Solving Quadratic Equations by Completing the Square

Bu videoda kvadrata tamamlamaqla

tənlikləri həll etməyi göstərəcəyəm.

Bu, kvadrat tənliklərin təməl formuludur,

buna görə də bu üsul
bütün kvadrat tənliklərdə

işə yarayacaq.

Növbəti videoda isə kvadrata tamamlamaqla

kvadrat tənliyin formulunu isbat edəcəyəm.

Amma bunu etməzdən əvvəl
bütün bunların nə haqqında

olduğunu anlamalıyıq.

Bu keçən videonun davamıdır.

Orada tam kvadratlardan istifadə edib

ikinci dərəcəli kvadratları həll etdik.

Deyək ki, x kvadratı çıx 4x

bərabərdir 5.

Bu boşluğu bura səbəbsiz yerə qoymadıq.

Son videoda gördük ki, əgər sol tərəf

tam kvadrat olsaydı,

bu tənliyi həll etmək çox asan olardı.

Kvadrata tamamlamaq

kvadrat tənliyin hər iki tərəfinə ifadə

əlavə edib və ya çıxaraq
tam kvadrat şəklində

yazmaqdır.

Bəs bunu necə edə bilərik?

Sol tərəfin tam kvadrat olması üçün

burada müəyyən bir ədəd olmalıdır.

Elə bir ədəd tapmalıyıq ki,
kvadrata yüksəltdikdə

buradakı ədəd, 2-ə vurduqda isə

mənfi 4 alınsın.

Bu qaydanı unutmayın, məncə, bu

bir neçə nümunə ilə daha da aydın olacaq.

Deyək ki, x kvadratı çıx 4x üstəgəl
müəyyən bir ifadə

x çıx a-nın kvadratına bərabərdir.

Hələ ki, a-nın neçə olduğunu
bilmirik, amma

bildiklərimiz də var.

Əgər bunu kvadrata yüksəltsək, x kvadratı

çıx 2a üstəgəl a kvadratı alınar.

Nümunəyə baxsaq, burada x kvadratı çıx 2ax

olmalıdır, 2-ci hədd də 2ax-ə bərabərdir.

3-cü hədd isə a kvadratı olmalıdır.

Deməli, a mənfi 4-ün yarısı yəni,

mənfi 2-ə bərabərdir.

Çünki 2a mənfi 4-ə bərabərdir.

a mənfi 2-ə bərabərdir, a mənfi 2-dirsə,
bəs a kvadratı neçədir?

a kvadratı da müsbət 4-ə bərabər olar.

Bütün bunlar sizə mürəkkəb görünə bilər,

amma indi izahını göstərəcəm.

Siz sadəcə buradakı əmsalın

yarısını tapmalısınız.

Bu əmsalın yarısı mənfi 2-dir.

Deməli a mənfi 2-ə bərabərdir, sonra

onu kvadrata yüksəltməliyik.

2-ni kvadrata yüksəltsək, müsbət 4 alarıq.

Onda bura müsbət 4 əlavə edirik.

Üstəgəl 4.

Etdiyimiz ilk tənlikdən bilməlisiniz ki,

tənliyin sadəcə bir tərəfinə nəsə

edə bilmərik.

Tənliyin sadəcə bir tərəfinə
4 əlavə edə bilmərik.

Əgər x kvadratı çıx 4x 5-ə bərabərdirsə,

bura 4 əlavə etsəm artıq
4-ə bərabər olmayacaq.

Tənlik 5 üstəgəl 4-ə bərabər olmalıdır.

Tənliyi tam kvadrata gətirmək üçün
sol tərəfə

4 əlavə etdik.

Amma sol tərəfə bir ifadə əlavə ediriksə,

onu sağ tərəfə də əlavə etməliyik.

İndi isə əvvəlki videoda etdiyimiz
məsələlərə bənzər bir

sual ilə qarşılaşdıq.

Bəs sol tərəfdə nə qaldı?

Gəlin yenidən yazaq.

x kvadratı çıx 4x üstəgəl 4 bərabərdir 9.

Biz sadəcə hər iki tərəfə 4 əlavə etdik.

Amma 4-ü sol tərəfin

tam kvadrat olması üçün əlavə etdik.

Bəs indi nə etməliyik?

Kvadrata yüksəltdikdə 4,
özü ilə cəmlədikdə

mənfi 2-ə bərabər olan ədəd hansıdır?

Cavabı bilirik.

Cavab mənfi 2-dir.

Onda x çıx 2 vur x üstəgəl 2
bərabərdir 9 alarıq.

Amma x çıx 2 kvadratı

bərabərdir 9 da yaza bilərik.

Sonra isə hər iki tərəfin
kvadrat kökünü tapsaq,

x çıx 2 bərabərdir
müsbət ya da mənfi 3 alarıq.

Hər iki tərəfə də 2 əlavə etsək,
x bərabərdir 2 üstəgəl, çıx 3 alınar.

Buradan da anlaya bilərik ki,
x 5-ə bərabər ola bilər.

Həmçinin x bərabərdir
mənfi 1 də yaza bilərik.

Tənlik həll olundu.

İndi isə daha aydın edək.

Bunu tam kvadrata
tamamlamadan da edə bilərsiniz.

Yəni x kvadratı çıx 4x

bərabərdir 5 yazarıq.

Hər iki tərəfdən 5 çıxıb, x kvadratı

çıx 4x çıx 5 bərabərdir 0 yaza bilərik.

Onda deyə bilərik ki, mənfi 5 vur

müsbət 1-in hasili mənfi 5, cəmi isə

mənfi 4 edər.

Onda x çıx 5 vur x üstəgəl 1

bərabərdir 0 yaza bilərik.

Tənliyin kökləri müsbət 5

və mənfi 1 olar.

Əslində bu tənliyi həll etmək üçün

daha sürətli üsuldur.

Amma tam kvadrata tamamlama üsulu

həmişə işə yarayır.

Tənliyin çətinliyindən və
əmsaldan asılı olmayaraq həmişə

bu üsuldan istifadə etmək olar.

Gəlin bunu isbat edək.

Qruplaşdırma və ya

vuruqlara ayırma üsulu ilə etsək

həlli çətin olan tənliklərdən

birinə baxaq.

Deyək ki, 10x kvadratı çıx 30x çıx 8

bərabərdir 0 tənliyi var.

Hər iki tərəfi 2-ə bölək

deyə bilərsiniz.

Çünki bu, tənliyi sadələşdirər.

Gəlin hər iki tərəfi 2-ə bölək.

Bəs bunu etsək, nə alarıq?

5x kvadratı çıx 15x çıx 4
bərabərdir 0 alınar.

Amma yenə də ilk həddin qarşısında böyük

əmsal var və biz bunu qruplaşdırma ilə

həll etsək, çox çətin olar.

Tənliyi tam kvadrata ayırmaqla

həll etmək üçün isə

hər tərəfi 5-ə bölərik.

İndi bu üsulun vuruqlara ayırma üsulu ilə

fərqini görəcəksiniz.

Bu tənliyi birbaşa 10-a bölə bilərdim,

amma 5-ə bölmənin heç bir

önəm kəsb etmədiyini göstərmək üçün

ilk öncə 5-ə böldüm.

Gəlin bu tənliyi 5-ə bölək.

Əgər bu tənliyi 5-ə bölsək, x kvadratı

çıx 3x çıx 4/5 bərabərdi 0 alınar.

Deyə bilərsiniz ki,
niyə vuruqlara ayırmanı

qruplaşdırma üsulu ilə etdik?

Əgər bütün tənliyi ilk
əmsala bölsək, çevrilmiş kvadrat tənlik

alarıq.

Əgər doğru ədədə bölsək, ilk əmsalı 1

və ya mənfi 1 alarıq.

Amma bunu etməklə biz
4/5 kimi bir ədəd aldıq.

Bu isə vuruqlara ayırmada
çətinlik yaradır.

Deyə bilərsiniz ki, hansı iki ədədi

götürsək hasili mənfi 4/5 edər?

Onların cəmini tapdıqda isə,

mənfi 3 alınar.

Kəsr olduğu üçün vuruqlara
ayırmaqda çətinlik yaradır.

Buna görə də başqa üsuldan
istifadə edəcəyik.

Belə tənlikləri həll etmək üçün ən yaxşı
üsul tam kvadrata tamamlamaqdır.

Gəlin bu tənliyi necə
tam kvadrata tamamlaya

bilərik onu düşünək.

Bunu sadə formada edəcəm və
siz bəzi üsulları görəcəksiniz.

İki üsul göstərəcəm, çünki
siz iki üsulla etməyi öyrənəcəksiniz.

Bir yanda 4/5- i götürək

Tənliyin hər iki tərəfinə 4/5 əlavə edək.

Bunu tənlikdə etmirik, sanki
4/5-i kənardan

götürdük.

Sonra 4/5-i tənliyin hər iki tərəfinə əlavə edib

nə əldə edirik?

Tənliyin sol tərəfi olur

x kvadratı çıx 3x,
4/5 olmur.

Buranı bir balaca boşluq
olaraq qoyuruq

və bərabərlik 4/5 olur.

İndi isə digər problemə baxaq.
Sol tərəfdəki paylanmış

tam tənliyinə geri qayıtmaq istəyirik.

Bunu necə etdik?

Dedik ki, hansı ədədlərin hasili

mənfi üçdür?

Ədədin biri 2 olarsa ,
mənfi 3-dür.

Yaxud mahiyyətcə götürürük
mənfi 3 böl 2,

yəni, mənfi 3/2.

mənfi 3/2-nin
kvadratını alırıq.

Nümunədə dedik ki,
a mənfi 3/2-dir.

Əgər mənfi 3/2-nin kvadratı olsa,
nə əldə edirik?

Müsbət 9/4

Bu əmsalın yarısına baxsaq,
kvadratı alınır,

yəni müsbət 9/4.

Etdiyimizin sol tərəfinə qayıtsaq,

tam kvadrata çevirilir.

Tənliyin bir tərəfini
həll etdik. İndi isə

digər tərəfini həll edək.

Bura isə 9/4 əlavə etdik,
gəlin bu tərəfə də 9/4 əlavə edək.

və bizim tənlik nə olur?

Alırıq ki, x kvadratı çıx 3x
üstəgəl 9/4 bərabərdir. Əgər belə görsək,

ortaq məxrəcə gəlməliyik.

Belə ki, 4/5
16/20 ilə eynidir.

Ədədi dəfə qədər çoxaltsaq,
hər iki ədədin məxrəci 4-dür

Üstəgəl 20-də

Eyni formada 9/4-ü
çoxaltsanız,

5 dəfə 45/20 olacaq

16 üstəgəl 25 neçədir?

Biraz çətin
görünə bilər, amma

düşünürəm ki,

kvadratı nəsə tamamlayır.

16 üstəgəl 45

Bax budur 61.

Bərabərlik 61/20-dir.

Gəlin bunu yenidən yazaq.

x kvadratı çıx 3x
üstəgəl 9/4 bərabərdir 61/20.

Möhtəşəm rəqəm

İndi isə
sol tərəfdəki

tam kvadratdır.

Bu eyni ilə
x çıx 3/2-nin kvadratı kimidir.

Bu, bir növ belədir.

Mənfi 3/2 vurulsun mənfi
3/2 müsbət 9/4-dür.

Mənfi 3/2 üstəgəl mənfi 3/2
bərabərdir mənfi 3.

Beləliklə, bu kvadrat
bərbərdir 61/20.

Hər iki tərəfin kökünü götürək və
alırıq ki, x çıx

3/2 bərabərdir müsbətə
yaxud mənfi

kökaltda 61/20.

İndi bərabərliyin hər iki
tərəfinə 3/2 əlavə edirik.

Alırıq ki, x bərabərdir 3/2
+(müsbət) -(mənfi)

kökaltda 61/20.

Ağlasığmaz bir ədəddir və
ümid edirəm ki, aydındır

Siz bunu etməkdə çətinlik
çəkə bilərdiniz və

təkcə vuruqlara ayırmaqla həll
edə bilməyəcəkdiniz.

Əgər həqiqi ədəd
almaq istəsəniz,

kalkuyator götürürsünüz.

Sonra bunları
təmizləyək.

Birinci müsbət 3/2-ni həll edək.
Bunun üçün

3 böl 2 kökaltda
ikinci 61 böl 20.

Biz yaşıl kvadrat altları
toplamaq istəyirik.

Kökaltda 61 böl 20, təqribən 3.24.

Bu maraqlıdır, 3.2464.
Biz sadəcə 3.246 yazırıq

Bu, təxminən bərabərdir
3.246-ya və bu sadəcə

müsbət variantıdır.

İndi isə gəlin çıxma
variantı edək.

İndi daxil oluruq
ikincini etməyə və

biz balaca sarı girişə
daxil oluruq və budur

ikinciyə niyə basdım

Belə ki, daxil oldum və geriyə apardım
yenidən daxil olub

müsbətə çevirirəm yaxud
bunu çıxmaya əlavə edirəm və

mənfi 0.246 alırıq

Beləliklə, ədəd mənfi 0.246dır

Yoxlayırıq,
bizim

real tənliyimizdir.

Bizim tənliyimiz budur.

Gəlin bunların hər
birini yoxlayaq.

İkinci cavabı
kalkuyator qrafikində

əvvəlki cavabı gördük

İstifadə etdiyimiz
cavablardan biri

doğrudur.

Cavabın kvadratı

bu, mənfi 0.24-ü təmsil edir.

Cavabın kvadratı çıx
3 vur cavab çıx

4 böl 5 bərabərdir

və biraz aydınlıq gətirək.

Bu daxil olan rəqəmi saxlamır
bir qədər

dəyişiklik artır

Rəqəmlərin bəziləri
artır

Kalkuyatordan istifadə edəndə
artan rəqəmlər budur

1-dən10-adək artır
olur mənfi 14

beləliklə sıfır nöqtə sıfır sıfır...

Budur, 13 sıfır
və bir sıfır qalır

Onluq sonra 13 sıfır və
bir 1

Beləliklə də tam 0.

Yaxud dəqiq cavab
əldə etmək istəsəniz,

sonsuz dəyişiklik
səviyyəsini keçsəniz, yaxud

bu formanı saxlasanız,
siz görəcəksiniz ki, həqiqətən

bu sıfıra bərabərdir.

Beləliklə, ümid edirəm ki
bu sizə kvadrata tamamlamaq

anlayışını tapmaqda
kömək oldu.

İndi isə kvadrat formulu uzadacağıq

ki, siz istifadə edəsiniz, biz
əslində sadəcə fiş istifadə edirik.

Hansı ki, kvadrat tənlikləri
həll etməyə daxil olur