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Digamos que tengo dos vectores distintos de cero.
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Digamos que el primer vector es x, el segundo vector es y.
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Los dos son parte de nuestro set
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Los dos están en el conjunto de Rn y son distintos de cero.
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Resulta que el valor absoluto de su - Voy a hacerlo
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en un color diferente.
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Este color es bonito.
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El valor absoluto de su producto escalar de
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Los dos vectores - y recuerda que esto es sólo una cantidad escalar - es
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menor o igual al producto de sus longitudes.
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Y hemos definido el producto escalar y hemos definido
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longitudes anteriormente.
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Es menor o igual al producto de sus longitudes y
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sólo para impulsar aún más, la única vez que esto es
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igual, cuando el producto escalar de los dos vectores va a ser
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igual a la longitud de esto - la "igual" y "menos de"
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o igual se aplican únicamente en la situación - permitanme escribirlo...
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Donde uno de estos vectores es un múltiplo escalar
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del otro
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O son colineares (Parte de la misma linea)
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Ya sabes, uno solo es la versión más larga o más corta
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Del otro.
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Por lo que sólo en la situación en la que... vamos a decir x es igual a
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un múltiplo escalar de y
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Estas desigualdades, o supongo que la igualdad de esta
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desigualdad; esto se llama la desigualdad de Cauchy-Schwarz.
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Cauchy-Shwarz Desigualdad
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Así que vamos a probarlo, porque no se puede tomar algo como esto
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sólo por su valor nominal.
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Usted no debe simplemente aceptar esto.
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Así que permítanme construir una función un tanto artificial.
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Déjame construir una función de - que es una función de algúnos
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variables, algun t escalar.
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Permítanme definir el p de t a ser igual a la longitud de el
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vector t multiplicado por el vector... un escalar t por el vector y
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menos el vector x.
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Esa es la longitud de este vector.
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Esto va a ser un vector ahora.
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Eso al cuadrado.
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Ahora, antes de seguir adelante quiero hacer un
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Enfatizar algo aqui.
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Si tomo la longitud de cualquier vector, lo voy a hacer aquí.
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Digamos que tomo la longitud de un vector v.
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Quiero que aceptemos que este va a ser un numero
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positivo, o al menos es mayor o igual a 0.
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Debido a que este va a ser cada uno de sus términos al cuadrado.
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v2 al cuadrado hasta vn al cuadrado.
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Todos estos son números reales.
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Cuando se eleva al cuadrado un número real, se obtiene algo más grande que
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o igual a 0.
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Cuando se los suma, va a tener algo
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mayor o igual a 0.
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Y se toma la raíz cuadrada de la misma, la raíz cuadrada
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principal, la raíz cuadrada positiva, y vas a obtener
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algo más grande que o igual a 0.
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Por lo que la longitud de cualquier vector real va a ser mayor
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o igual a 0.
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Así que esta es la longitud de un vector real.
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Así que esto va a ser mayor o igual a 0.
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Ahora, en el video anterior, creo que fue dos vídeos atras,
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También demostre que la magnitud o el largo de un vector
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Al cuadrado también se puede escribir como el producto
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escalar de el vector por sí mismo.
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Así que vamos a escribir este vector de esa manera.
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La longitud de este vector al cuadrado es igual al
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producto escalar de ese vector por sí mismo.
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Por lo que es menos ty menos x. ty menos x
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En el último vídeo, le demostre que se puede tratar a una
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multiplicación un producto escalar muy
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similar a la multiplicación normal cuando se trata de
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a las propiedades asociativas, distributivas y conmutativas
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...
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Así que cuando se multiplican, usted sabe, se puede
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ver esto como multiplicar estos dos binomios.
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Puede hacerlo de la misma manera que usted acaba de multiplicar
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dos binomios algebraicos regulares.
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Esencialmente solo esta usando la propiedad distributiva.
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Pero recuerde, esto no es sólo la multiplicación regular.
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Este es el producto punto que estamos haciendo.
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Esta es la multiplicación de vectores, o una versión
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de multiplicación de vectores.
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Así que si nosotros lo distribuimos, esto se convertirá en Ty Ty punto.
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Así que me escriba eso.
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Eso va a ser Ty Ty punto.
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Y luego vamos a obtener un negativo - permitame hacerlo de esta manera.
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Entonces obtendremos el negativo de x por esta Ty.
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En vez de decir multiplicado por, debo ser muy
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cuidadoso y decir punto.
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Asi que menos el punto x ty.
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Y luego tienes este momento ty esta x. menos
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Entonces usted tiene menos puntos ty x.
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Y, por último, usted tiene el punto x es uno con el otro.
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Y se puede ver como menos 1x 1x punto menos.
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Se puede decir más menos 1x.
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Yo sólo podría ver esto como ± 1 o ± 1.
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Así que esto es menos 1x punto menos 1x.
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Así que vamos a ver.
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Así que a esto es lo que mi expresión completa se simplifica
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o expande.
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No puedo llamar a esto una simplificación.
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Sin embargo, podemos utilizar el hecho de que esto es conmutativo y
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asociativo para reescribir esta expresión aqui,
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Esto es igual a y punto y por t al cuadrado.
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t es un escalar.
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Menos - y, de hecho, esto es 2.
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Estas dos cosas son equivalentes.
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No son más que reorganizaciones de lo mismo y vimos que
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el producto escalar es asociativa.
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Así que esto es igual a 2 veces x punto y por t.
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Y que debería poner esto tal vez en un color diferente.
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Así que estos dos términos resultan ese término allí.
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Y luego, si usted reorganizar estos tiene un menos 1
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por menos 1.
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Se anulan, asi que esos se vuelven positivos y
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Solo nos queda x punto x
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Y debería hacerlo en un color diferente tambien.
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Lo haré en un color anaranjado.
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Así que esos términos concluyen con ese término.
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Luego, por supuesto, ese termino resulta en ese termino.
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Y recuerda, todo lo que hice fue reescribir esta
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cosa y dije: Mira.
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Esto tiene que ser mayor o igual a 0.
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Para puder reescribir eso aquí.
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Esto sigue siendo la misma cosa.
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Solamente lo reescribi
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Así que todo esto va a ser mayor o igual a 0.
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Ahora hagamos un poco más de sustitución sólo para limpiar
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nuestra expresión un poco.
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Y que luego voy a volver a sustitutuir esto.
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Vamos a definir esto como a.
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Vamos a definir esta parte aquí como b.
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Así que todo esto menos 2x punto y.
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Voy a dejar la t allí.
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Y vamos a definir esto o permitame definir esto
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aquí como c.
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X punto x como c.
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Entonces, ¿En qué se convierte nuestra expresión?
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Se convierte en a por t al cuadrado menos - Quiero ser cuidadoso
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con los colores - b por t más c.
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Y, por supuesto, sabemos que va a ser mayor que
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o igual a 0.
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Es lo mismo que este aquí, mayor a
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o igual a 0.
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Podría escribir p de t aquí.
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Ahora bien, esto es mayor o igual a 0 para cualquier t que
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ponga aquí.
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Para cualquier t real que ponga aqui.
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Permítanme evaluar nuestra función en la b sobre 2a.
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Y sin duda puedo hacer esto porque- que era a?
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Sólo tengo que asegurarme de que no estoy dividiendo por 0 en ningun lugar.
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Así que a fue un vector de puntos con si mismo.
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Y hemos dicho que esto era un vector no nulo.
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Así que este es el cuadrado de su longitud.
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Es un vector no nulo, por lo que algunos de estos términos aquí
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terminarian convirtiéndose en positivos cuando se toma su longitud.
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Así que esta cosa aquí es no nula.
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Este es un vector no nulo.
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Despues, dos por el producto escalar por si mismo también
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va a ser no nulo.
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Por lo que podemos hacer esto.
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No nos preocupamos por dividir por 0, lo que sea.
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Pero, ¿A qué será esto igual?
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Esto va a ser igual a - y me quedo con el verde.
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Se tarda demasiado tiempo para mantener cambiando entre colores.
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Esto es igual a: a por esta expresión al cuadrado.
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Por lo que es: b al cuadrado sobre 4a al cuadrado.
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Solo hago 2a al cuadrado para conseguir 4a al cuadrado.
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Menos b por este.
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Asi que b por - esto es sólo multiplicación regular.
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b por b sobre 2a.
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Sólo tiene que hacer la multiplicación regular aqui.
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Más c.
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Y sabemos que todo esto es mayor o igual a 0.
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Ahora si podemos simplificar esto un poco, ¿qué obtenemos?
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Bueno, esto se cancela con este exponente de allí y
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terminas con b al cuadrado allí.
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Así que tenemos b al cuadrado sobre 4a, menos b al cuadrado sobre 2a.
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Ese es el término ahi.
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Más c es mayor o igual a 0.
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Permítanme volver a escribir esto.
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Si multiplicamos el numerador y el denominador de este por 2,
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Que obtenemos?
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2b al cuadrado sobre 4a.
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Y el proposito de hacer esto es de conseguir un común
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denominador aquí.
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Entonces, ¿qué se obtiene?
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Usted obtiene b al cuadrado sobre 4a menos 2b al cuadrado sobre 4a..
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Entonces, ¿qué se reducen estos dos términos?
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Bueno, el numerador es b al cuadrado menos 2b al cuadrado.
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De modo que sólo se convierte en b negativa al cuadrado sobre 4a mas c
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es mayor o igual a 0.
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Estos dos términos se suman a esto aquí.
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Ahora bien, si sumamos esto a ambos lados de la ecuación, obtenemos
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c es mayor o igual a b al cuadrado sobre 4a.
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Fue un impacto negativo en el lado izquierdo.
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Si lo añado a las dos partes, va a ser positivo en
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el lado derecho.
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Nos estamos acercando a algo parecido a una desigualdad,
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así que vamos a volver sustituir nuestras sustituciones originales para ver
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lo que tenemos ahora.
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¿dónde estaban mi sustituciones originales que habia hecho?
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Aqui estaban
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Y en realidad, sólo para simplificar más, déjame multiplicar ambos
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lados por 4a.
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Dije que a, no sólo es no nulo
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tambien va a ser positivo.
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Este es el cuadrado de su longitud.
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Y ya he demostrado que la longitud de cualquier
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vector real va a ser positivo.
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Y la razón por la que estoy tomando un gran esfuerzo para demostrar que a es
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positivo es porque si multiplico ambos lados de la misma
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no quiero cambiar el signo de la desigualdad.
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Así que voy a multiplicar ambos lados de este por a antes de
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sustituirlo
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Así que obtenemos 4ac es mayor o igual a b al cuadrado.
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Ahi esta!
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Y recuerda, que hicimos grandes esfuerzos.
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Acabamos de decir que a definitivamente es un número positivo porque
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es esencialmente el cuadrado de la longitud. y punto y es el cuadrado
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de la longitud de y, y eso es un valor positivo.
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Tiene que ser positivo.
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Estamos hablando de vectores reales.
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Ahora vamos a volver a sustituir esto.
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Así que 4 por a, 4 por y punto y.
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y punto y es también - mejor reescribirlo alli.
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y punto y es lo mismo que la magnitud de y al cuadrado.
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Eso es y punto y.
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Esta es la a.
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y punto y, les mostre en el video anterior.
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Veces c.
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c es x punto x.
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Bueno x punto x es lo mismo que la
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longitud del vector x al cuadrado.
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Así que este es c.
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Así que 4 por a por c va a ser mayor que
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o igual al b al cuadrado.
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Ahora lo que era b? b era esta cosa aqui.
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Por lo tanto b al cuadrado sería 2 por x punto y al cuadrado.
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Así que hemos llegado a este resultado hasta el momento.
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Así que, ¿qué podemos hacer con esto?
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Oh, lo siento, y todo esto se eleva al cuadrado.
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Todo esto de aquí es b.
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Así que vamos a ver si podemos simplificar esto.
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Por lo que tenemos - quiero cambiar a un color diferente.
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4 veces la longitud de y al cuadrado por la longitud de x
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al cuadrado es mayor o igual a - si elevamos esto al cuadrado
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aquí, tenemos 4 por x punto y.
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4 por x punto y por x punto y.
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En realidad, mejor aún, lo acabare de escribir que de esta manera.
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Permítanme escribir 4 por x punto y al cuadrado.
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Ahora podemos dividir ambos lados por 4.
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Eso no va a cambiar nuestra desigualdad.
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Así que eso simplemente se cancela ahí.
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Y ahora vamos a sacar la raíz cuadrada de ambos
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lados de esta ecuación.
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Entonces, las raíces cuadradas de ambos lados de esta ecuación - estos
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son valores positivos, por lo que la raíz cuadrada de este lado es
-
la raíz cuadrada de cada uno de sus términos. Eso es
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sólo un exponente de la propiedad.
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Así que si usted toma la raíz cuadrada de ambos lados se obtiene la
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longitud de y por la longitud de x es mayor o igual
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a la raíz cuadrada de esto.
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Y vamos a sacar la raíz cuadrada positiva.
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Vamos a sacar la raíz cuadrada positiva de ambos
-
lados de esta ecuación.
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Esto nos evita tener que meterse con nada en el
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la desigualdad ni nada de eso.
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Así que la raíz cuadrada positiva va a ser el valor absoluto
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del punto x y.
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Y quiero ser muy cuidadoso en decir que es le valor absoluto
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porque es posible que esta cosa aquí es
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un valor negativo.
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Pero cuando se eleva al cuadrado, hay tener cuidado cuando
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se toma la raíz cuadrada de la misma que
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permanece un valor positivo.
-
Porque de lo contrario, cuando tomamos la raíz cuadrada principal,
-
Podemos meternos con la desigualdad.
-
Estamos tomando la raíz cuadrada positiva, que sera -
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así que si usted toma el valor absoluto, está asegurándose
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De que va a ser positivo.
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Pero este es nuestro resultado.
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El valor absoluto del producto escalar de los vectores es menor
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que el producto de las dos longitudes de los vectores.
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Así que obtubimos la desigualdad de Cauchy-Schwarz.
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Ahora lo último que dije es, ¿qué ocurre si x es
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igual a un múltiplo escalar de y?
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Bueno, en ese caso, ¿cuál es el valor absoluto?
-
El valor absoluto de x punto y?
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Bueno, eso es igual - que es igual a qué?
-
Si hacemos la sustitución eso es igual al valor absoluto
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de c por y.
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Eso es punto y x, lo que equivale a, sólo
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utilizando la propiedad asociativa.
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Es igual al valor absoluto de c por - queremos
-
asegurarnos de que nuestro valor absoluto... mantener todo positivo.
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y punto y.
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Bueno, esto es igual a c por la magnitud de y - la
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longitud de y al cuadrado.
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Así que eso es igual a la magnitud de c por - o el
-
valor absoluto de nuestra escalar c por la longitud de y.
-
Bueno esto de aquí, puedo reescribir esto.
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Quiero decir que puedes probar esto a ti mismo si no lo crees
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pero esto - podríamos poner la c dentro de la magnitud
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y eso puede ser un buen ejercicio para poder probarlo.
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Sin embargo, es bastante sencillo.
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Solo acaba de hacer la definición de longitud.
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Y lo multiplicas por c.
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Esto es igual a la magnitud de la cy por - digamos
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la longitud de cy por la longitud de y.
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He perdido mi notación vectorial en alguna parte.
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Aqui esta.
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Ahora bien, esto es x.
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Así que esto es igual a la longitud de x por la longitud de y.
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Les mostré algo de la segunda parte de la desigualdad
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Cauchy-Schwarz, donde esto sólo es igual al otro
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si uno de ellos es un múltiplo escalar del otro.
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Si usted esta un poco incómodo con algunos de los
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los pasos que tomé, podría ser un buen ejercicio
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actualmente probarlo
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Por ejemplo, para demostrar que el valor absoluto de c por
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la longitud del vector y es lo mismo que
-
la longitud de c por y.
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De todos modos, espero que hayan encontrado esto muy útil.
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La desigualdad de Cauchy-Schwarz la usaremos mucho cuando probemos
-
otros resultados en álgebra lineal.
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Y en un vídeo futuro, les voy a dar un poco más de
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intuición acerca de por qué esto tiene mucho sentido en relación con el
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punto del producto.
