Ở video này, mình sẽ giới thiệu về một phương pháp
gọi là dùng phần bù bình phương.
Cái hay của phương pháp này là nó sẽ áp dụng được với
tất cả các phương trình bậc hai, và nó là nền tảng của phương trình bậc hai.
Và trong một video sau mình sẽ chứng minh
phương trình bậc hai có thể dùng dạng phần bù bình phương.
Nhưng trước đó, ta cần phải hiểu
nó là gì đã.
Phương pháp này có nền tảng chính là những gì ta đã làm
ở những video trước, khi ta giải
phương trình bậc hai sử dụng số chính phương.
Ta có phương trình
x mũ 2 trừ 4x bằng 5.
Và mình để một khoảng lớn ở đây vì một lí do.
Trong video trước, ta thấy rằng bài sẽ
khá dễ nếu vế trái là một
số chính phương.
Dùng phần bù bình phương chính là biến đổi
phương trình bậc 2 thành số chính phương, phân phối,
cộng và bớt cả hai vế để nó trở thành
số chính phương.
Vậy ta biến đổi thế nào?
Để biến vế trái phương trình thành số chính phương
ta cần thêm một số ở đây.
Ta cần một số mà nếu ta căn bậc 2 số đó
thì ta được số bẳng một nửa của
âm 4.
Nhớ điều đó nhé, mình sẽ làm rõ
bằng một vài ví dụ.
Mình muốn x bình trừ 4x cộng một số bằng
x trừ a bình phương.
Ta chưa biết a nhưng
ta đã biết rằng
Khi ta bình phương lên, vế phải sẽ thành x bình trừ
2a cộng a bình.
Khi ta nhìn lại vế bên này, nó sẽ phải là
xin lỗi các bạn nhé, đây phải là 2ax. Đây phải bằng 2ax.
Và cái này phải bằng a bình.
Vậy số này, a sẽ bằng một nữa của âm 4,
vậy a sẽ bằng âm 2.
Bởi 2 nhân a sẽ bằng âm 4.
a bằng âm 2, nếu a bằng âm vậy a bình bằng bao nhiêu?
Vậy a sẽ bằng dương 4.
Nó có lẽ sẽ hơi phức tạp với bạn bây giờ,
nhưng mình sẽ chỉ bạn mấu chốt.
Ta sẽ nhìn vào hệ số ở đây,
vậy một nửa hệ số này bằng bao nhiêu?
Một nưa của hệ số này bằng âm 2.
Vậy ta có thể nói a bằng âm 2,
rồi ta bình phương nó.
Ta bình phương 2, ta được 4.
Ta cộng 4 vào đây.
Cộng 4.
Ta thừa biết rằng ta sẽ không thể thực hiện tính toán ở một vế
của phương trình.
Bạn không thể chỉ cộng 4 vào một vế được.
Nếu x bình trừ 4x bằng 5, thì khi ta
cộng 4 vào thì nó sẽ không bằng 5 nữa.
Nó sẽ bằng 5 cộng 4.
Ta cộng 4 vào vế trái bởi ta muốn nó trở thành
một số chính phương.
Nhưng khi ta cộng thêm vào vế trái
ta cũng phải thêm vào vế phải tương đương.
Và bây giờ, ta đã biến đổi bài toán hôm nay
thành bài toán ta đã làm ở các video trước
Vậy vế trái bằng bao nhiêu?
Ta viết lại toàn bộ.
Ta có x bình trừ 4x cộng 4 bằng 9.
Tất cả những gì ta làm là cộng 4 vào cả hai vế.
Nhưng khi ta cộng 4 có chủ đich vào vế trái
nó sẽ trở tành số chính phương.
Giờ thì số nào ta bình phương nó lên thì bằng 4 và
khi ta cộng số đó với chính nó thì bằng âm 2.
Ta đã có đáp án rồi.
Đó là âm 2.
Ta sẽ có x trừ 2 nhân x trừ 2 bằng 9.
Hoặc ta có thể bỏ qua bước này và viết
x trừ 2 tất cả bình phương bằng 9.
Và khi ta căn 2 cho cả 2 vế ta được
x trừ 2 bằng cộng trừ 3.
Cộng 2 cho cả hai vế , ta được x bằng 2 cộng hoặc trừ 3.
Có nghĩa là x có thể bằng 2 cộng 3 bằng 5.
Hoặc x có thể bằng 2 trừ 3 bằng âm 1.
Và ta đã giải xong bài toán.
Giờ mình muốn làm rõ.
Bạn có thể giải bài toán này mà không dùng cách này.
Ta có thể bắt đầu với x bình trừ
4x bằng 5.
Ta có thể lấy 2 vế trừ đi 5 và có
x bình trừ 4x trừ 5 bằng 0.
Và có thể nói ta có âm 5 nhân 1,
vậy tích là âm 5 và tổng là
âm 4.
Vậy ta có thể nói x trừ 5 nhân x cộng 1
bằng 0.
Và sau đó ta có x bằng 2 hoặc
x bằng âm 1.
Và trong bài toán này, đây chắc chắn là
cách làm nhanh hơn.
Nhưng điểm cộng của dùng phần bù bình phương là
sẽ áp dụng được mọi lúc.
Nó sẽ luôn đúng bất kể hệ số thế nào hoặc bài toán có
hóc búa ra sao.
Để mình chứng minh nhé.
Ta sẽ giải ví dụ này mà thông thường sẽ
là một bài toán rất khó để giải bằng
phương pháp phân phối, nhất là khi ta nhóm
Ta xét 10x bình trừ 30x trừ
8 bằng 0.
Giờ thì ngay từ đầu ta có thể thấy
ta có thể chia cả hai vế cho 2.
Nó sẽ làm đơn giản bài toán đi.
Hãy chia hai vế cho 2.
Vậy nếu ta chia tất cả cho 2, ta được gì?
Ta được 5x bình trừ 15x trừ 4 bằng 0.
Nhưng một lần nữa, ta có số 5 này là hệ số
và ta phải giả nó bằng cách nhóm.
Đó là một cách rất rất khó.
Nhưng giờ ta có thể biến vết trái thành số chính phương,
và để làm điều đó, ta chỉ cần chia tất cả cho 5 để lấy hệ số 1
đứng trước x bình đây.
Và bạn sẽ thấy sự khác biệt ở cách làm này
so với cách cũ.
Giả sử ta chia tất cả cho 5, ta có thể
chia tất cả cho 10 ngay từ đầu, nhưng
mình muốn đi từng bước để chứng minh
là làm cách cũ rất khó ở bài này.
Hãy chia tất cả cho 5 nào.
Vậy nếu ta chia tất cả cho 5, ta được x bình trừ 3x
trừ 4 phần 5 bằng 0.
Bạn có thể nghĩ, tại sao ta phân phối nhân tử bằng cách nhóm được ở bài này?
Nếu ta chia mọi thứ ở phương trình cho hệ số đứng đầu này
thì bài toán đơn giản.
Ta có thể biến hệ số này thành 1 hoặc âm 1 nếu
ta chia cho đúng số
Nhưng nhìn này, làm cách này ta có 4 phần 5 ở đây.
Nó thật sự khó để phân phối nhân tử.
Bạn sẽ phải nghĩ hai số nào
có tích bằng âm 4 phần 5.
Nó là một phân số và khi ta lấy tổng của số đó với chính nó thì
ta được 3?
Đây là một bài toán khó để phân phối nhân tử.
Cách dễ nhất là dùng phần bù bình phương.
Hãy nghĩ một chút xem ta có thể biến đổi vế trái thành
bình phương.
Điều mình sẽ làm là cho bạn xem
hai cách bởi bạn sẽ thấy các giáo viên
làm cả 2 cách, mình sẽ chuyển 4 phần 5 sang vế bên kia.
Hãy cộng 4 phân 5 vào cả 2 vế của phương trình.
Ta không cần phải làm việc này, nhưng mình
muốn bỏ 4 phần 5 đi.
Vậy ta sẽ được gì nếu cộng cả hai vế với
4 phần 5?
Vế trái sẽ thành
x bình trừ 3x, không có 4 phần 5 ở đây.
Ta sẽ để lại một khoảng ở đây.
Và nó sẽ bằng 4 phần 5.
Như bài toán trước, ta sẽ chuyển
vế trái thành bình phương một phương trình
Ta sẽ làm như thế nào?
Số nào nhân 2 bằng
âm 3?
Một số nhân 2 bằng âm 3.
Hoặc sẽ lấy âm 3 chia cho 2,
được âm 3 phần 2.
Và rồi ta bình phương âm 3 phần 2.
Trong ví dụ này, ta sẽ cho a bằng âm 3 phần 2.
Khi ta bình âm 3 phần 2 ta được bao nhiêu?
Ta được 9 phần 4.
Ta vừa lấy một nửa hệ số, bình nó lên và
được 9 phần 4.
Mục đích là biến vế trái
thành một số chính phương.
Giờ mọi phép biến đổi với một vế, bạn phải làm
với vế còn lại.
Ta cộng 9 phần 4 vào đây,
phương trình ta sẽ trở thành?
ta sẽ lấy x bình trừ 3x cộng 9 phần 4 bằng
ta xem có lấy được mẫu số chung không.
Vậy 4 phần 5 bằng 16 phần 20.
Nhân cả tử và mẫu với 4.
Trên 20.
9 phần 4 sẽ bằng
45 phần 20.
Vậy 16 bằng 45 bao nhiêu?
Nó đang hơi rắc rối
nhưng cũng thú vị, với mình, khi mà
ta tìm phần bù bình phương.
16 cộng 45
bằng 61.
Vậy nó sẽ bằng 61 phần 20.
Để mình viết lại nó.
x bihf trừ 3x cộng 9 phần 4 bằng 61 phần 20.
Kinh dị.
Giờ thì ít nhất ở vế trái
là một số chính phương.
Nó giống với x trừ 3 phần 2 bình.
Đây là mục đích của ta.
âm 3 phần 2 nhân âm 3 phần 2 bằng 9 phần 4.
âm 3 phần 2 cộng âm 3 phần 2 bằng âm 3.
Số này bình phương lên ta được 61 phần 20.
Ta sẽ căn cả 2 vế và được x trừ
3 phần 2 bằng cộng trừ
căn của 61 phần 20.
Giờ thì, ta sẽ cộng 3 phần 2 vào cả 2 vế
và sẽ được x bằng 3 phần 2 cộng hoặc trừ
căn 61 phần 20.
Đây là một con số to và bạn không thể
ít nhất mình không thể
tìm ra số này bằng phân phối nhân tử.
Và nếu bạn muốn một giá trị cụ thể,
hãy dùng máy tính.
Để mình làm rõ tất cả.
Và 3 phần 2. Ta sẽ cộng trước. Vậy nếu ta
muốn lấy 3 chia cho 2 cộng căn.
Ta bấm cái nút màu vàng kia.
Vậy căn của 61 chia cho 20 bằng 3,24.
3,2464 to quá, mình sẽ chỉ viết 3,246.
Vậy nó xấp xỉ bằng 3,246 và đó là
với giá trị dương.
Hãy tính với giá trị âm.
Vậy ta có thể làm phép toán thứ hai
ta bấm vào nút entry màu vàng.
Mình bấm nút enter, nó lấy những gì ta nhập, và thay cộng
thành trừ và
ta có âm 0,246.
Ta có âm 0.246.
Và ta có thể thử lại bằng cách thay
vào phương trình ban đầu
Phương trình ban đầu của ta ở đây.
Để mình thử lại một trong hai kết quả
Kết quả thứ 2 trong máy tính là kết quả
gần nhất ta dùng,
Nếu bạn dùng một kết quả có thể thay đổi thì số đó
ở đây.
Vậy nếu mình cho ans bình, mình đang dùng
ans có giá trị bằng âm 0,24.
Ans bình trừ 3 nhân ans trừ 4 phần 5, 4 chia
5 bằng...
Và đây chính là lời giải thích.
Chức năng này không lưu cả số lại, nó chỉ đúng
một vài phần.
Nó chỉ lưu đến vài chữ số.
Vậy nên khi dùng nó để lưu số này,
ta được 1 nhân 10 đến âm 14.
Và nó là 0,0000.
Và đó là 13 số 0 và một số 1.
Một số thập phân có 13 số 0 và 1.
Nhiều số 0 quá.
Hoặc nếu bạn có được đáp án chuẩn ở đây,
hoặc có độ chính xác cao, hoặc
bạn để nó ở dạng tối giản
nó chắc chắn bằng 0.
Mong là kiến thức này sẽ có ích, phương pháp lấy phần bù
bình phương.
Giờ ta sẽ áp dụng nó vào những phương trình bậc 2
để giải quyết bất kì phương trình bậc 2 nào.