Solving Quadratic Equations by Completing the Square

Във видеото ще ти покажа една техника, наречена

допълване до точен квадрат.

Тя е подходяща за всяко квадратно уравнение

и всъщност е основата за квадратната формула.

В следващото видео аз ще докажа квадратната формула,

като използвам допълване до точен квадрат.

Но първо да разберем точно за какво се отнася.

Тя просто се основава на това, което направихме в последното видео,

в което решавахме квадратни уравнения,

с използване на точни квадрати.

Нека имаме квадратното уравнение

х на квадрат минус 4х е равно на 5.

Сложих това празно място поради една причина.

В последното видео видяхме,

че този вид уравнения могат да бъдат много лесни за решаване,

ако лявата страна е точен квадрат.

Допълването до точен квадрат е просто

превръщане на квадратното уравнение в точен квадрат, преработване,

прибавяне и изваждане от двете страни,

за да стане точен квадрат.

Как можем да го направим?

За да стане лявата страна точен квадрат,

тук трябва да има някакво число,

което, ако повдигна моето число на квадрат, ще получа това число,

и също ако умножа моето число по две,

ще получа минус 4.

Запомни това и мисля, че ще ти стане

по-ясно с няколко примера.

Искам х на квадрат минус 4х плюс нещо да бъде равно на

х минус а на квадрат.

Все още не знаем колко е а,

но знаем няколко неща.

Когато повдигам на квадрат нещо –

това ще бъде х на квадрат минус 2а плюс а на квадрат.

Ако разгледаш тази формула, това трябва да бъде – извинявам се,

х на квадрат минус 2ах – това тук трябва да бъде 2ах.

А това тук трябва да бъде а на квадрат.

Това число а ще бъде половината от минус 4,

а е минус 2, нали?

Тъй като 2 по а ще бъде минус 4.

а е равно на минус 2, но ако а е минус 2, колко е а на квадрат?

а на квадрат е плюс 4.

Всичко това може да изглежда сложно сега,

но аз показвам логиката.

Просто поглеждаш коефициента тук и си казваш:

"Колко е половината от този коефициент?"

Половината от този коефициент е минус 2.

а е равно на минус 2 – там имаме същата идея –

и след това го повдигаш на квадрат.

Повдигаш а на квадрат и получаваш плюс 4.

И така, тук прибавяме плюс 4.

Още от първото уравнение, което сме решавали, знаеш,

че никога не можеш да извършваш дадено действие

само от едната страна на уравнението.

Не можеш да прибавиш 4 само към едната страна на уравнението.

Ако х на квадрат минус 4х беше равно на 5, тогава като прибавим 4,

това вече няма да бъде равно на 5.

Ще бъде равно на 5 плюс 4.

Прибавихме 4 към лявата страна, защото искахме

това да бъде точен квадрат.

Но ако прибавиш нещо към лявата страна, трябва

да го прибавиш и към дясната.

И сега получихме задача, която

е точно като задачите в предишното видео.

Каква е лявата страна?

Нека го препиша цялото.

х на квадрат минус 4х плюс 4 е равно на 9.

Всичко, което направихме, беше да прибавим 4 към двете страни на уравнението.

Но ние прибавихме 4, защото искахме лявата страна

да стане точен квадрат.

Сега, колко е това?

Кое е числото, което умножено по себе си е равно на 4 и

когато го прибавя към него самото, ще получа минус 2?

Ами вече отговорихме на този въпрос.

Това е минус 2.

Така че получаваме х минус 2 по х минус 2 е равно на 9.

Или можехме да прескочим тази стъпка и да напишем

х минус 2 на квадрат е равно на 9.

И след като намериш квадратния корен от двете числа, получаваш

х минус 2 е равно на плюс или минус 3.

Прибавяш 2 към двете страни и получаваш

х е равно на 2 плюс или минус 3.

Т.е. х може да бъде равно на 2 плюс 3, което е 5.

Или х може да бъде равно на 2 минус 3, което е минус 1.

И сме готови.

Искам да съм ясен.

Можеш да го направиш и без допълване до точен квадрат.

Можехме да започнем с

х на квадрат минус 4х е равно на 5.

Можехме да извадим 5 от двете страни и да получим

х на квадрат минус 4х, минус 5 е равно на 0.

Можеш да кажеш: "Ако имам минус 5 по плюс 1,

тогава произведението им е минус 5,

а сборът им е минус 4."

Така че мога да кажа, че това е:

х минус 5, по х плюс 1, равно на 0.

И след това да кажем, че х е равно на 5

или х е равно на минус 1.

В този случай това вероятно щеше да е

по-бърз начин да решим задачата.

Но е хубаво да запомниш, че

допълването до точен квадрат винаги работи.

Винаги става, без значение какви са коефициентите или

без значение колко необикновена е задачата.

Нека ти го докажа.

Нека реша една задача, която би била доста трудна,

ако опитаме да я решим чрез разлагане,

особено ако го направим чрез групиране или нещо подобно.

Имаме 10х на квадрат минус 30х

минус 8 е равно на 0.

На пръв поглед би казал:

"Може би е възможно да разделим двете страни на 2."

Това ще го опрости малко.

Нека разделим двете страни на 2.

Ако разделиш всичко на 2, какво получаваш?

Получаваме 5х на квадрат минус 15х, минус 4 е равно на 0.

Но още веднъж, сега имаме 5 пред този коефициент

и ще трябва да го решим чрез групиране,

което е един труден процес.

Но можем да допълним до точен квадрат

и за да го направим, ще разделя на 5,

за да получа 1 като водещ коефициент тук.

И ти ще разбереш, защо това е различно от това,

което обикновено правим.

Ако разделя цялото това нещо на 5,

можех просто да разделя на 10 от началото,

но исках да направя първата стъпка,

само за да ти покажа, че това не ни помага много.

Нека разделим всичко на 5.

Ако разделиш всичко на 5, получаваш х на квадрат минус 3х,

минус 4/5 е равно на 0.

Може да кажеш: "Защо изобщо направихме

това разлагане чрез групиране?"

Ако можем винаги просто да разделим на този водещ коефициент,

можем да се отървем от него.

Можем винаги да превърнем това в 1 или минус 1,

ако разделим на точното число.

Но забележи, правейки това, получаваме това 4/5 тук.

Това е много трудно да бъде направено, само като използваме разлагане.

Трябва да намериш произведението на кои две числа

е равно на минус 4/5.

Това е дроб. А когато вземем сбора им,

той трябва да е равен на минус 3.

Това е трудно за решаване, като използваме разлагане.

Най-доброто нещо, което да направим, е да използваме допълване до точен квадрат.

Нека помислим как можем

да превърнем това в точен квадрат.

Това, което искам да направя – и ти ще го виждаш направено по няколко начина,

аз ще ти покажа и двата, защото ще виждаш учителите да го правят

по двата начина – искам да прехвърля 4/5 от другата страна.

Нека прибавим 4/5 към двете страни на това уравнение.

Няма нужда да го правиш по този начин,

но аз искам да махнем 4/5 от там.

И какво получаваме тогава, ако прибавим 4/5 към двете

страни на това уравнение?

Лявата страна на уравнението става само

х на квадрат минус 3х, там нямаме 4/5.

Ще оставя малко празно място.

И това ще бъде равно на 4/5.

Точно както при предишната задача, искаме да превърнем

лявата страна в точен квадрат на бином.

Как можем да го направим?

Търсим кое число, умножено по 2, е равно на минус 3.

Някое число по 2 е минус 3.

Или просто вземаме минус 3 и го разделяме на 2,

което е минус 3/2.

И след това повдигаме на квадрат минус 3/2.

В този пример ще кажем, че a е минус 3/2.

И ако повдигнем на квадрат минус 3/2, какво получаваме?

Получаваме плюс 9/4.

Просто вземам половината от този коефициент,

повдигам го на квадрат и получавам плюс 9/4.

Правим това, за да превърнем лявата страна в точен квадрат.

Всичко, което правиш от едната страна на уравнението,

трябва да направиш и от другата страна.

Тук прибавихме 9/4, нека прибавим 9/4 и там.

Какво става уравнението?

Получаваме х на квадрат минус 3х, плюс 9/4 е равно на –

да видим дали можем да получим общ знаменател.

4/5 е същото като 16/20.

Просто умножаваме числителя и знаменателя по 4.

Плюс... за 9/4 знаменателят е отново 20,

умножаваш числителя по 5, и получаваш 45/20.

И така, колко е 16 плюс 45?

В известен смисъл започва да става сложно,

но това е забавното на

допълването на нещо до точен квадрат.

16 плюс 45.

Това е 55...61.

Така че това е равно на 61/20.

Нека просто го препиша.

х на квадрат минус 3х плюс 9/4 е равно на 61/20.

Сложно число.

Сега това от лявата страна е точен квадрат.

Това е същото като х минус 3/2 на квадрат.

И то беше точно така замислено.

Минус 3/2 по минус 3/2 е плюс 9/4.

Минус 3/2 плюс минус 3/2 е равно на минус 3.

Така че това на квадрат е равно на 61/20.

Можем да изчислим квадратния корен от двете страни и да получим

х минус 3/2 е равно на плюс или минус

корен квадратен от 61/20.

И сега можем да прибавим 3/2 към двете страни на уравнението

и получаваме, че х е равно на плюс 3/2,

плюс или минус корен квадратен от 61/20.

Това е много сложно число и е очевидно,

че не би могъл да...

поне аз не бих могъл да получа това число само чрез разлагане.

Ако искаш действителната им стойност,

можеш да извадиш калкулатора си.

И след това, нека изтрия всичко това.

3/2 - нека изчисля положителния вариант първо.

Искаме да изчислим 3, делено на 2, плюс второто – квадратен корен.

Искаме да изберем този малкия жълт квадратен корен.

Квадратният корен от 61, делено на 20, е 3,24.

Това сложно число 3,2464, ще го напиша просто като 3,246.

Това е приблизително равно на 3,246

и това беше само положителния вариант.

Нека изчислим варианта с изваждането.

Можем всъщност да въведем – ако въведеш второто и

след това въведем същото, което имахме, искаме този малък жълт запис,

ето защо натиснах втория бутон.

Натискам въведи, калкулаторът слага това, което току-що въведохме,

можем просто да променим плюс или сбора с разлика

и получаваш минус 0,246.

И така, получаваш минус 0,246.

И можеш да провериш, че тези отговори удовлетворяват

първоначалното уравнение.

Първоначалното ни уравнение беше тук горе.

Нека го проверя само за единия от отговорите.

Да кажем, че имаме...

Вторият отговор на графичния ти калкулатор е

последния, който използвахме.

Ако използваш променлив отговор, той е това число ето тук.

Ако получа отговора на квадрат – използвам отговора,

който представлява 0,24.

Отговорът на квадрат минус 3 по отговорът минус 4/5 –

4 делено на 5 – това се равнява –

Нека дам едно малко обяснение.

Не е запазен целият отговор, изисква се известно ниво на точност.

Той запазва няколко числа от цифрите.

Така че, когато го изчислиш, като използваш това запазено число тук,

ни дава 1 по 10 на степен минус 14.

Това е 0,0000.

Това са 13 нули и след това единица.

Десетична запетая, след това 13 нули и единица.

Това са доста много нули.

Или всъщност, ако получиш точен отговор тук, ако

минем към безкрайно ниво на прецизност или

ако го оставиш в тази коренова форма, ще получиш,

че това е наистина равно на 0.

Надявам се, че намираш това за полезно,

цялото това понятие за допълване до точен квадрат.

Сега ще го развием до действителната квадратна формула,

която можем да използваме, в която можем да заместваме,

за да решим всяко едно квадратно уравнение.