Foci of an Ellipse

Edit subtitles

0:01 - 0:06

我们已经讲过椭圆的方程
0:06 - 0:11

x²/a²+y²/b²=1
0:11 - 0:13

为了下面的讨论
0:13 - 0:15

先假设a大于b
0:15 - 0:17

这是为了表明
0:17 - 0:19

这个椭圆是扁的
0:19 - 0:24

它的半长轴或者说长轴
0:24 - 0:25

是在水平方向上
0:25 - 0:27

短轴在垂直方向上
0:27 - 0:29

我们把椭圆画出来
0:29 - 0:31

我们把椭圆画出来
0:31 - 0:35

用更粗的笔
0:35 - 0:40

好了然后画坐标轴
0:40 - 0:45

这是横轴
0:45 - 0:48

这是纵轴
0:48 - 0:52

我已经讲了很多椭圆的知识
0:52 - 0:58

我们知道这里的半短轴是b
0:58 - 1:02

我们知道这里的半短轴是b
1:02 - 1:03

就是这个b
1:03 - 1:06

这是半短轴
1:06 - 1:07

因为b小于a
1:07 - 1:08

如果b大于a 这里就是长轴了
1:08 - 1:11

半长轴是a
1:11 - 1:15

就是这段距离
1:15 - 1:19

椭圆最有趣的性质就是
1:19 - 1:22

椭圆上任意一点到两定点的距离之和相等
1:22 - 1:28

椭圆上任意一点到两定点的距离之和相等
1:28 - 1:30

这两个定点就是椭圆的焦点
1:30 - 1:32

这两个定点就是椭圆的焦点
1:32 - 1:35

这两个定点就是椭圆的焦点
1:35 - 1:38

这两个定点就是椭圆的焦点
1:38 - 1:41

且两个焦点永远在长轴上
1:41 - 1:42

且两个焦点永远在长轴上
1:42 - 1:44

在这个例子中就是横轴
1:44 - 1:47

且两焦点关于椭圆中心对称
1:47 - 1:49

一个记作f1
1:49 - 1:52

一个记作f1
1:52 - 1:53

一个记作f2
1:53 - 1:55

一个记作f2
1:55 - 1:56

一个记作f2
1:56 - 1:57

一个记作f2
1:57 - 2:00

这就是椭圆最有趣的性质
2:00 - 2:01

这就是椭圆最有趣的性质
2:01 - 2:04

通常也被用于椭圆的定义
2:04 - 2:07

如果取椭圆上任意一点
2:07 - 2:09

然后分别测量这个点到两焦点的距离
2:09 - 2:14

比如这段距离
2:14 - 2:19

记作d1
2:19 - 2:23

然后还有这段距离
2:23 - 2:25

取椭圆上任意一点
2:25 - 2:30

然后测量到两焦点的距离
2:30 - 2:32

这是d2
2:32 - 2:33

换个颜色
2:36 - 2:37

所以这整条线段是d2
2:37 - 2:39

所以这整条线段是d2
2:39 - 2:40

所以这整条线段是d2
2:42 - 2:47

然后把两段距离加起来
2:47 - 2:52

就是d2+d1
2:52 - 2:55

会等于一个常数就是2a
2:55 - 2:58

椭圆上任意一点都是如此
2:58 - 3:00

我讲清楚点
3:00 - 3:02

我会证明这个常数是2a
3:02 - 3:04

a也就是这里的a
3:04 - 3:05

a也就是这里的a
3:05 - 3:08

大家一定要理解我刚才讲的
3:08 - 3:10

我再取椭圆上任意一点
3:10 - 3:11

我再取椭圆上任意一点
3:11 - 3:13

这个吧
3:13 - 3:16

然后测量这个点到这个焦点的距离
3:16 - 3:28

记作d3
3:28 - 3:31

到这个焦点的距离
3:31 - 3:33

记作d4
3:36 - 3:37

记作d4
3:37 - 3:39

这两段距离相加仍然等于2a
3:39 - 3:41

这两段距离相加仍然等于2a
3:41 - 3:42

让我写下来
3:42 - 3:49

d3+d4=2a
3:49 - 3:50

d3+d4=2a
3:50 - 3:54

事实上这被用作椭圆的定义
3:54 - 3:56

椭圆就是到两焦点之和等于常数的所有点的集合
3:56 - 3:58

集合有时也被称作轨迹
3:58 - 4:01

轨迹是所有点的集合它是一种几何形状
4:01 - 4:07

到两焦点之和等于一个常数的所有点的轨迹
4:07 - 4:10

椭圆是到两焦点之和等于一个常数的所有点的轨迹
4:10 - 4:12

我会根据这个定义
4:12 - 4:14

求出焦点的位置
4:14 - 4:17

首先理解到两焦点之和等于常数这一概念
4:17 - 4:21

这里常数是2a
4:21 - 4:25

最简单的方法是
4:25 - 4:29

先找两个x轴上的极值点
4:29 - 4:31

就是这两个点
4:31 - 4:34

这段距离
4:34 - 4:37

换个颜色
4:37 - 4:43

这两段距离相加
4:43 - 4:45

等于常数
4:45 - 4:48

用这个极值点
4:48 - 4:52

我会证明常数2a是怎么来的
4:52 - 4:53

我会证明常数2a是怎么来的
4:53 - 4:55

首先要意识到两焦点关于原点对称
4:55 - 4:57

首先要意识到两焦点关于原点对称
4:57 - 5:02

不管这段距离是多少
5:02 - 5:05

他都等于这段距离
5:05 - 5:05

他都等于这段距离
5:05 - 5:07

因为两焦点关于原点对称
5:07 - 5:13

所以这两段距离相等
5:13 - 5:16

我们要求的是
5:16 - 5:21

这段距离和这段更长的距离之和
5:21 - 5:25

这个距离加绿色的距离是多少呢？
5:25 - 5:27

首先这两段相等
5:27 - 5:31

所以它加绿色的距离
5:31 - 5:37

这一段标记为G
5:37 - 5:41

绿色这段是H
5:41 - 5:44

然后就知道了这一段也是G
5:44 - 5:45

因为对称
5:45 - 5:47

所以G+H呢？
5:47 - 5:49

也就是这个G加H
5:49 - 5:54

也就是长轴的长度
5:54 - 5:55

是多少？
5:55 - 5:58

半长轴是a
5:58 - 6:00

所以这段也是a
6:00 - 6:04

所以这一点到两焦点距离之和
6:04 - 6:08

所以这一点到两焦点距离之和
6:08 - 6:13

等于G+H
6:13 - 6:16

这等于长轴长
6:16 - 6:18

就是2a
6:18 - 6:19

好了
6:19 - 6:24

希望大家能明白
6:24 - 6:26

然后就是
6:26 - 6:28

怎样求焦点的位置
6:28 - 6:31

就是说怎样通过方程找到两焦点？
6:31 - 6:32

就是说怎样通过方程找到两焦点？
6:32 - 6:34

来求一下
6:34 - 6:37

这太容易了
6:37 - 6:39

这太容易了
6:39 - 6:42

即使取这个点
6:42 - 6:46

它到两焦点的距离之和也是2a
6:46 - 6:48

它到两焦点的距离之和也是2a
6:48 - 6:50

用这个信息可以求出焦点位置
6:50 - 6:53

用这个信息可以求出焦点位置
6:53 - 6:58

再画一个椭圆
7:06 - 7:08

这是椭圆
7:08 - 7:12

然后画坐标轴
7:12 - 7:14

然后画坐标轴
7:14 - 7:15

重写一遍方程
7:15 - 7:18

x²/a²+y²/b²=1
7:18 - 7:23

x²/a²+y²/b²=1
7:23 - 7:25

选这个点
7:25 - 7:28

这些极值点对证明定理很有用
7:28 - 7:30

这些极值点对证明定理很有用
7:30 - 7:33

这些极值点对证明定理很有用
7:33 - 7:36

两焦点相对于中心对称
7:36 - 7:38

两焦点相对于中心对称
7:38 - 7:42

这是f1 这是f2
7:42 - 7:46

已经说了椭圆是到两焦点距离之和等于常数的所有点的轨迹
7:46 - 7:48

已经说了椭圆是到两焦点距离之和等于常数的所有点的轨迹
7:48 - 7:53

已经说了椭圆是到两焦点距离之和等于常数的所有点的轨迹
7:53 - 7:54

已经说了椭圆是到两焦点距离之和等于常数的所有点的轨迹
7:54 - 7:56

且常数是2a
7:56 - 7:59

所以这一段距离
7:59 - 8:03

加这一段距离
8:03 - 8:06

等于2a
8:06 - 8:15

把它们记作d1 d2
8:15 - 8:21

d1+d2=2a
8:21 - 8:23

有意思的是
8:23 - 8:24

它们是对称的
8:24 - 8:27

d1=d2
8:27 - 8:29

d1=d2
8:29 - 8:32

这两个焦距是对称的
8:32 - 8:35

这两段距离相等
8:35 - 8:37

这两段距离相等
8:37 - 8:39

所以d1=d2
8:39 - 8:41

这是椭圆的中心
8:41 - 8:43

这是椭圆的中心
8:43 - 8:47

椭圆关于y轴对称
8:47 - 8:51

所以如果d1=d2
8:51 - 8:54

d1=a
8:54 - 8:57

d2=a
8:57 - 8:59

这就迈进了一步
8:59 - 9:01

另外
9:01 - 9:03

这段距离是多少？
9:03 - 9:05

这段距离是多少？
9:05 - 9:08

这段是半短轴
9:08 - 9:11

就是b
9:11 - 9:14

这个是要求的半焦距
9:14 - 9:16

这个是要求的半焦距
9:16 - 9:20

这时应该一下子就想到要用勾股定理
9:20 - 9:21

这时应该一下子就想到要用勾股定理
9:21 - 9:24

这是半焦距
9:24 - 9:26

利用直角三角形计算
9:26 - 9:27

利用直角三角形计算
9:27 - 9:28

半焦距是f
9:28 - 9:30

半焦距是f
9:30 - 9:34

f²+b²等于斜边的平方
9:34 - 9:38

就是d2或a
9:38 - 9:40

等于a²
9:40 - 9:43

现在得到了一个含b和a的等式
9:43 - 9:46

b和a都来自椭圆方程
9:46 - 9:47

b和a都来自椭圆方程
9:47 - 9:49

可以解出
9:49 - 9:53

f²=a²-b²
9:53 - 9:55

f²=a²-b²
9:55 - 9:58

所以f等于(a²-b²)的平方根
9:58 - 10:02

所以f等于(a²-b²)的平方根
10:02 - 10:04

非常直观
10:04 - 10:05

非常直观
10:05 - 10:09

也就是这两个数之差
10:09 - 10:12

用大的减小的
10:12 - 10:12

用大的减小的
10:12 - 10:15

然后开方求出半焦距
10:15 - 10:18

然后看一下求半焦距或焦点坐标的实际问题
10:18 - 10:21

然后看一下求半焦距或焦点坐标的实际问题
10:21 - 10:22

然后看一下求半焦距或焦点坐标的实际问题
10:22 - 10:25

然后看一下求半焦距或焦点坐标的实际问题
10:25 - 10:35

椭圆方程为(x-1)²/9+(y+2)²/4=1
10:35 - 10:43

椭圆方程为(x-1)²/9+(y+2)²/4=1
10:43 - 10:45

先画图
10:45 - 10:46

先画图
10:46 - 10:49

画出坐标轴
10:49 - 10:50

这是x轴
10:50 - 10:53

这是y轴
10:53 - 10:55

中心立刻能找到
10:55 - 10:58

是(1,-2)
10:58 - 11:00

不懂的话可以看前面的视频
11:00 - 11:02

不懂的话可以看前面的视频
11:02 - 11:04

中心是(1,-2)
11:04 - 11:08

中心是(1,-2)
11:08 - 11:09

这是中心
11:09 - 11:14

长轴在x轴上因为这个数较大
11:14 - 11:18

所以a²=9
11:18 - 11:21

半长轴是3
11:21 - 11:23

1 2 3 这里
11:26 - 11:26

1 2 3 这里
11:26 - 11:30

然后1 2 3
11:30 - 11:31

不对
11:31 - 11:32

1 2 3
11:32 - 11:33

1 2 3
11:33 - 11:34

1 2 3 大概是这里
11:34 - 11:36

1 2 3 大概是这里
11:36 - 11:38

1 2 3 大概是这里
11:38 - 11:41

在y轴上
11:41 - 11:42

半短轴长是2
11:42 - 11:43

开根号
11:43 - 11:45

b=2
11:45 - 11:47

往上数2个单位再往下数2个单位
11:47 - 11:50

椭圆就是这样
11:50 - 11:52

换个好颜色
11:52 - 11:57

就像这样
11:57 - 12:00

要求的是焦点坐标
12:00 - 12:02

要求的是焦点坐标
12:02 - 12:04

焦点在长轴上
12:04 - 12:07

焦点在长轴上
12:07 - 12:10

所以可以求出半焦距
12:10 - 12:12

从中心做加减法
12:12 - 12:13

从中心做加减法
12:13 - 12:14

就求出来了
12:14 - 12:17

我说过
12:17 - 12:21

半焦距f等于这两个数之差的平方根
12:21 - 12:25

半焦距f等于这两个数之差的平方根
12:25 - 12:27

半焦距f等于这两个数之差的平方根
12:27 - 12:31

就是（9-4）的平方根
12:31 - 12:36

所以半焦距等于根号5
12:36 - 12:39

已知椭圆的中心是（1，-2）
12:39 - 12:43

已知椭圆的中心是（1，-2）
12:43 - 12:47

已知椭圆的中心是（1，-2）
12:47 - 12:51

这个焦点的坐标就是（1+根号5，-2）
12:51 - 12:56

这个焦点的坐标就是（1+根号5，-2）
12:56 - 12:58

然后这个焦点的坐标就是（1-根号5，-2）
12:58 - 13:03

然后这个焦点的坐标就是（1-根号5，-2）
13:03 - 13:05

即中心在x轴方向加减半焦距
13:05 - 13:09

因为是在长轴上
13:09 - 13:11

所以只用加减x坐标
13:11 - 13:13

得到焦点坐标
13:13 - 13:16

可见圆锥曲线非常奇妙
13:16 - 13:18

关于焦点有一些有趣的性质
13:18 - 13:22

关于焦点有一些有趣的性质
13:22 - 13:26

以后的视频还会讲到
13:26 - 13:30

双曲线和抛物线的焦点
13:30 - 13:31

双曲线和抛物线的焦点
13:31 - 13:33

这节课是了解圆锥曲线的开始
13:33 - 13:34

这节课是了解圆锥曲线的开始
13:34 - 13:37

之前我们一直在学习机械地绘图
13:37 - 13:40

之前我们一直在学习机械地绘图
13:40 - 13:41

和求圆锥曲线的中心
13:41 - 13:44

现在才体会到了它的美妙之处
13:44 - 13:46

现在才体会到了它的美妙之处
13:46 - 13:47

下一节再会
13:47 - 13:49

下一节再会

Title:: Foci of an Ellipse
Description:: more » « less
Video Language:: English
Team:: Khan Academy
Duration:: 13:49

Jenny_Zhang edited Chinese, Simplified subtitles for Foci of an Ellipse

Chinese, Simplified subtitles

Revisions

Revision 1 API

Jenny_Zhang

Foci of an Ellipse

Revisions

Our website uses cookies

Operating cookies (Required)