-
Neurčitý integrál
druhé odmocniny z (7x plus 9) dx.
-
Má první otázka zní,
lze použít substituci?
-
Přirozeně by nás napadlo
označit 7x plus 9 jako 'u',
-
ale vidíme tu derivaci tohoto výrazu?
-
Podívejme se, bude-li 'u' rovno 7x plus 9,
jaká bude derivace 'u' podle 'x'?
-
Derivace 'u' podle 'x' by byla 7.
-
Derivace 7x je 7, derivace 9 je 0.
Vidíme tu tedy někde 7?
-
Nevidíme.
-
Ale co můžeme udělat,
abychom ji tu měli
-
a zároveň nezměnili hodnotu integrálu?
-
U integrálů je dobré to, že čísla
se snadno dostávají z a do integrálů.
-
Pro připomenutí,
máme-li integrál 'a' krát f(x) dx,
-
je to stejné jako
'a' krát integrál f(x) dx.
-
Násobím-li integrand nějakým číslem,
mohu to číslo „vytknout“ před integrál.
-
Dám to tedy bokem.
-
Víme-li to, můžeme to něčím vydělit
a vynásobit tak, abychom tu dostali 7?
-
Můžeme to vynásobit a vydělit 7.
Přepišme tedy původní integrál.
-
Nakreslím tu šipku, abychom to tu obešli.
-
Integrál z (1 lomeno 7) krát 7
krát odmocnina z (7x plus 9) dx.
-
(1 lomeno 7) tedy můžeme
vytknout před integrál, chceme-li.
-
(1 lomeno 7) krát integrál z
7 krát odmocnina (7x plus 9) dx.
-
Pokud nyní bude 'u' rovno 7x plus 9,
máme tu někde derivaci tohoto výrazu?
-
Jistě! 7 máme přímo zde,
víme, že 'du' ve tvaru diferenciálu…
-
'du' je rovno 7 krát dx.
Tato část je rovna 'du'.
-
'u' bude 7x plus 9.
-
Přepišme integrál do proměnných 'u'.
-
Bude to (1 lomeno 7) krát integrál z…
-
7 dám na konec, 7 dx je 'du'.
Píšu odmocninu z 'u' krát 'du'.
-
Odmocninu z 'u' mohu přepsat na
'u na (1 lomeno 2)', je to pak snazší.
-
Bude to rovno (1 lomeno 7) krát integrál z
'u na (1 lomeno 2)' krát 'du'.
-
Označím to barevně stejně jako předtím.
-
Jaká je primitivní funkce k
'u na (1 lomeno 2)'?
-
Zvyšujeme mocninu 'u' o 1,
bude to tedy…
-
Nesmím zapomenout na (1 lomeno 7).
-
(1 lomeno 7) krát 'u na (3 lomeno 2)',
to vynásobíme převrácenou hodnotou,
-
tedy krát (2 lomeno 3).
-
Chci abyste si ověřili, že derivace
(2 lomeno 3) krát 'u na (3 lomeno 2)
-
je opravdu 'u na (1 lomeno 2)'.
-
Jelikož násobíme celý integrál,
přidáme sem i konstantu C.
-
Roznásobme (1 lomeno 7).
-
(1 lomeno 7) krát (2 lomeno 3)
je (2 lomeno 21),
-
(1 lomeno 7) krát konstanta
je nějaká jiná konstanta.
-
Mohl bych je od sebe rozlišit indexem,
ale je to prostě jen nějaká konstanta.
-
A jsme hotovi…
-
Vlastně nejsme.
-
Stále máme výsledek v proměnné 'u',
dosaďme tedy za 'u'.
-
(2 lomeno 21) krát 'u na (3 lomeno 2)'
a víme, že 'u' je (7x plus 9).
-
Použiji novou barvu,
aby to nebylo tak jednotvárné.
-
(2 lomeno 21) krát
'(7x plus 9) na (3 lomeno 2)' plus C.
-
A jsme hotovi!
-
Tento integrál jsme, ačkoliv to nebylo
ihned zřejmé, vyřešili pomocí substituce.
Khan Academy
