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U-substitution Example 3

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    √(7x+9)의 부정적분을
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    계산해 봅시다
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    제 첫 질문은 이 문제가 과연
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    u-치환에 적절한 예시일까요?
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    문제를 보시면, u를 7x+9로
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    설정하는 것이 자연스러운 것 같습니다
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    그런데 이 문제의 어디에서 도함수를 찾죠?
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    글쎄요 한번 봅시다
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    만약 u를 7x+9로 설정하면
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    x에 관한 도함수는 무엇이 될까요?
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    x에 관한 도함수는
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    바로 7이 될 것입니다
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    7x의 도함수는 7이고
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    9의 도함수는 0이니까요
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    그럼 이 문제에서 7을 찾을 수 있나요?
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    아뇨 그러지 못하네요
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    과연 정적분의 값을 안바꾸면서도
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    7을 찾기 위해 어떻게 해야 할까요?
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    우리가 많이 봐왔으며 가장 중요한 것은
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    정적분을 계산할 때
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    스칼라는 적분기호 안과 밖을
    쉽게 오갈 수 있다는 것입니다
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    만약 a 스칼라 배의 f(x)dx의
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    정적분을 계산할 때
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    이는 f(x)dx의 정적분 값의 a배와 같습니다
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    함수의 스칼라 배의 정적분과
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    함수의 정적분 값을 스칼라 배 한 것은 같습니다
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    이것을 바로 옆에 두겠습니다
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    이를 사용해, 우리가 무언가로 곱하고 나누어
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    7이 나타나게 할 수 있을까요?
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    글쎄요, 우리는 7을 곱하고 나눌 수 있습니다
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    이것을 상상해보세요
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    원래 정적분 문제를 다시 쓰겠습니다
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    밑으로 넘어가기 위해
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    작은 화살표를 하나 그리겠습니다
  • 1:42 - 1:44
    우리는 원래 정적분에 1/7과 7을 곱하고
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    뒤에 √(7x+9) dx를 붙여서
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    다시 쓸 수 있습니다
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    1/7을 정적분의 밖으로
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    뺄 수 있습니다
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    그럴 필요는 없지만 다시 쓰자면
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    이것은 7√(7x+9) dx의 정적분 값의
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    1/7배가 됩니다
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    u를 7x+9로 설정했으면
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    이제 우리는 도함수를 찾을 수 있나요?
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    당연하죠
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    7은 바로 여기 있거든요
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    du를 다른 방식으로 쓰면
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    du는 7dx입니다
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    그래서 du는 dx의 7배이죠
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    이 부분들은 du와 같습니다
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    u에 관해서 신경을 쓰고 싶다면
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    그것은 바로 7x+9입니다
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    이것이 u입니다
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    그럼 u에 관한 문자로 이 부정적분을 다시 써보죠
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    이것은 정적분의 1/7배와 같은데요
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    7을 맨 뒷부분에 놓겠습니다
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    그러면 √u du라고 다시 쓸 수 있으며
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    dx의 7배는 du입니다
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    이것을 다시 1/2제곱을 바꿔 쓸 수 있습니다
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    이것은 우리가 적분 규칙을 쓰기
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    쉽게 만들어 줍니다
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    그래서 우리는 이 식을 u 1/2제곱 du의
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    정적분 값의 1/7배라고 쓸 수 있습니다
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    더 깔끔하게 만들어보죠
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    같은 색으로 쓰기 위해서
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    이 u를 하얀색을 쓸게요
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    du는 이 du와 같습니다
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    √u의 부정적분은 뭘까요?
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    우리는 u의 지수를 1 증가시켜서
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    1/7을 앞으로 빼놓는 것을
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    잊지 않으면서
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    1/7배가 될 것입니다
    여기서 지수를 증가시키면
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    1/2더하기 1인 3/2가 u의 지수가 됩니다
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    그래서 u의 3/2이 됩니다
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    그리고 이 수에 3/2의 역수인
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    2/3을 곱합니다
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    그리고 (2/3)u의 3/2제곱의 도함수가
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    u의 1/2 제곱임을 확인해보세요
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    이렇게 값을 얻었습니다
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    전체 부정적분에 1/7배를 할 때부터
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    우리는 괄호 안으로
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    c를 집어 넣을 수 있습니다
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    상수가 있어야 하니까요
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    1/7을 분배할 수도 있습니다
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    결과적으로 (2/21)u의 3/2제곱을 얻습니다
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    (1/7)c는 그냥 다른 상수로
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    바뀌어도 됩니다
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    이런식으로 그 상수를 써보겠습니다
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    전 상수를 c1, 이 상수를 c2라고 하죠
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    그냥 임의의 상수일 뿐입니다
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    그럼 끝났네요
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    오, 아직 안끝났네요
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    아직 u에 관한 식이 남아있네요
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    치환을 해제해 봅시다
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    (2/21)u의 3/2제곱을 구할 때
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    우리는 u가 무엇인지 이미 압니다
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    u는 바로 7x+9이죠
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    단조로움을 없애기 위해 새로운 색을 넣겠습니다
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    그래서 이 수는
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    (2/21)*(7x+9)의 (3/2)제곱 +c가 됩니다
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    그럼 됐네요
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    처음에 u-치환이 적용되는 것 같지 않아
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    명백해보이지 않더라도
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    어려운 적분을 풀 수 있게 되었습니다
  • 5:32 - 5:32
Title:
U-substitution Example 3
Description:
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Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
05:33

Korean subtitles

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