Solving Quadratic Equations by Completing the Square

자막제공: SNOW.or.kr (본 자막은 SNOW 자원활동가들에 의해서 제작되었습니다)

이 강의에서 저는 여러분께 소위 2차 식의 평방화라고 불리는

기술을 보여드릴 것입니다.

그리고 이 기술이 정말 멋진 이유는 이것이 어떤, 어떤

2차 방정식에서도 작동된다는 것입니다. 그리고 이것은 사실상

2차 근의 공식에 근거하고 있습니다.

그리고 다음 강의에서 혹은 이 강의에서 제가 2차

근의 공식을 2차 식의 평방화를 이용해 증명할 것입니다.

하지만 우리가 증명하기 전에 우리는 이게 심지어 다 뭐에 관한

이야기인지 이해해야 합니다.

그리고 이것은 사실상 우리가 지난 강의에서 했던 것을 그냥

조립하기 시작하는 것입니다. 우리가 이차 방정식을 풀 때

완전 제곱을 이용하면서 했던 것을요.

그러니까 이차 방정식 x의 제곱

- 4x = 5 라는 방정식이 있다고 해 봅시다.

그리고 제가 여기에 이유가 있어서 큰 공간을 남겨 두겠습니다.

지난 강의에서 우리는 이 방정식을 꽤

쉽게 풀 수 있다는 것을 보았습니다. 만약 왼 쪽 변이

완전 제곱이라면 말입니다.

여러분이 아시다시피 이차 식의 평방화는 모든 이차 방정식은

완전 제곱으로 만드는 것입니다. 그것을 제작하는 것입니다.

양 변에서 더하고 뺌으로써 방정식이

완전 제곱이 될 수 있게 말입니다.

그러니까 우리가 그것을 어떻게 할 수 있을 까요?

음, 이 왼 쪽 변이 완전 제곱이 되기 위해서는

여기에 어떤 숫자가 있어야 합니다.

여기에 어떤 숫자가 있어야 하는데, 그 숫자는 제가 가진 숫자를

제곱했을 때 얻을 수 있는 숫자 입니다. 그러고 나서 만약 제가 2 곱하기 제가 가진 숫자를 하면

-4가 나올 것입니다.

이것을 기억해 두십시오. 그리고 제 생각에는 이런 점은

몇 가지 예제를 풀다 보면 명백해질 것으로 보입니다.

x의 제곱 - 4x + 어떤 수가 = x - a 의 제곱과 같다고

해 봅시다.

우리는 a가 무엇인지 아직 모릅니다. 하지만 우리는

몇 가지를 알고 있습니다.

제가 이것을 제곱 하면 그러니까 이것은 x의 제곱 -

2a + a의 제곱이 될 것입니다.

그러니까 만약 여러분이 여기에서 이런 양식을 보면, 그것은 반드시..

죄송합니다. x의 제곱 - 2ax 이군요. 바로 여기의 이 항은 2ax가 되어야 합니다.

그리고 바로 여기의 이것은 a의 제곱이 되어야 합니다.

그러니까 이 숫자는, a는 -4의 절반이 될 것입니다. a는

-2가 될 것입니다. 맞습니까?

왜냐하면 2 곱하기 a는 -4가 될 것이기 때문입니다.

a는 -2 입니다. 그리고 만약 a가 -2라면 a의 제곱은 몇 입니까/

음, a를 제곱 하면 +4가 될 것입니다.

그리고 이것은 아마 지금으로선 여러분에게 모든 게 복잡해 보일 지도 모릅니다.

하지만 저는 여러분에게 근거를 보여 드릴 것입니다.

여러분은 말 그대로 단지 여기에 있는 계수를 살펴 봅니다.

그리고 여러분은 말합니다. "좋아. 음. 이 계수의 반은 몇 이지?"

음, 저 계수의 절반은 -2 입니다.

그러니까 우리는 a가 -2와 같다고 말할 수 있습니다. 저기서도 같은 개념입니다.

그러고 나서 여러분은 이것을 제곱해 줍니다.

여러분이 a를 제곱하면 4가 나옵니다.

그러니까 여기에 양수 4를 더합니다.

4를 하나 더합니다.

자, 이제 우리가 지금까지 공부했던 바로 가장 처음의 방정식에서

여러분은 어떤 것을 할 때 단지 방정식의 한 변에만 해줄 수

없다는 것을 알아야만 했습니다.

여러분은 4를 단지 방정식의 한 번에만 더 할 수 없습니다.

만약 x의 제곱 - 4x = 5 라면, 그러면 제가 4를 더할 때,

이것은 더 이상 5와 같지 않을 것입니다.

이것은 5 더하기 4와 같게 될 것입니다.

우리는 왼 쪽 변에 4를 더해줬습니다. 왜냐하면 우리는 이것이

완전 제곱이기를 바라기 때문입니다.

하지만 만약 여러분이 왼 쪽 변에 무엇을 더해주었다면 여러분은

오른 쪽 변에도 그것을 더해야 합니다.

그리고 이제 우리는 우리가 지난 강의에서 풀었던 문제와 같이

정확한 방법으로 문제를 풀었습니다.

이 왼 쪽 변은 몇 입니까?

이 모든 것을 다시 써 보도록 하겠습니다.

지금은 x의 제곱 4x + 4 = 9 입니다.

우리가 한 모든 것은 방정식의 양 변에 4를 더한 것입니다.

하지만 우리는 이 왼 쪽 변을 완전 제곱으로 만들려는 목적으로

4를 더했습니다.

자, 이제 이것은 몇 입니까?

어떤 수에 자기 자신을 곱하면 4와 같으며

내가 그 수에 자기 자신을 더하면 -2가 되는 숫자는 몇 입니까?

음, 우리는 이미 문제에 대답을 했습니다.

그 수는 -2 입니다.

그러니까 x -2 곱하기 x - 2 = 9 가 나옵니다.

혹은 우리는 이 단계를 건너 뛰고 x - 2의 제곱이

9와 같다고 쓸 수 있습니다.

그리고 여러분이 양 변에 제곱근을 취해주면, 여러분은

x - 2 = +, - 3 이라는 것을 구할 것입니다.

양 변에 2를 더하십시오. 여러분은 x = 2 +, - 3 이라는 것을 구할 것입니다.

이 말은 즉 x가 2 + 3, 그러니까 5가 될 수 있다는 것을 우리에게 말해 줍니다.

혹은 x가 2 - 3, 즉, -1이 될 수 있다는 것을 보여줍니다.

그리고 끝났습니다.

자, 이제 제가 명확히 하기를 바랍니다.

여러분은 이것을 이차 식의 평방화 없이 할 수 있습니다.

우리는 x의 제곱 - 4x = 5 으로 시작

할 수 있습니다.

우리는 양 변에서 5를 빼줄 수 있습니다. 그리고

x의 제곱 - 4x - 5 = 0 이 됩니다.

그리고 여러분은 말할 수 있습니다. "이봐. 만약 내가 -5 곱하기

양수 1을 한다면 그 곱은 -5가 되고 그 합은

-4가 됩니다.

그러니까 이것이 x - 5 곱하기 x + 1 = 0 이라고 제가

말씀드릴 수 있습니다.

그러고 나서 우리가 x = 5 혹은 x = -1 과 같다고 우리가

말할 수 있습니다.

그리고 이런 경우에 이것은 사실상 아마도 이 문제를

푸는 더 빠른 방법일 지도 모릅니다.

하지만 이차 식의 평방화가 훌륭한 점은

이게 언제나 먹힌다는 점입니다.

이것은 계수가 무엇이든 간에 혹은 문제가 얼마나

말도 안 되든 간에 항상 사용할 수 있습니다.

그리고 제가 이걸 여러분에게 증명해 드리겠습니다.

만약 우리가 전통적인 방법으로, 이것을 그냥 인수 분해해서

풀었다면 매우 고통스러웠을 문제로 해 봅시다.

특히 우리가 그룹으로 나누기나 혹은 그런 어떤 것으로

풀었다면 말이지요.

10x의 제곱 - 30x - 8 = 0 이라고

해 봅시다.

자, 이제 시작 하자마자 바로 여러분은 말할 수 있습니다. "이봐, 보라고. 우리가

어쩌면 양 변을 2로 나눌 수 있을 지도 몰라."

방정식이 약간 단순화 되었습니다.

양 변을 2로 나눠 봅시다.

그러니까 만약 여러분이 모든 것을 2로 나눈다면 몇이 나오나요?

5x의 제곱 - 15x + 4 = 0 이 될 것입니다.

그러나 다시 한 번, 자 이제 우리는 이 제정신이 아닌 5가

계수 앞에 붙어 있습니다. 그리고 우리는 그룹 짓기라는

상당히 괴로웠을 과정을 이용해 문제를 풀 수도 있었습니다.

하지만 우리는 이제 이차 식의 평방화로 바로 갈 수 있습니다.

그리고 그걸 위해 저는 이제 5로 나누어 1이라는

여기의 최고 차계수를 구할 것입니다.
(최고 차계수 - 다항식에서 최고차 항의 계수.)

그리고 여러분은 이게 왜 우리가 전통적으로 문제를

풀던 방식과 다른지 알게 될 것입니다.

그러니까 만약 이 모든 것을 5로 나누면 저는 처음부터 그냥

10으로 나눌 수도 있었습니다. 하지만 저는 이렇게 첫 단계를 가고 싶었습니다.

단지 여러분에게 이것이 정말로 우리에게 많은 걸

주지 않는 다는 걸 보여 드리기 위해서요.

모든 것을 5로 나눠 봅시다.

그러니까 만약 우리가 모든 것을 5로 나누면 x의 제곱 - 3x

- 4/5 = 0 이 됩니다.

그러니까 여러분은 어쩌면 말할 지도 모르겠습니다. "이봐. 우리가 왜 이걸 그룹 짓기로

인수 분해 하지 않는 거야?"

만약 우리가 단지 언제나 최고 차계수로 나누기만 한다면,

우리는 저것을 없앨 수 있을 것입니다.

우리는 언제나 이것을 1 혹은 -1로 바꿀 수 있습니다. 만약 우리가

올바른 숫자를 나누기만 한다면 말입니다.

그러나 그럼으로써 우리는 여기에 제정신이 아닌 4/5를 얻는다는 점을 주목 하십시오.

그러니까 이것은 그냥 인수 분해를 하기에 매우 어렵다는 것입니다.

여러분은 이렇게 말해야 합니다. "제가 두 숫자를 곱할 때

-4/5가 나오는 두 숫자는 무엇 입니까?

이것은 분수 입니다. 그리고 제가 그 둘을 더하면 3이 되는

두 숫자는 무엇입니까?"

이것은 인수 분해 하기에 매우 어려운 문제 입니다.

인수 분해를 사용하기에 어려운 문제 입니다.

그러니까 할 수 있는 가장 최선은 이차 식의 평방화를 이용하는 것입니다.

그러니까 우리가 이것을 어떻게 완전 제곱으로 바꿀 수 있는지에 관하여

조금 생각해 봅시다.

제가 하고 싶은 것은.. 그리고 여러분은 이것이 어떤 방법으로 됐는지 볼 것입니다. 그리고

저는 여러분에게 두 방법을 모두 보여 드릴 겁니다. 왜냐하면 여러분은 선생님께서

두 방법으로 그걸 푸시는 걸 보게 될 것이거든요. 저는 4/5를 다른 변으로 옮겨 주고 싶습니다.

그러니까 4/5를 이 방정식의 양 변에 더해 봅시다.

여러분은 이런 방법으로 문제를 풀어야만 하는 것은 아닙니다. 하지만 저는 4/5를

이런 식으로 빼는 것을 좋아합니다.

그러고 나서 만약 우리가 방정식의 양 변에 4/5를 더하면

몇이 될 까요?

그 방정식의 왼 쪽 변은 단지 x의 제곱 - 3x가 됩니다.

거기에 4/5는 없습니다.

제가 공간을 약간 남기도록 하겠습니다.

그리고 이것이 4/5와 같게 될 것입니다.

자, 이제 지난 문제와 마찬가지로 우리는 이 왼 쪽 변을

이항식의 완전 제곱으로 바꿔주고 싶습니다.

우리가 어떻게 그렇게 하나요?

음, 우리가 말합니다. "음, 어떤 수 곱하기 2가 3이

됩니까?"

그러니까 어떤 수 곱하기 2는 -3 입니다.

혹은 우리는 근본적으로 단지 -3을 취해서 그것을 2로 나눌 것입니다.

그러면 -3/2이 됩니다.

그러고 나서 우리는 -3/2를 제곱할 것입니다.

그러니까 문제에서 우리는 a를 -3/2라고 말할 것입니다.

그리고 만약 우리가 -3/2를 제곱하면 몇이 되나요?

-9/4가 될 것입니다.

저는 단지 이 계수의 절반을 취해, 그것을 제곱해,

양수 9/4를 얻었을 뿐입니다.

이것을 하는 모든 이유는 이 왼 쪽 변을

완전 제곱으로 바꾸기 위해서 입니다.

자, 이제 여러분이 방정식의 한 변에 해준 것이 무엇이든,

여러분은 다른 변에도 같은 것을 해주어야 합니다.

그러니까 우리가 여기에 9/4를 더했습니다. 저기에도 9/4를 더해 줍시다.

그래서 우리의 방정식은 몇이 되나요?

x의 제곱 - 3x + 9/4가 뭐가 되느냐면.. 어디 우리가

공통 분모를 구할 수 있을 지 봐 봅시다.

그러니까 4/5는 16/20과 같은 것입니다.

단지 분자와 분모에 4를 곱해준 것뿐입니다.

더하기 20 분의..

9/4는 만약 여러분이 분모에 5를 곱한다면

45/20과 같습니다.

그러니까 16 더하기 45는 몇 입니까?

여러분이 보시다시피 이것은 일종의 복잡한 문제가 되어 가고 있습니다. 하지만

이것은 제 생각에는 이것이 바로

때때로 이차 식의 평방화의 묘미 입니다.

16 더하기 45 입니다.

이것은 55에, 61 입니다.

그러니까 이것은 61/20과 같게 됩니다.

그러니까 단지 이것을 다시 써 봅시다.

x의 제곱 - 3x + 9/4 = 61/20 입니다.

숫자가 제정신이 아니네요.

자, 이제 적어도 왼 쪽 변에서는

완전 제곱이 됐습니다.

이것은 x - 3/2의 제곱과 같은 것입니다.

그리고 이것은 계획적인 것입니다.

- 3/2 곱하기 - 3/2는 양수 9/4 입니다.

- 3/2 더하기 -3/2는 -3 입니다.

그러니까 이 제곱은 61/20과 같습니다.

우리는 양 변에 제곱근을 취할 수 있습니다. 그리고

x - 3/2는 61/20의 양수 혹은 음수

제곱근과 같습니다.

그리고 이제 우리는 이 방정식의 양 변에 3/2를 더할 수 있습니다.

그리고 x는 양수 3/2에 61/22의

+, - 제곱근이 됩니다.

그리고 이것은 제정신이 아닌 수 입니다. 그리고 이것은 다행히도 명백한데

여러분이 할 수 없었을 것이라는 것입니다. 적어도 저는

할 수 없었을 것입니다. 이런 숫자를 그냥 인수 분해 하는 일은요.

그리고 만약 여러분이 실제 값을 원한다면 여러분은

여러분의 계산기를 꺼낼 수 있습니다.

*

그러고 나서 제가 이 모든 것을 명확하도록 해드리겠습니다.

*

그리고 3/2.. 여기 양수 버전을 먼저 해 봅시다. 그러니까 우리는

3을 2로 나누고 더하기 이차 제곱근을 하기를 바랍니다.

우리는 이 작은 노란 제곱근을 고르기를 바랍니다.

그러니까 61 나누기 22의 제곱근은 3.24 입니다.

이 제정신이 아닌 3.2465.. 이라는 수를 저는 그냥 3.246이라고 쓰겠습니다.

그러니까 이것은 대략 3.246과 같습니다. 그리고 이것은 단지

양수 버전일 뿐입니다.

음수 버전을 계산해 봅시다.

그러니까 우리가 실제로 "입력" 버튼을 누를 수 있습니다. 만약 여러분이 "두번 째"와 "입력" 버튼을 누르면,

우리는 이 작은 노란색 입력 버튼을 원합니다. 그게 왜

우리가 "두번 째" 버튼을 누른 이유 입니다.

그러니까 제가 "엔터"키를 누르면 그것은 우리가 방금 집어 넣은 곳에 넣어 집니다. 우리는 단지

양수를 바꾸거나 혹은 뺄셈을 더하거나 할 수 있습니다.

그리고 -0.246을 얻을 것입니다.

그러니까 -0.246이 나옵니다.

그리고 여러분은 실제로 이것이 우리의 원래 방정식을

만족하는 지 확인해 볼 수 있습니다.

우리의 원래 방정식은 여기 위에 있습니다.

제가 그 중 하나를 그냥 확인해 보겠습니다

.*

그러니까 그래핑 계산기에 있는 두 번째 해답이

여러분이 사용한 마지막 해답 입니다.

그러니까 만약 여러분이 변수 정답을 사용한다면 그 숫자는

바로 이것입니다.

그러니까 만약 제가 제 정답을 제곱한다면.. 저는

-0.24라고 나타나 있는 정답을 이용합니다.

정답의 제곱 -3 곱하기 정답 - 4/5/.. 4 나누기

5를 하면.. 뭐와 같느냐면..

그리고 이것은 그냥 작은 설명을 드리자면

이것은 모든 숫자를 저장하지 않습니다. 이것은 어떤

정확한 단계로 가까이 갑니다.

이것은 어떤 숫자만을 저장합니다.

그러니까 계산기가 계산될 때에는 바로 여기에 저장된 이 숫자만을 이용합니다.

이것은 1 곱하기 10의 -14 승 입니다.

그러니까 그것은 0.0000..

그러니까 그것은 13개의 0과 그러고 나서 하나의 1 입니다.

소수점을 찍고 13개의 원과 하나의 1 입니다.

그러니까 이것은 거의 0 입니다.

혹은 사실상 만약 여러분이 여기에 있는 정확한 정답을 얻는 다면, 만약

여러분이 여기의 정확함의 무한한 단계를 거친다면, 혹은

어쩌면 여러분이 이 근본적인 형태를 유지한다면, 여러분은

이것이 사실상 0과 같다는 것을 구할 수 있습니다.

그러니까 바라건대 여러분이 이것이 도움이 된다는 것을 알기 바랍니다. 이 이차식의 평방화의

전체 개념이 말입니다.

자, 이제 우리가 이것을 실제로 우리가 사용할 수 있는

근의 공식으로 넓혀 볼 것입니다. 그 공식에 우리가 근본적으로 단지

어떤 이차 방정식을 풀기 위하여 숫자들을 넣을 수 있습니다.

*