Остатък от полином на Тейлър (част 2)

Колкото повече членове имаме в полиномиално приближение на Тейлър на дадена функция, толкова по-близо сме до функцията. Но колко близо? В това видео доказваме грешката на Лагранж като граница на полиномите на Тейлър. Създаден от Сал Кан.

Гледай следващия урок: https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-series/bc-taylor-series/v/lagrange-error-bound-for-sine-function?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=APCalculusBC

Пропусна предишния урок? https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-series/bc-taylor-series/v/error-or-remainder-of-a-taylor-polynomial-approximation?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=APCalculusBC

За Кан Академия: Кан Академия предлага практически упражнения, видеоуроци и лично учебно пространство, където учениците могат да учат със собствено темпо както в класната стая, така и извън нея. Покриваме математика, наука, програмиране, история, история на изкуството, икономика и други. Нашите математически мисии напътстват учениците още от детската градина чак до момента, в който им се налага да използват математически анализ. За да постигнем това, използваме модерни, адаптиращи се технологии, които намират силните и слабите страни на всеки ученик. Също така си партнираме с институции като НАСА, Музея за модерно изкуство, Калифорнийската академия на науките и Масачузетския технологичен институт, за да съумеем да предложим конкурентно специализирано съдържание.

Безплатно. За всекиго. Завинаги. #YouCanLearnAnything
#МожешДаНаучишВсичко

Абонирай се за канала Математически анализ 2 на Кан Академия:
https://www.youtube.com/channel/UC5A2DBjjUVNz8axD-90jdfQ?sub_confirmation=1
Абонирай се за Кан Академия: https://www.youtube.com/subscription_center?add_user=khanacademy
Каналът на Кан Академия на български език е:
https://www.youtube.com/user/KhanAcademyBulgarian

В предходното видео започнахме
да разсъждаваме върху функция на грешката.

Това не трябва да се бърка
с очаквана стойност,

макар да се използва същия
начин на записване.

Тук Е означава грешка (error).

Можем също така да го срещнем
и като функция на остатъка.

Всъщност това е просто
разликата

между функцията и
апроксимацията на функцията.

Например това разстояние
ето тук, това е нашата грешка.

Това е грешката за x = b.

Като ни интересува абсолютната
стойност на това.

Защото в някои точки f(х) може да е
по-голяма от стойността на полинома.

А понякога полиномът може
да има по-голяма стойност от функцията.

Интересува ни абсолютното
разстояние между тях.

В това видео искам да опитаме
да намерим граница на грешката

в някаква точка b.

Да намерим граница на грешката.

Да кажем, че е по-малка
или равна на някаква константа.

Да намерим граница в точка b,
като b е по-голямо от а.

Приемаме, че b е по-голямо от а.

Стигнахме до един обещаващ
резултат,

който подсказва, че е
възможно да намерим граница.

Видяхме, че (n + 1)-та производна
на функцията на грешката

е равна на (n + 1)-та производна
на нашата функция.

Или техните абсолютни стойности
също ще са равни.

Ако можем някак да намерим
граница на (n + 1)-та производна

на функцията в някакъв интервал,
който ни интересува,

интервал, който съдържа b,

тогава ще можем да намерим граница
поне за (n + 1)-та производна на функцията на грешката.

И тогава може би ще можем

да интегрираме, за да намерим границата
на грешката за някаква стойност на b.

Да видим дали можем
да го направим.

Нека да приемем, че
имаме случай, в който

знаем нещо за (n + 1)-та
производна на f(х).

Да кажем, че знаем...

Ще използвам цвят,
който не съм използвал досега.

Ще използвам бяло.

Да кажем, че това тук
изглежда ето така.

Това е (n + 1)-та производна на f.

Тя ме интересува само
в този интервал.

Не ме е грижа какво се случва после,
искам границата в този интервал,

защото накрая искам просто
да знам границата за това b.

Да кажем, че това е
абсолютната стойност на това.

Да приемем, че знаем –
ще го запиша –

знаем абсолютната стойност
на (n + 1)-та производна.

Извинявам се, преминавам от N и n,
направих го и в миналото видео.

Не трябваше, но
си признавам и се надявам,

че това не те е объркало.

Да кажем, че знаем
(n + 1)-та производна

на f(х), абсолютната ѝ стойност,
да кажем, че тя има граница.

Да кажем, че е по-малка
или равна на някакво М

в интервала, който
ни интересува.

Може да няма граница по принцип,
но сега

търсим някаква максимална
стойност в този интервал.

В интервала х...
ще го напиша така:

в интервала х принадлежи
между а и b, включително a и b.

Това е затворен интервал,
х може да е а,

може да е b, или х може
да е всяка стойност между тях.

И можем да кажем, че
тази производна принципно

ще има някаква
максимална стойност.

Това е нейната максимална
стойност, от тук М.

Знаем, че ще има максимална стойност,
ако функцията е непрекъсната.

Отново, ще приемем,
че е непрекъсната,

и че има максимална стойност
в този интервал тук.

Това тук, знаем, че това
е равно на

(n + 1)-та производна
на функцията на грешката.

Знаем, че това означава, че...

това е нов цвят, ще използвам синьо,
или това зелено.

Това предполага, че (n + 1)-та производна на функцията на грешката,

абсолютната стойност, защото

те са едно и също, също
има граница М.

Това е доста интересен резултат,
но все пак не стигаме доникъде.

Изглежда подобно, но това е
(n + 1)-та производна на функцията на грешката.

Трябва да измислим как
да намерим М след това.

Да допуснем, че някак си
знаем, и може би

можем да решим някакви
примери, за да я намерим.

Но това е (n + 1)-та производна.

Ограничихме абсолютната
ѝ стойност, но

всъщност искаме да ограничим
действителната функция на грешката.

Производната е 0, можем
да кажем, че е самата функция.

А ако опитаме да интегрираме
двете страни на това и да видим

дали евентуално няма
да получим Е(х).

Да получим нашата функция на грешката или функция на остатъка, хайде да видим.

Да интегрираме двете
страни на това.

Интеграл от лявата страна,
това е интересно.

Взимаме интеграл
от абсолютната стойност.

Ще е по-лесно, ако вземем
абсолютната стойност на интеграла.

За наш късмет, по начинът,
по който е съставен –

ще го напиша тук отстрани.

Принципно знаем, че ако вземем...
това е нещо, за което да помислиш.

Ако взема – като тук
имам два варианта,

този вариант спрямо този, и знам, че
те в момента изглеждат еднакви.

В този момент изглеждат
еднакви.

Ето тук ще взема интеграл
от абсолютната стойност

а тук ще взема абсолютната
стойност на интеграла.

Кое от двете ще е по-голямо?

Да разгледаме сценариите.

Ако f(х) е винаги положителна
в интервала

на интегриране, тогава
те ще са равни.

Те ще имат положителни
стойности,

абсолютните стойности на
положителни стойности

са същите като тях.

Това има значение,
когато f(х) е отрицателна.

Ако f(х) е отрицателна
през цялото време,

ако това е оста х ,
това е оста у.

Ако f(х), да видим, ако
е положителна през цялото време,

взимаме абсолютната
стойност на нещо положително.

Това няма значение,
тези двете са равни.

Ако f(х) е отрицателна
през цялото време, тогава

интегралът ще оценява
отрицателна стойност.

Но тогава ще вземем
абсолютната стойност от него.

И тогава тук интегралът ще има

положителна стойност, и отново
ще бъдат равни.

Интересният случай е,
когато f(х) е едновременно

и положителна, и отрицателна,
можеш да си представиш това.

Ако f(х) е нещо такова, тогава

това тук, интегралът,
ще бъде положителен.

Това тук ще е положително,
а това тук ще е отрицателно.

И те ще се унищожат взаимно.

Така че тази стойност ще е по-малка,

ако вземем интеграл
от абсолютната стойност.

Интегралът, абсолютната стойност
на f ще бъде нещо такова.

Всички тези области ще бъдат,
ако ги разглеждаме като интеграл,

това ще бъде определен интеграл.

Всички тези области ще
бъдат положителни.

Тогава ще получим

по-голяма стойност, ако вземем
интеграл от абсолютната стойност.

Тогава, особено ако f (х)

е едновременно и положителна,
и отрицателна в този интервал,

тогава ако първо интегрираме,
а после вземем абсолютната стойност.

Повтарям, ако първо интегрираме,
за нещо като това,

ще получим по-малка стойност,
защото тези ще се унищожат,

ще се унищожат с тези тук,
и тогава

ако вземем абсолютната стойност,
тя ще е по-малка по големина.

Принципно, интегралът,

извинявам се, абсолютната
стойност на интеграла,

ще бъде по-малка или равна
на интеграла от абсолютната стойност.

Можем да кажем, че това тук
е интеграл от

абсолютната стойност, който
ще бъде по-голям или равен.

Точно това написахме тук.

Това ще е по-голямо или
равно на...

само след секунда ще видиш
защо правя това.

по-голямо или равно на
абсолютната стойност на

интеграл от (n + 1)-та производна.

(n + 1)-та производна от х, dх.

Причината това да е полезно,
е, че можем все пак

да запазим знака за неравенство,
това по-малко или равно на това,

но този интеграл
се решава много лесно.

Примитивната функция
на (n + 1)-та производна

е равна на n-тата производна.

Това нещо ето тук.

Това е равно на абсолютната
стойност на n-тата производна,

абсолютната стойност на
n-тата производна на функцията на грешката.

Казах ли очакваната стойност?
Не трябва да го казвам.

Даже и аз се обърквам.
Това е функция на грешката.

Трябваше да използвам r
за остатък (remainder).

Това навсякъде е грешка е.

В това видео няма нищо
за вероятности и очаквана стойност.

Това е "Е" за грешка (error).

Значи това ще бъде
n-тата производна на

функцията на грешката, която
ще бъде по-малка или равна на това.

Която е по-малка или равна
на примитивната функция от М.

Това е константа.

Това ще бъде Мx.

И понеже това е
неопределен интеграл,

не трябва да забравяме,
че тук имаме константа.

Принципно, когато се опитваме
да намерим горна граница,

искаме горната граница е
да е възможно най-ниска.

Искаме да минимизираме
тази константа.

За наш късмет
знаем колко е това,

знаем стойността на
функцията в тази точка.

Знаем, че n-тата производна
на функцията на грешката в а е 0.

Мисля, че го записахме
ето тук.

n-тата производна
в а е равна на 0.

Това е така, защото n-тата
производна на функцията

и апроксимацията съвпадат
в точка а..

Ако сметнем двете
страни на това за а,

ще го направя тук отстрани –
знаем абсолютната стойност

знаем абсолютната стойност
на n-тата производна за а,

че това нещо е равно
на абсолютната стойност от 0,

което е нула.

Което трябва да е по-малко или равно
на това, което сметнем тук за а,

което е по-малко или равно
на Ма + с.

И сега можем, ако
погледнем тази част

на неравенството, можем
да извадим М от двете страни.

Получаваме – Ма е по-малко
от или равно на с.

Значи нашата константа тук,
въз основа на това условие,

което изведохме в
предното видео,

нашата константа е по-голяма
или равна на –Ма.

Ако искаме да минимизираме
константата, ако искаме да е възможно най-малката

граница, ще трябва да изберем
с да е равно на –Ма.

Това е възможно най-малкото с,
което може

да отговори на тези условия,
които знаем, че са изпълнени.

Значи ще изберем с
да е равно на Ма.

След това ще преработим
цялото това нещо,

като абсолютната стойност на
n-тата производна на функцията на грешката,

не очакваната стойност –

имам странното подозрение,
че може би казах очаквана стойност.

Това е функция на грешката.

n-тата производна.

Абсолютната стойност на
n-тата производна на функцията на грешката

е по-малка или равна на М по (х – а).

И отново всички условия
са изпълнени.

Това е за х, което
е част от този интервал,

затворения интервал от а до b.

Изглежда, че напредваме.

Поне се придвижихме от (n +1)-та
производна до n-тата производна.

Да видим дали можем
да продължим.

Принципът е същият.

Ако знаем това, тогава знаем, че

можем да интегрираме
двете страни на това.

Интегрираме двете страни на това,

примитивните функции
на двете страни.

И знаем от това, което
установихме тук горе,

че нещо, което е даже
по-малко от това тук,

е абсолютната стойност
на интеграла от очакваната стойност.

Е, казах го, ха-ха-ха.

От нашата функция на грешката,
не очакваната стойност.

От нашата функция на грешката.

n-тата производна
от функцията на грешката от х, dх.

Знаем, че това е по-малко
или равно по същата логика.

Това е полезно, защото
това ще бъде

(n – 1)-та производна от функцията
на грешката от х.

И разбира се отвън
имаме знак за абсолютна стойност.

Това ще бъде по-малко от
или равно на това,

което е по-малко или равно на това,
което е по-малко или равно на това тук.

Примитивната функция на това тук
ще бъде

М по (х – а)^2 върху 2.

Можем да интегрираме
със заместване или да кажем просто:

Имаме този израз тук,
производната му е 1.

Това е очевидно, така че
го приемам за нашето u.

Повдигаме на степен и после
делим на степенния показател

Повтарям, че това
е определен интеграл.

Значи тук ще има + с.

Ще използваме същата логика.

Ако изчислим това за а,
ще го получим...

Да сметнем двете страни за а.

Лявата страна, сметната
за а, ще бъде 0.

Установихме го тук горе,
в миналото видео.

Сега ще го направим отдясно.

Получаваме 0, когато
изчисляваме лявата страна за а.

Дясната страна за а, ако
я сметнем,

ще получим М по (а – а)а^2 върху 2.

Получаваме 0 плюс с, така че става
0 е по-малко или равно на с.

Повтарям – искаме
да минимизираме константата,

искаме да минимизираме
горната граница тук.

Искаме да изберем най-малкото
възможно с при тези условия.

Най-малкото възможно с,
което отговаря на условията, е 0.

Основната идея тук е, че
ако продължим по този начин,

ако правим същото това нещо
чак до...

ако продължим да интегрираме
по същия начин, както го направихме,

и използваме същото свойство,

ако го правим, докато стигнем
границата на функцията за х.

Можем да разглеждаме това
като 0-а производна.

Ако го направим чак
до 0-та произодна,

която е самата функция на грешката.

Границата на функцията
на грешката ще бъде

по-малка или равна на...
на колко ще е равна?

Сигурно вече забеляза
закономерност.

Ще бъде М по (х – а),

степенният показател, единият
начин да разсъждаваме за него, е

плюс тази производна, ще бъде
равно на (n + 1).

Производната е нула, така че
степенният показател ще е n + 1.

Какъвто и да е степенният показател,
ще имаме n-та, може би

ще имаме (n + 1)! тук.

Може да попиташ откъде
дойде този (n + 1)!

тук имаше само 2.

Спомни си какво се случва,
когато интегрираме отново това.

ще повишим това на трета степен,
после ще разделим на три.

Значи в знаменателя ще стане
2 по 3.

Когато интегрираме отново,
ще повдигнем

на четвърта степен и ще
разделим на четири.

Тогава знаменателят
ще стане 2 по 3, по 4.

Това е 4!.

На каквато степен повдигаме, знаменателят
става равен на същия факториел.

Особено интересно тук е дали

ще успеем да определим
максималната стойност на функцията.

Можем ли да определим максималната
стойност на функцията тук.

Сега можем да ограничим
нашата функция на грешката

в този интервал между а и b.

Например, функцията
на грешката при b,

можем да я ограничим, ако
знаем колко е М.

Можем да кажем, че функцията на грешката
за b е по-малка или равна на М

по (b – а) на степен (n + 1)
върху (n + 1)!

Така получаваме страшно
полезен резултат,

заради математиката
зад него.

И после ще видим някои примери,
където ще го приложим.