Khoảng hội tụ của đạo hàm và tích phân

Khi ta học những kiến thức về chuỗi lũy thừa,

ta có thể muốn lấy đạo hàm,

hoặc tích phân của chúng.

Nói chung, ta có thể làm như vậy theo từng số hạng.

Ý của mình khi nói vậy là gì?

Chà, nó nghĩa là đạo hàm của f,

f phẩy x, chính là đạo hàm của,

từng số hạng này.

Vậy nó sẽ là tổng từ n bằng 1 cho tới vô cực.

Xem nào, đạo hàm của x mũ n,

là n nhân với x mũ n trừ đi 1.

Vậy mình có thể viết cái này là n nhân x mũ n trừ 1,

tất cả chia cho n.

Và rồi n sẽ bị triệt tiêu hết,

vậy ta còn lại,

nó sẽ bằng với, x mũ n trừ 1.

Vậy cái này là đang lấy đạo hàm theo biến x.

Tương tự, ta có thể lấy tích phân,

ta có thế lấy tích phân và tính nó,

ta có thể tính tích phân của f(x), dx,

và nó sẽ bằng một hằng số, cộng với,

nếu ta tính tích phân của nó theo từng số hạng.

Nó sẽ bằng tổng,

từ n bằng 1 cho tới vô cực.

Xem nào, ta tăng số mũ lên,

là x mũ n cộng 1, và rồi chia cho cái số mũ đó.

Vậy là nhân n cộng 1 nhân n ở ngay đây.

Đây là một phương pháp thông thường,

mà bạn sẽ thấy khi làm các bài về chuỗi lũy thừa.

Giờ ta đi vào chi tiết một chút,

vì bạn chỉ có thể làm điều này với những giá trị x,

nằm trong khoảng hội tụ của chuỗi lũy thừa.

Như ta đã thấy, khoảng hội tụ,

của những chuỗi khác nhau thì sẽ khác nhau một chút.

Khoảng thì sẽ khá giống nhau,

nhưng đầu mút thì sẽ khác nhau.

Mình khuyên bạn hãy dừng video lại,

và thử tự tìm khoảng hội tụ,

của từng chuỗi này.

Đây là tích phân của chuỗi ban đầu ta có,

còn cái nay là đạo hàm của chuỗi ban đầu.

Hãy bắt đầu từ chuỗi ban đầu nhé.

Hãy đi tìm khoảng hội tụ.

Mình có thể sử dụng phép thử tỉ lệ.

Với phép thử tỉ lệ, ta muốn tìm giới hạn,

giới hạn khi n tiến tới vô cực của a_(n+1),

nghĩa là x mũ n cộng 1 chia cho n cộng 1,

chia cho a_n, là x mũ n chia cho n.

Và ta muốn lấy giá trị tuyệt đối của nó.

Đó chính là giới hạn khi n tiến tới vô cực.

Xem nào, nếu bạn chia cái này, và cả cái này,

cho x mũ n, đó sẽ là 1,

và rồi ở đây sẽ chỉ là x,

rồi n sẽ ở phía trên.

Vậy ta có xn chia cho n cộng 1.

Và nó bằng với giới hạn khi n tiến tới vô cực,

xem nào, nếu ta đem chia cả tử và mẫu,

cho 1 chia,

chà, chia cả tử và mẫu cho n đi,

ta sẽ có x chia 1 cộng 1 chia n.

Vậy nó sẽ bằng gì?

Chà, số hạng này sẽ là 0,

vậy cái này sẽ bằng trị tuyệt đối của x.

Vậy phép thử tỉ lệ cho ta thấy chuỗi này sẽ hội tụ,

nếu cái này ở đây nhỏ hơn 1,

còn chuỗi sẽ phân kì nếu giá trị ở đây lớn hơn 1,

và nếu bằng 1 thì sẽ là không kết luận được nhé.

Vậy ta biết, để mình viết xuống.

Ta biết nó sẽ hội tụ, hội tụ,

sẽ hội tụ khi,

trị tuyệt đối của x nhỏ hơn 1,

khi nó nhỏ hơn 1.

Và chuỗi sẽ phân kì,

khi cái này lớn hơn 1,

khi trị tuyệt đối của x, lớn hơn 1.

Vậy còn khi trị tuyệt đối bằng 1 thì sao?

Đó là lúc phép thử tỉ lệ không có tác dụng,

và ta sẽ phải giải riêng ra.

Vậy hãy xét trường hợp,

khi x bằng với 1.

Khi x bằng 1, chuỗi này là tổng,

đi từ n bằng 1 cho tới vô cực, của 1 mũ n chia cho n.

Chà, nó bằng với 1 chia cho n.

Đây chính là chuỗi điều hòa, hay p-chuỗi,

khi p bằng 1.

Và ta đã thấy ở những video khác khi cái này phân kì.

Vậy khi x bằng 1, chuỗi phần kì.

Vậy khi x là -1 thì sao?

Khi x bằng -1, cái này sẽ là tổng,

từ n bằng 1 cho tới vô cực,

của -1 mũ n chia cho n.

Cái này thường được gọi là chuỗi điều hòa đan dấu.

Và với phép thử của chuỗi đan dấu,

ta thấy chuỗi này hội tụ.

Và ta đã gặp dạng này nhiều ở những video khác.

Vậy ta có khoảng hội tụ,

cho chuỗi ban đầu ở đây,

khoảng hội tụ,

khoảng hội tụ của ta,

hội tụ ở đây,

ta có thể, x có thể,

giá trị của x,

lớn hơn hoặc bằng với -1,

hoặc mình có thể nói -1 nhỏ hơn hoặc bằng x,

vì nếu x là -1, chuỗi vẫn hội tụ,

và rồi x phải nhỏ hơn 1,

vì khi x bằng 1 ta phân kì,

nên không thể nói là nhỏ hơn hoặc bằng.

Vậy đây là khoảng hội tụ,

của hàm số ban đầu.

Vậy còn khoảng hội tụ của cái này,

đạo hàm ở đây này?

Chà, khi ta lấy đạo hàm,

cái này sẽ bằng với x mũ 0,

cộng x mũ 1,

cộng x mũ 2,

và rồi ta cứ thế đi tiếp.

Giờ có thể bạn đã nhận ra,

đây là chuỗi cấp số nhân với công bội là x.

Cấp số nhân,

chuỗi,

khi công bội là,

thường kí hiệu là r, bằng với x.

Ta biết rằng chuỗi cấp số nhân sẽ hội tụ,

chỉ trong trường hợp,

mà công bội, trị tuyệt đối,

của công bội,

nó sẽ hội tụ,

khi trị tuyệt đối,

của công bội nhỏ hơn 1.

Vậy trong trường hợp này, khi ta lấy đạo hàm,

f phẩy x, khoảng hội tụ,

là gần giống nhau.

Vậy ở đây khoảng hội tụ,

sẽ là, x sẽ nằm giữa,

-1 và 1,

nhưng nó không thể bằng -1.

Tại -1 chuỗi sẽ phân kì,

và tại 1 nó cũng phân kì.

Bạn để ý nhé, chúng trông gần giống nhau.

Nếu ta xem chúng là chuỗi có tâm là 0,

bán kính hội tụ sẽ là giống nhau.

Ta có thể đi lên trên một, xuống dưới một, lên trên một, xuống dưới một.

Đó là tính chất tổng quát.

Ta có thể xem đạo hàm cũng như tích phân,

nhưng đầu mút,

của khoảng hội tụ sẽ là khác nhau.

Và tiếp theo,

mình khuyên bạn hãy sử dụng phép thử tỉ lệ,

để tìm ra 1, tìm xem,

chà, phải dùng phép thử tỉ lệ lẫn điều kiện giới hạn,

để tìm xem khoảng hội tụ,

cuả nguyên hàm, hay tính phân này sẽ là gì.

Và bạn sẽ thấy,

bán kính hội tụ sẽ như nhau.

Ta có thể đi lên trên số 0 một và dưới số 0 một.

Ta phải ở trong khoảng đó.

Nhưng bạn sẽ thấy, cái này sẽ hội tụ,

tại x bằng -1 hoặc x bằng 1.

Mình sẽ dừng ở đây.

Vậy, khoảng hội tụ, để mình dùng màu vàng.

Khoảng hội tụ, cho cái phái trên này,

nó sẽ hội tụ tại -1 nhỏ hơn x,

và x nhỏ hơn hoặc bằng 1.

Bạn hãy để ý, chúng có cùng bán kính hội tụ,

nhưng khoảng hội tụ, lại có các đầu mút khác nhau.

Và nếu bạn muốn tự chứng minh điều này,

mình khuyên bạn hãy sử dụng phương pháp,

giống với phương pháp ta đã dụng cho hàm số gốc.

Sử dụng phép thử tỉ lệ, bạn sẽ đi đến kết luận,

ở đây, và rồi thử các trường hợp,

khi x bằng 1 và x bằng -1.

Và bạn sẽ thấy khi x bằng -1,

bạn có chuỗi điều hòa, và nó sẽ hội tụ.

Còn khi x bằng 1, bạn sẽ có chuỗi điều hòa,

mà mẫu số có bậc lớn hơn 1,

nó giống với p-chuỗi.

Và bạn sẽ thấy nó cũng hội tụ,

trong trường hợp đó.