bài toán rất khó để giải bằng

phương pháp phân phối,
nhất là khi ta nhóm

Ta xét 10x bình trừ 30x trừ

8 bằng 0.

Giờ thì ngay từ đầu ta có thể thấy

ta có thể chia cả hai vế cho 2.

Nó sẽ làm đơn giản bài toán đi.

Hãy chia hai vế cho 2.

Vậy nếu ta chia tất cả cho 2, ta được gì?

Ta được 5x bình trừ 15x trừ 4 bằng 0.

Nhưng một lần nữa, ta có số 5 này là
hệ số

và ta phải giả nó bằng cách nhóm.

Đó là một cách rất rất khó.

Nhưng giờ ta có thể biến vết trái thành số
chính phương,

và để làm điều đó, ta chỉ cần chia tất cả
cho 5 để lấy hệ số 1

đứng trước x bình đây.

Và bạn sẽ thấy sự khác biệt ở cách làm này

so với cách cũ.

Giả sử ta chia tất cả cho 5, ta có thể

chia tất cả cho 10 ngay từ đầu, nhưng

mình muốn đi từng bước để chứng minh

là làm cách cũ rất khó ở bài này.

Hãy chia tất cả cho 5 nào.

Vậy nếu ta chia tất cả cho 5, ta được
x bình trừ 3x

trừ 4 phần 5 bằng 0.

Bạn có thể nghĩ, tại sao ta phân phối
nhân tử bằng cách nhóm được ở bài này?

Nếu ta chia mọi thứ ở phương trình
cho hệ số đứng đầu này

thì bài toán đơn giản.

Ta có thể biến hệ số này thành 1 hoặc âm 1
nếu

ta chia cho đúng số

Nhưng nhìn này, làm cách này ta có
4 phần 5 ở đây.

Nó thật sự khó để phân phối nhân tử.

Bạn sẽ phải nghĩ hai số nào

có tích bằng âm 4 phần 5.

Nó là một phân số và khi ta lấy tổng
của số đó với chính nó thì

ta được 3?

Đây là một bài toán khó để phân phối nhân
tử.

Cách dễ nhất là dùng phần bù bình phương.

Hãy nghĩ một chút xem ta có thể biến đổi
vế trái thành

bình phương.

Điều mình sẽ làm là cho bạn xem

hai cách bởi bạn sẽ thấy các giáo viên

làm cả 2 cách, mình sẽ chuyển 4 phần 5
sang vế bên kia.

Hãy cộng 4 phân 5 vào cả 2 vế của phương
trình.

Ta không cần phải làm việc này, nhưng mình

muốn bỏ 4 phần 5 đi.

Vậy ta sẽ được gì nếu cộng cả hai vế với

4 phần 5?

Vế trái sẽ thành

x bình trừ 3x, không có 4 phần 5 ở đây.

Ta sẽ để lại một khoảng ở đây.

Và nó sẽ bằng 4 phần 5.

Như bài toán trước, ta sẽ chuyển

vế trái thành bình phương một phương trình

Ta sẽ làm như thế nào?

Số nào nhân 2 bằng

âm 3?

Một số nhân 2 bằng âm 3.

Hoặc sẽ lấy âm 3 chia cho 2,

được âm 3 phần 2.

Và rồi ta bình phương âm 3 phần 2.

Trong ví dụ này, ta sẽ cho a bằng âm
3 phần 2.

Khi ta bình âm 3 phần 2 ta được bao nhiêu?

Ta được 9 phần 4.

Ta vừa lấy một nửa hệ số, bình nó lên và

được 9 phần 4.

Mục đích là biến vế trái

thành một số chính phương.

Giờ mọi phép biến đổi với một vế,
bạn phải làm

với vế còn lại.

Ta cộng 9 phần 4 vào đây,

phương trình ta sẽ trở thành?

ta sẽ lấy x bình trừ 3x cộng 9 phần 4 bằng

ta xem có lấy được mẫu số chung không.

Vậy 4 phần 5 bằng 16 phần 20.

Nhân cả tử và mẫu với 4.

Trên 20.

9 phần 4 sẽ bằng

45 phần 20.

Vậy 16 bằng 45 bao nhiêu?

Nó đang hơi rắc rối

nhưng cũng thú vị, với mình, khi mà

ta tìm phần bù bình phương.

16 cộng 45

bằng 61.

Vậy nó sẽ bằng 61 phần 20.

Để mình viết lại nó.

x bihf trừ 3x cộng 9 phần 4 bằng
61 phần 20.

Kinh dị.

Giờ thì ít nhất ở vế trái

là một số chính phương.

Nó giống với x trừ 3 phần 2 bình.

Đây là mục đích của ta.

âm 3 phần 2 nhân âm 3 phần 2 bằng
9 phần 4.

âm 3 phần 2 cộng âm 3 phần 2 bằng âm 3.

Số này bình phương lên ta được 61 phần 20.

Ta sẽ căn cả 2 vế và được x trừ

3 phần 2 bằng cộng trừ

căn của 61 phần 20.

Giờ thì, ta sẽ cộng 3 phần 2 vào cả 2 vế

và sẽ được x bằng 3 phần 2 cộng hoặc trừ

căn 61 phần 20.

Đây là một con số to và bạn không thể

ít nhất mình không thể

tìm ra số này bằng phân phối nhân tử.

Và nếu bạn muốn một giá trị cụ thể,

hãy dùng máy tính.

Để mình làm rõ tất cả.

Và 3 phần 2. Ta sẽ cộng trước. Vậy nếu ta

muốn lấy 3 chia cho 2 cộng căn.

Ta bấm cái nút màu vàng kia.

Vậy căn của 61 chia cho 20 bằng 3,24.

3,2464 to quá, mình sẽ chỉ viết 3,246.

Vậy nó xấp xỉ bằng 3,246 và đó là

với giá trị dương.

Hãy tính với giá trị âm.

Vậy ta có thể làm phép toán thứ hai

ta bấm vào nút entry màu vàng.

Mình bấm nút enter, nó lấy những gì ta
nhập, và thay cộng

thành trừ và

ta có âm 0,246.

Ta có âm 0.246.

Và ta có thể thử lại bằng cách thay

vào phương trình ban đầu

Phương trình ban đầu của ta ở đây.

Để mình thử lại một trong hai kết quả

Kết quả thứ 2 trong máy tính là kết quả

gần nhất ta dùng,

Nếu bạn dùng một kết quả có thể thay đổi
thì số đó

ở đây.

Vậy nếu mình cho ans bình, mình đang dùng

ans có giá trị bằng âm 0,24.

Ans bình trừ 3 nhân ans trừ 4 phần 5,
4 chia

5 bằng...

Và đây chính là lời giải thích.

Chức năng này không lưu cả số lại, nó
chỉ đúng

một vài phần.

Nó chỉ lưu đến vài chữ số.

Vậy nên khi dùng nó để lưu số này,

ta được 1 nhân 10 đến âm 14.

Và nó là 0,0000.

Và đó là 13 số 0 và một số 1.

Một số thập phân có 13 số 0 và 1.

Nhiều số 0 quá.

Hoặc nếu bạn có được đáp án chuẩn ở đây,

hoặc có độ chính xác cao, hoặc

bạn để nó ở dạng tối giản

nó chắc chắn bằng 0.

Mong là kiến thức này sẽ có ích,
phương pháp lấy phần bù

bình phương.

Giờ ta sẽ áp dụng nó vào những phương
trình bậc 2

để giải quyết bất kì
phương trình bậc 2 nào.