-
V tomto videu spočítáme derivaci podle x
z (x na druhou krát sin(x)) na třetí.
-
Zajímavé na tom je, že to lze
spočítat různými způsoby.
-
Zastavte si teď video a zkuste
to spočítat samostatně.
-
Můžete použít
vícero postupů.
-
Jedním z nich je nejdřív použít
pravidlo pro derivaci složené funkce.
-
Napíšu tu C.R., aby bylo vidět, že jako
první bude derivace složené funkce.
-
Hledáme derivaci podle x
z něčeho na třetí.
-
Když to tedy zderivujeme, bude to
derivace podle toho něčeho,
-
což je 3 krát to
něco na druhou,
-
krát derivace podle x
z toho něčeho,
-
přičemž ono něco je v našem
případě x na druhou krát sin(x).
-
Jen jsem použil pravidlo
pro derivaci složené funkce.
-
Čemu se rovná
tato druhá část?
-
Vyznačím to jinou barvou,
třeba oranžovou.
-
Zde musíme použít
vzorec pro derivaci součinu.
-
Máme součin dvou výrazů,
takže zderivujeme...
-
Raději to napíšu.
-
Nyní tedy používáme
pravidlo pro derivaci součinu.
-
Musíme zderivovat
první výraz...
-
Derivace x na
druhou je 2 krát x.
-
Napíšu to
víc doprava.
-
Bude to 2 krát x krát
druhý výraz, tedy krát sin(x),
-
plus první výraz krát derivace
druhého výrazu, tedy krát cos(x).
-
Jen jsem na tuto část použil
pravidlo pro derivaci součinu.
-
Tohle celé samozřejmě násobíme
celým tímhle výrazem vepředu,
-
takže to napíšu.
-
Tohle celé mohu
napsat jako 3 krát...
-
Když máme součin dvou
věcí umocněný na druhou,
-
tak můžeme obě umocnit na
druhou a až pak je vynásobit.
-
(x na druhou) na druhou
je x na čtvrtou
-
a sin(x) na druhou je
sinus na druhou v bodě x.
-
Tohle celé pak vynásobíme
tímhle výrazem.
-
Kdybychom chtěli, mohli bychom
to algebraicky nějak zjednodušit.
-
Můžeme to takhle
roznásobit.
-
Co nám
pak vyjde?
-
Pojďme na to.
-
3 krát 2 je 6, x na čtvrtou
krát x je x na pátou,
-
sinus na druhou v bodě x krát
sin(x) je sin(x) na třetí.
-
Poté plus 3...
-
x na čtvrtou krát
x na druhou je x na šestou
-
a pak tam ještě bude sinus na druhou
v bodě x vynásobený kosinem.
-
To je jeden možný postup, nejprve derivace
složené funkce, potom derivace součinu.
-
Jaký by byl další
možný postup?
-
Zastavte si video a zkuste
se nad tím zamyslet.
-
Nejdříve bychom mohli využít
vlastnosti mocnin z algebry.
-
Pokud to uděláme,
dostaneme derivaci podle x z...
-
Když výraz x na druhou
krát sin(x) mocníme na třetí,
-
tak (x na druhou) na třetí je x na
šestou, tohle krát sin(x) na třetí.
-
Používám stejnou
vlastnost mocnin,
-
kterou jsme tady použili při
zjednodušování tohoto výrazu.
-
Když máme součin dvou věcí
umocněný na nějakou mocninu,
-
tak je to totéž jako každou věc umocnit
na danou mocninu a pak to vynásobit.
-
Jak teď
spočítáme tohle?
-
Já bych nejprve použil
pravidlo pro derivaci součinu.
-
Tak to udělejme.
-
Použijme pravidlo
pro derivaci součinu.
-
Bude to derivace
prvního výrazu...
-
Derivace x na šestou je
6 krát x na pátou.
-
...krát druhý výraz, tedy krát sinus
na třetí v bodě x neboli sin(x) na třetí,
-
plus první výraz, tedy x na šestou,
krát derivace druhého výrazu,
-
kterou zatím napíšu jen jako
d lomeno dx z sin(x) na třetí.
-
Abychom
spočítali tohle,
-
určitě dává smysl použít pravidlo
pro derivaci složené funkce.
-
Čemu se tohle
tedy bude rovnat?
-
Máme derivaci
něčeho na třetí,
-
takže to bude 3 krát to něco na
druhou krát derivace toho něčeho.
-
V našem případě se ono něco rovná
sin(x) a derivace sin(x) je cos(x).
-
K tomu ještě
musíme přičíst tohle,
-
takže to bude 6 krát x na pátou
krát sin(x) na třetí plus x na šestou.
-
Kdybych tohle ještě
trochu zjednodušil...
-
I když už
asi dobře vidíte,
-
že tyto dva výrazy
jsou si rovny.
-
Tento člen se přesně rovná
tomuto členu, je i stejně napsaný,
-
a tenhle člen
je přesně...
-
Když tady roznásobíme, je to 3 krát x na
šestou krát sin(x) na druhou krát cos(x).
-
Na matematice je hezké to, že když
postupujeme v souladu s logikou,
-
měli bychom se
dobrat téhož výsledku.
-
Hlavní na tom všem je, že
existuje více možných postupů.
-
Nejprve můžete zderivovat
složenou funkci, pak součin,
-
nebo nejprve součin
a pak složenou funkci.
-
V tomto případě není úplně
jasné, co je rychlejší.
-
Vypadá to, že postup vpravo
je trochu rychlejší, ale někdy...
-
Oba byly skoro
stejně rychlé.
-
Někdy však bude jasné,
který z postupů je lepší použít.
-
Je totiž dobré
minimalizovat počet kroků,
-
protože v nich akorát můžeme
udělat zbytečné chyby.
Khan Academy
