Задача с повишена трудност за ъгли на триъгълник - 2

Смятам да реша още няколко задачи
с триъгълници. В първата се казва,

че мярката на най-големия ъгъл в един триъгълник
е 4 пъти мярката на втория по големина ъгъл.

Най-малкият ъгъл е 10 градуса. Какви са мерките
на всички ъгли?

Знаем, че един от тях е 10 градуса.

Нека тук начертаем един произволен триъгълник.
Да кажем, че това е нашият триъгълник.

Знаем, че най-малкият ъгъл ще е 10 градуса
и нека приемем, че това тук

е мярката на най-малкия ъгъл. Тя е 10 градуса.
Да видим втория по големина ъгъл,

да го означим с х. И в първото
изречение се казва, че мярката

на най-големия ъгъл в триъгълника е
4 по мярката на втория по големина ъгъл.

Ако вторият по големина ъгъл е х,
4 по тази мярка ще е 4х.

Най-големият ъгъл ще е 4х.

За мерките на триъгълника знаем, че общият им сбор е 180 градуса.

Тоест знаем, че 4х + х + 10 градуса ще е равно на 180 градуса.

4х + х е 5х. И после имаме 5х + 10 равно
на 180 градуса. Изваждаме 10 от двете страни,

получаваме 5х = 170. Така че х = 170/5.

5 ще се впише 34 пъти в 170. Ще проверя.

5 се вписва 34 пъти в 170. Пет ще се вмести
в него два пъти повече от 10.

10 ще се вмести 17 пъти в 170, за 5 ще са 34 пъти.

Можем да направим проверка. 3 по 5 е 15.
Изваждаме, получаваме 2. Смъкваме 0.

5 се съдържа в 20 четири пъти. Тогава
имаме остатък. 4 по 5 е 20.

Няма остатък. Т.е. отговорът е 34.
х = 34

Вторият по големина ъгъл има мярка 34 градуса.
Този ъгъл тук горе ще е 4 по толкова.

Така 4 пъти по 34 ще е 120 градуса
плюс 16 градуса. Това ще даде

136 градуса. Така ли е?
4 по 4 е 16. 4 по 30 е 120.

16 плюс 120 е 136 градуса. И сме готови.

Трите мерки, или големините на трите ъгъла,
са 10 градуса, 34 градуса и 136 градуса.

Нека решим друг пример.

Да видим. Тук имаме нещо подобно на чертеж.

Искам да помислим за различни неща.

Можем да намерим х.
Приемам, че 4х е мярката на този ъгъл.

2х е мярката на онзи ъгъл там.

Можем да намерим х, и ако знаем х, можем да намерим

реалните мерки на тези ъгли. Повтарям, ако намерим х.

И друго нещо, тази права тук
е успоредна на тази права тук.

Добре е показана, защото е успоредна,
но едната спира тук, а другата проблясва тук.

Първо, ако ни е казано, че тези две прави са успоредни,

вероятно ще има някакво пресичане или нещо такова.

Може да е нещо, включващо триъгълници.

И човек отначало може да каже:
“Чакай, този ъгъл и онзи противоположни ли са?

Но трябва много да внимаваме. Не са противоположни. Това не са едни и същи прави.

Тази права е успоредна на онази права.
Правата, с която се среща там.

Така че не можем да приемем нещо такова.

Не съм сигурен дали това ще ни отведе в правилната посока,

но нека изясним, че тези двете са част от успоредни прави.

Мога да продължа тази права надолу по този начин.

И тази права мога да продължа нагоре така.

И тогава това започва малко повече да прилича
на познатите неща за успоредни прави.

Тази отсечка ВС, или можем да кажем,
правата ВС, ако я продължим,

и дори преминем D,

определено пресича онези две успоредни прави.
Определено това е пресечна права.

И ако този ъгъл тук е 4х,

той има съответен ъгъл. Основното тук е

да се опитаме да видим успоредните прави
и пресичането, и за какво може да е полезно.

Това там е пресичащата права.

Това са успоредните прави, ето едната
успоредна права, ето я и другата.

Нека изключим другите елементи в чертежа.

Ако този ъгъл тук е 4х, той има съответен ъгъл там,
където тази права пресича успоредната права.

Това тук е съответният ъгъл.

Нека го оцветя със същото жълто.

Това тук е съответният ъгъл.

Така че той също ще е 4х.

И виждаме, че този ъгъл и този ъгъл,
този е с мярка 4х, този е с мярка 2х,

са допълващи се.

Те са съседни един на друг. Външните страни
образуват изправен ъгъл.

Така че те са допълващи се до 180 градуса.

Те се завъртат по този начин,
ако добавим двата съседни ъгъла.

Така че знаем, че 4х плюс 2х
е равно на 180 градуса.

Или получаваме, че 6х е равно на 180 градуса.

Като разделим двете страни на 6,
получаваме, че х е равно на 30.

А този ъгъл тук е 2х, т.е. 2 по 30,
което ще даде 60 градуса.

Той ще е 60 градуса.

А този ъгъл тук е 4х.
Така че ще е 120 градуса.

И сме готови.